Résolution d’un système par écriture matricielle
On considère le système $ (S) \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $
- Écrire $ (S) $ sous la forme matricielle $ A \times X = B $ en précisant les matrices $ A $, $ X $ et $ B $.
- Calculer le déterminant $ \Delta = ad - bc $ de la matrice $ A $.
- En déduire que $ A $ est inversible et calculer $ A^{-1} $.
- Justifier que $ A \times X = B \Leftrightarrow X = A^{-1} \times B $, puis en déduire l'ensemble des solutions de $ (S) $.
- En posant $ A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $, $ X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} $, le système $ (S) $ s'écrit $\mathbf{A \times X = B}$.
- $ \Delta = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 4 - 3 = 1 $
Comme $ \Delta = 1 \neq 0 $, la matrice $ A $ est inversible et :
$ A^{-1} = \dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $
Puisque $ A $ est inversible, en multipliant à gauche des deux membres par $ A^{-1} $ :
$ A \times X = B \Leftrightarrow A^{-1} \times (A \times X) = A^{-1} \times B \Leftrightarrow (A^{-1} \times A) \times X = A^{-1} \times B \Leftrightarrow I_{2} \times X = A^{-1} \times B \Leftrightarrow X = A^{-1} \times B $
On calcule donc :
$ X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 8 + (-3) \times 3 \\ (-1) \times 8 + 2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 - 9 \\ -8 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \end{pmatrix} $
L'ensemble des solutions de $ (S) $ est $\mathbf{\{(7\,;\,-2)\}}$.
Pour réviser : Résoudre un système linéaire à l'aide de l'écriture matricielle
QCM Bilan : Introduction aux matrices
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : types de matrices, opérations, produit matriciel, inversibilité et écriture matricielle d'un système. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit $M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$. Comment qualifier au mieux cette matrice ?
[qcm]
[option]Une matrice ligne d'ordre $3$.[/option]
[option]La matrice unité $I_3$.[/option]
[option correct="true"]Une matrice diagonale d'ordre $3$.[/option]
[option]Une matrice nulle.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$M$ est carrée d'ordre $3$ et tous ses coefficients hors de la diagonale principale sont nuls : c'est, par définition, une matrice diagonale d'ordre $3$.[/reponse]
[reponse motif="Une matrice ligne d'ordre $3$."]Non.
$M$ a $3$ lignes et $3$ colonnes : c'est une matrice carrée, pas une matrice ligne. Une matrice ligne n'a qu'une seule ligne.[/reponse]
[reponse motif="La matrice unité $I_3$."]Non.
La matrice unité $I_3$ a uniquement des $1$ sur la diagonale principale. Or ici les coefficients diagonaux sont $4$, $-2$ et $5$, donc $M \neq I_3$.[/reponse]
[reponse motif="Une matrice nulle."]Non.
Une matrice nulle n'a que des $0$. Or $M$ contient des coefficients non nuls ($4$, $-2$, $5$) sur sa diagonale principale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Examiner la dimension de $M$ et la position de ses coefficients non nuls pour la classer parmi les types vus en cours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Que vaut $2A + B$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 6 & 16 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 11 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $2A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$.
Puis $2A + B = \begin{pmatrix} 4+1 & 0+(-2) \\ -2+4 & 6+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$"]Non.
Le coefficient $2$ devant $A$ a été ignoré : le calcul effectué est simplement $A + B$. Multiplier d'abord chaque coefficient de $A$ par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 6 & 16 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $2A + 2B = 2(A + B)$. Or seul $A$ est multiplié par $2$, $B$ doit être ajoutée telle quelle.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 11 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la position $(2,1)$ : $-2 + 4 = 2$, et non $-2 - 4 = -6$. Le signe de $b_{21} = +4$ a été remplacé par $-4$ lors de l'addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $2A$ en multipliant chaque coefficient de $A$ par $2$, puis additionner coefficient par coefficient avec $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B - B \times A$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule $A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (le seul coefficient non nul est $1 \times 1 = 1$ en position $(1,1)$).
Puis $B \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (le seul coefficient non nul est $1 \times 1 = 1$ en position $(2,2)$).
