[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la matrice inverse et son utilisation pour résoudre un système, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible si et seulement si il existe une matrice $B$ telle que $A \times B = B \times A = I_n$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition d'une matrice inversible. Si elle existe, cette matrice $B$ est unique et notée $A^{-1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Revoir la définition du cours : on appelle « inverse » une matrice $B$ qui vérifie les deux égalités $A \times B = I_n$ et $B \times A = I_n$. C'est précisément ce que dit l'affirmation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'affirmation est vraie. C'est la définition même d'une matrice inversible : l'existence d'une matrice $B$ telle que $A \times B = B \times A = I_n$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Toute matrice carrée est inversible.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles. Par exemple, la matrice nulle $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ne l'est pas : multipliée par n'importe quelle matrice $B$, elle donne toujours la matrice nulle, jamais $I_2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas comparer trop vite avec les nombres réels. Pour les réels, seul $0$ n'est pas inversible. Pour les matrices, beaucoup de matrices carrées ne sont pas inversibles, même quand leurs coefficients sont non nuls.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'affirmation est fausse. Une matrice carrée n'est inversible que sous condition (par exemple, déterminant non nul pour une matrice $2 \times 2$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ est inversible.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule le déterminant : $\det(A) = ad - bc = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1$. Comme $1 \neq 0$, la matrice $A$ est bien inversible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour conclure rapidement sur l'inversibilité d'une matrice $2 \times 2$, calculer le déterminant $ad - bc$. Si ce nombre est non nul, la matrice est inversible. Ici $3 \times 2 - 1 \times 5 = 1 \neq 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'affirmation est vraie. Le déterminant $\det(A) = 6 - 5 = 1$ est non nul, donc $A$ est inversible.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ est inversible.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule $\det(A) = ad - bc = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$. Le déterminant est nul, donc la matrice $A$ n'est pas inversible (les deux lignes sont proportionnelles : $2 \times \text{ligne 1} = \text{ligne 2}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avoir des coefficients tous non nuls ne suffit pas. Il faut calculer le déterminant $ad - bc$. Si ce nombre est nul, la matrice n'est pas inversible, même si tous ses coefficients sont non nuls.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'affirmation est fausse. Le déterminant vaut $12 - 12 = 0$ : la matrice $A$ n'est pas inversible.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $A$ est une matrice carrée inversible et si $X$ et $B$ sont des matrices colonnes telles que $A \times X = B$, alors $X = B \times A^{-1}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
L'ordre des facteurs est crucial. En multipliant l'égalité $A \times X = B$ à gauche par $A^{-1}$, on obtient $A^{-1} \times A \times X = A^{-1} \times B$, soit $X = A^{-1} \times B$. C'est $A^{-1}$ qui doit être placée à gauche de $B$, pas à droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le produit matriciel n'est pas commutatif : il faut respecter l'ordre. De plus, si $B$ est une matrice colonne $n \times 1$ et $A^{-1}$ est $n \times n$, le produit $B \times A^{-1}$ n'est même pas défini ($1 \neq n$). La bonne formule est $X = A^{-1} \times B$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'affirmation est fausse. La résolution donne $X = A^{-1} \times B$ (en multipliant à gauche par $A^{-1}$), et non $B \times A^{-1}$ qui n'est d'ailleurs pas défini.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $A$ est une matrice carrée inversible d'ordre $n$, alors $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I_n$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est la propriété fondamentale de l'inverse, qui découle directement de sa définition. La matrice inverse $A^{-1}$ est, par construction, la matrice qui « annule » $A$ par produit pour redonner la matrice unité $I_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette double égalité fait partie de la définition même de $A^{-1}$ : c'est ce qui justifie le nom d'« inverse ». Comme pour les réels où $a \times \dfrac{1}{a} = 1$, on a ici $A \times A^{-1} = I_n$, et de même de l'autre côté.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
L'affirmation est vraie. L'égalité $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I_n$ caractérise la matrice inverse.
[/solution]
[/etape]