Donc $A \times B - B \times A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Cela illustre que $A \times B \neq B \times A$ en général.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela supposerait $A \times B = B \times A$. Or le produit matriciel n'est pas commutatif : il faut calculer séparément $A \times B$ et $B \times A$, qui sont ici différents.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $A \times B + B \times A$ (somme des deux résultats). Or l'énoncé demande la différence : il faut soustraire $B \times A$ à $A \times B$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $B \times A - A \times B$, qui est l'opposé de la différence demandée. Bien partir de $A \times B$ et soustraire $B \times A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $A \times B$ et $B \times A$ (en respectant l'ordre des facteurs), puis soustraire les deux matrices obtenues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Pour étudier l'inversibilité de $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, on calcule le déterminant $\Delta = ad - bc$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]$\Delta = 10$, donc $A$ est inversible.[/option]
[option]$\Delta = -2$, donc $A$ est inversible.[/option]
[option]$\Delta = 0$, donc $A$ n'est pas inversible.[/option]
[option correct="true"]$\Delta = 2$, donc $A$ est inversible.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Avec $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 3$ :
$\Delta = ad - bc = 2 \times 3 - 4 \times 1 = 6 - 4 = 2$.
Comme $\Delta \neq 0$, la matrice $A$ est bien inversible.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 10$, donc $A$ est inversible."]Non.
$10 = ad + bc = 6 + 4$ : c'est la somme des deux produits, alors que la formule du déterminant utilise la différence.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = -2$, donc $A$ est inversible."]Non.
$-2 = bc - ad = 4 - 6$ : l'ordre des deux produits a été inversé. Le déterminant est $ad - bc$, en commençant par les coefficients de la diagonale principale.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 0$, donc $A$ n'est pas inversible."]Non.
$0 = (a+d) - (b+c) = 5 - 5$ : le déterminant a été calculé avec des sommes au lieu de produits. Il faut multiplier les coefficients deux à deux : $a \times d$ et $b \times c$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant vaut $ad - bc$. Si ce nombre est non nul, la matrice est inversible.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 12 \\ -7 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 10 \\ -15 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -7 \\ 12 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On multiplie chaque ligne de $A$ par la colonne $X$ :
ligne $1$ : $2 \times 5 + 1 \times 2 = 10 + 2 = 12$ ;
ligne $2$ : $-3 \times 5 + 4 \times 2 = -15 + 8 = -7$.
Le résultat est une matrice colonne $2 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la deuxième ligne : $-3 \times 5 = -15$, donc $a_{21}$ est négatif. Le résultat $7$ correspond à $+15 + 8 - 16 = 7$ ou plus simplement à un oubli du signe de $-3$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 10 \\ -15 \end{pmatrix}$"]Non.
Seul le produit du premier coefficient de chaque ligne par $5$ apparaît : le terme provenant du second coefficient (le $1 \times 2$ et le $4 \times 2$) a été oublié. Sommer les deux produits sur chaque ligne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -7 \\ 12 \end{pmatrix}$"]Non.
Les deux composantes du résultat ont été permutées. La première composante provient de la première ligne de $A$, la seconde de la deuxième ligne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le produit $A \times X$ avec $X$ matrice colonne, multiplier chaque ligne de $A$ par la colonne $X$, terme à terme, et sommer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$. Quelle est son écriture matricielle correcte avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option]$X \times A = B$[/option]
[option correct="true"]$A \times X = B$[/option]
[option]$A + X = B$[/option]
[option]$X = A \times B$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On vérifie : $A \times X = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + 3y \end{pmatrix}$, qui doit être égal à $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$. On retrouve bien les deux équations du système.[/reponse]
[reponse motif="$X \times A = B$"]Non.
L'ordre des facteurs est crucial pour le produit matriciel. De plus, $X$ est de dimension $2 \times 1$ et $A$ est $2 \times 2$ : le produit $X \times A$ n'est même pas défini.[/reponse]
[reponse motif="$A + X = B$"]Non.
$A$ et $X$ n'ont pas les mêmes dimensions ($A$ est $2 \times 2$, $X$ est $2 \times 1$) : leur somme n'est pas définie. C'est le produit $A \times X$ qui développe les expressions $2x + y$ et $x + 3y$.[/reponse]
[reponse motif="$X = A \times B$"]Non.
Cette écriture donnerait directement $X$ en fonction de $A$ et $B$, sans nécessiter aucun calcul : c'est trop simple. La forme correcte fait apparaître $A$, $X$ et $B$ avec un produit, et c'est ensuite seulement, en utilisant l'inverse de $A$, qu'on isole $X$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer le produit $A \times X$ en posant $X$ comme matrice colonne des inconnues : on doit retomber sur les deux expressions du système, qui doivent être égales aux deux composantes de $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Produit matriciel et inverse
[enonce]
Ce QCM porte sur le produit de matrices carrées d'ordre 2 et la notion d'inverse. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est dite inversible si et seulement si :
[qcm]
[option]tous ses coefficients sont non nuls.[/option]
[option correct="true"]il existe une matrice $B$ telle que $A \times B = B \times A = I_n$.[/option]
[option]sa diagonale principale ne contient que des $1$.[/option]
[option]$A$ est une matrice diagonale.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition exacte. Si une telle matrice $B$ existe, elle est unique : on l'appelle l'inverse de $A$ et on la note $A^{-1}$.[/reponse]
[reponse motif="tous ses coefficients sont non nuls."]Non.
Avoir tous ses coefficients non nuls n'a rien à voir avec l'inversibilité. Par exemple, $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ n'a aucun coefficient nul mais n'est pas inversible.[/reponse]
[reponse motif="sa diagonale principale ne contient que des $1$."]Non.
Cette condition décrit (en partie) la matrice unité $I_n$, mais ne caractérise pas l'inversibilité. Beaucoup de matrices inversibles n'ont pas de $1$ sur leur diagonale.[/reponse]
[reponse motif="$A$ est une matrice diagonale."]Non.
Une matrice diagonale n'est inversible que si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls — ce n'est qu'un cas particulier. La définition générale de l'inversibilité est donnée par l'existence d'une matrice $B$ vérifiant une égalité avec $I_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la définition de matrice inversible : elle s'appuie sur l'existence d'une matrice $B$ vérifiant deux égalités avec la matrice unité $I_n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 9 & -4 \\ -16 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie chaque ligne de $A$ par chaque colonne de $B$ :
$c_{11} = 3 \times 3 + 2 \times (-4) = 9 - 8 = 1$ ;
$c_{12} = 3 \times (-2) + 2 \times 3 = -6 + 6 = 0$ ;
$c_{21} = 4 \times 3 + 3 \times (-4) = 12 - 12 = 0$ ;
$c_{22} = 4 \times (-2) + 3 \times 3 = -8 + 9 = 1$.
Donc $A \times B = I_2$ : $B$ est l'inverse de $A$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 9 & -4 \\ -16 & 9 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients ont été multipliés terme à terme ($a_{11}b_{11}$, $a_{12}b_{12}$, etc.). Le produit matriciel n'est pas une multiplication coefficient par coefficient : chaque coefficient résultat est une somme de produits ligne-colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}$"]Non.
Les signes négatifs de $B$ ont été ignorés. Bien conserver le signe de chaque coefficient lors des produits ligne-colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$"]Non.
Chaque ligne de $A$ a été multipliée par la ligne correspondante de $B$. Or il faut multiplier une ligne de $A$ par une colonne de $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le produit matriciel, chaque coefficient s'obtient en multipliant une ligne de $A$ par une colonne de $B$, terme à terme, puis en sommant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$c_{11} = 1 \times 3 + 2 \times 2 = 7$ ;
$c_{12} = 1 \times 1 + 2 \times (-1) = -1$ ;
$c_{21} = (-1) \times 3 + 0 \times 2 = -3$ ;
$c_{22} = (-1) \times 1 + 0 \times (-1) = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients de $A$ et $B$ ont été multipliés terme à terme. Chaque coefficient du produit est une somme de produits ligne-colonne, pas un simple produit.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $B \times A$, qui est différent de $A \times B$ : le produit matriciel n'est pas commutatif. Refaire en partant de $A$ à gauche.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la position $(2,1)$ : $a_{21} = -1$, donc $c_{21} = (-1) \times 3 + 0 \times 2$. Le signe négatif de $a_{21}$ a été oublié.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier ligne par colonne, en respectant l'ordre $A$ puis $B$ et les signes des coefficients.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. Que vaut $A \times I_n$ ?
[qcm]
[option]$I_n$[/option]
[option]$A^2$[/option]
[option correct="true"]$A$[/option]
[option]la matrice nulle.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La matrice unité $I_n$ joue, pour le produit matriciel, le rôle du nombre $1$ pour la multiplication des réels. Elle est l'élément neutre : pour toute matrice carrée $A$, on a $A \times I_n = I_n \times A = A$.[/reponse]
[reponse motif="$I_n$"]Non.
$I_n$ est l'élément neutre de la multiplication, pas un élément absorbant. Multiplier $A$ par $I_n$ ne renvoie pas $I_n$ : cela laisse $A$ inchangée.[/reponse]
[reponse motif="$A^2$"]Non.
$A^2 = A \times A$, et non $A \times I_n$. Multiplier par $I_n$ ne fait pas apparaître un nouveau facteur $A$.[/reponse]
[reponse motif="la matrice nulle."]Non.
$I_n$ contient des $1$ sur la diagonale principale, ce n'est pas une matrice nulle. C'est plutôt la matrice nulle qui annulerait le produit, pas la matrice unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La matrice unité $I_n$ est l'élément neutre du produit matriciel : $A \times I_n = A$ pour toute matrice carrée $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Que vaut $A^2$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule $A \times A$ :
$c_{11} = 1 \times 1 + 2 \times 0 = 1$ ;
$c_{12} = 1 \times 2 + 2 \times 3 = 2 + 6 = 8$ ;
$c_{21} = 0 \times 1 + 3 \times 0 = 0$ ;
$c_{22} = 0 \times 2 + 3 \times 3 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$"]Non.
Chaque coefficient a été élevé au carré individuellement. Or $A^2$ signifie $A \times A$, et non « élever chaque coefficient au carré » : il faut réaliser le produit matriciel.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$"]Non.
Le résultat affiché est $2A$ et non $A^2$. Multiplier par $2$ et élever au carré sont deux opérations très différentes.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour le coefficient $c_{12}$ : $1 \times 2 + 2 \times 3 = 2 + 6 = 8$. Le terme $1 \times 2$ a été oublié et seul $2 \times 3 = 6$ a été conservé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$A^2 = A \times A$ se calcule par le produit matriciel ligne par colonne, pas en élevant chaque coefficient au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$. On admet que $A$ est inversible et que $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$. Pour résoudre le système $\begin{cases} 3x + 4y = 1 \\ 5x + 7y = 2 \end{cases}$, on pose $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Quelle est la solution $(x~;~y)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(-1~;~1)$[/option]
[option]$(1~;~-1)$[/option]
[option]$(11~;~19)$[/option]
[option]$(7~;~-5)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La solution est donnée par $X = A^{-1} \times B$ :
$x = 7 \times 1 + (-4) \times 2 = 7 - 8 = -1$ ;
$y = (-5) \times 1 + 3 \times 2 = -5 + 6 = 1$.
Donc $(x~;~y) = (-1~;~1)$.[/reponse]
[reponse motif="$(1~;~-1)$"]Non.
Tous les signes ont été inversés. Reprendre soigneusement les produits $7 \times 1 + (-4) \times 2$ et $(-5) \times 1 + 3 \times 2$, en respectant l'ordre des facteurs $A^{-1} \times B$.[/reponse]
[reponse motif="$(11~;~19)$"]Non.
Le calcul effectué est $A \times B$ ($3 \times 1 + 4 \times 2 = 11$ et $5 \times 1 + 7 \times 2 = 19$). Or la solution est $X = A^{-1} \times B$, c'est avec l'inverse qu'il faut multiplier $B$.[/reponse]
[reponse motif="$(7~;~-5)$"]Non.
Cette colonne est la première colonne de $A^{-1}$ recopiée telle quelle. Il faut calculer le produit $A^{-1} \times B$, pas en lire les coefficients directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $A$ est inversible et $A \times X = B$, alors $X = A^{-1} \times B$. Effectuer ce produit matriciel pour obtenir le couple solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
