Démontrer la médiatrice d’un triangle isocèle

Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ A $. On note $ M $ le milieu du segment $ [BC] $.

Triangle isocèle ABC en A avec M milieu de BC et segment AM

Démontrer que les triangles $ ABM $ et $ ACM $ sont égaux. Préciser le cas d'égalité utilisé.
En déduire que les angles $ \widehat{AMB} $ et $ \widehat{AMC} $ ont la même mesure.
Démontrer que ces deux angles sont droits.
Conclure que la droite $ (AM) $ est la médiatrice du segment $ [BC] $.

Corrigé

Comparons les côtés des triangles $ ABM $ et $ ACM $ :
1. Le triangle $ ABC $ est isocèle en $ A $, donc $ AB = AC $.
2. Le point $ M $ est le milieu de $ [BC] $, donc $ MB = MC $.
3. Le côté $ [AM] $ est commun aux deux triangles, donc $ AM = AM $.
Les trois côtés du triangle $ ABM $ sont deux à deux de même longueur que les trois côtés du triangle $ ACM $. D'après le premier cas d'égalité (CCC), les triangles $ ABM $ et $ ACM $ sont égaux.
Si deux triangles sont égaux, alors leurs angles correspondants ont la même mesure. En particulier :

$ \widehat{AMB} = \widehat{AMC} $.
Les points $ B $, $ M $ et $ C $ sont alignés (puisque $ M $ appartient au segment $ [BC] $). Les angles $ \widehat{AMB} $ et $ \widehat{AMC} $ sont donc supplémentaires :
$ \widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180° $.

D'après la question 2, ces deux angles sont égaux. On peut donc écrire :
$ 2 \times \widehat{AMB} = 180 $
$ \widehat{AMB} = 90° $.

Les deux angles $ \widehat{AMB} $ et $ \widehat{AMC} $ sont donc droits.
La droite $ (AM) $ est perpendiculaire à $ (BC) $ et passe par $ M $, milieu du segment $ [BC] $ : elle est donc, par définition, la médiatrice du segment $ [BC] $.

Cette droite est en même temps la hauteur issue de $ A $ et la médiatrice de la base : c'est l'axe de symétrie du triangle isocèle.

Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit

Le triangle $ ABC $ vérifie $ AB = 6 $ cm, $ BC = 5 $ cm et $ AC = 4 $ cm.

Construire le triangle $ ABC $.
Tracer la médiatrice du segment $ [AB] $, puis celle du segment $ [AC] $. Elles se coupent en un point que l'on note $ O $.
Démontrer que $ OA = OB = OC $.
Sans la tracer au compas, justifier que la médiatrice du segment $ [BC] $ passe également par le point $ O $.
Construire le cercle passant par les trois sommets du triangle. Comment s'appelle ce cercle ?

Corrigé

Triangle ABC avec médiatrices concourantes en O et cercle circonscrit

On vérifie d'abord que le triangle est constructible : la plus grande longueur est $ 6 $ et $ 4 + 5 = 9 > 6 $. La construction se fait par la méthode CCC à partir de $ [AB] $ et de deux arcs de cercle (centres $ A $ et $ B $, rayons $ 4 $ et $ 5 $).
La médiatrice de $ [AB] $ est tracée au compas (deux arcs de même rayon centrés en $ A $ et $ B $) ; on procède de même pour $ [AC] $. Les deux droites obtenues se coupent en $ O $.
Le point $ O $ est sur la médiatrice de $ [AB] $, donc il est équidistant des extrémités de ce segment :
$ OA = OB $.

Le point $ O $ est aussi sur la médiatrice de $ [AC] $, donc :
$ OA = OC $.

On en déduit :

$ OA = OB = OC $.
D'après la question précédente, $ OB = OC $. Le point $ O $ est donc équidistant des extrémités du segment $ [BC] $ : il appartient à la médiatrice de $ [BC] $.

Conclusion : les trois médiatrices du triangle $ ABC $ sont concourantes en $ O $.
Comme $ OA = OB = OC $, le cercle de centre $ O $ et de rayon $ OA $ passe par les trois sommets $ A $, $ B $ et $ C $ : c'est le cercle circonscrit au triangle $ ABC $.

Pour réviser : Tracer médiatrices et hauteurs d'un triangle.

Vrai/Faux : Médiatrices et hauteurs d’un triangle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les médiatrices et les hauteurs d'un triangle, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les trois médiatrices d'un triangle sont toujours concourantes.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quelles que soient la forme et les dimensions du triangle, ses trois médiatrices se coupent toujours en un même point. Ce point est à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est une propriété générale qui ne dépend pas du type de triangle.
Le point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les trois médiatrices d'un triangle se rencontrent en un point unique : le centre du cercle circonscrit.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La hauteur d'un triangle issue d'un sommet passe toujours par le milieu du côté opposé.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La hauteur est la droite perpendiculaire au côté opposé, mais elle ne coupe ce côté en son milieu que dans des cas particuliers (triangle isocèle ou équilatéral). Dans un triangle quelconque, la hauteur et la médiane sont des droites différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre hauteur et médiane.
La hauteur passe par le sommet et est perpendiculaire au côté opposé, mais ne passe pas en général par son milieu.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. C'est la médiane qui passe par le milieu du côté opposé ; la hauteur est seulement perpendiculaire au côté opposé.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est à égale distance des trois côtés du triangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le centre du cercle circonscrit est à égale distance des trois sommets (puisque c'est le rayon du cercle), pas des trois côtés. Le point équidistant des trois côtés est le centre du cercle inscrit, qui est l'intersection des bissectrices.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la différence : le centre du cercle circonscrit est équidistant des sommets.
Le point équidistant des côtés est le centre du cercle inscrit (intersection des bissectrices).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le centre du cercle circonscrit est à égale distance des trois sommets, pas des trois côtés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle isocèle de sommet principal $A$, la hauteur issue de $A$ est aussi la médiatrice du côté $[BC]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans un triangle isocèle en $A$, la hauteur issue de $A$ est l'axe de symétrie du triangle. Elle est perpendiculaire à $[BC]$ (car c'est une hauteur) et passe par le milieu de $[BC]$ (par symétrie) : c'est donc bien la médiatrice de $[BC]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'axe de symétrie d'un triangle isocèle cumule plusieurs rôles : hauteur, médiane et médiatrice (du côté opposé au sommet principal).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans un triangle isocèle en $A$, l'axe de symétrie joue à la fois le rôle de hauteur, de médiane et de médiatrice de $[BC]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour un triangle obtusangle, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour un triangle obtusangle (qui possède un angle supérieur à $90°$), le centre du cercle circonscrit se trouve à l'extérieur du triangle.
Pour un triangle aigu, il est à l'intérieur ; pour un triangle rectangle, il est sur l'hypoténuse (au milieu).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de penser que le centre du cercle circonscrit est toujours dans le triangle.
Pour un triangle obtus, le point de concours des médiatrices sort du triangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour un triangle obtusangle, le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection de ses trois hauteurs.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la définition de l'orthocentre. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes (ou les droites qui les portent) et leur point d'intersection s'appelle l'orthocentre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « ortho » fait référence à la perpendicularité (les hauteurs sont perpendiculaires aux côtés opposés).
L'orthocentre est le point de concours des trois hauteurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'orthocentre est par définition le point de concours des trois hauteurs.
[/solution]
[/etape]

QCM : Médiatrices et hauteurs d’un triangle

[enonce]
Ce QCM porte sur les médiatrices et les hauteurs d'un triangle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la définition correcte de la médiatrice d'un segment ?
[qcm]
[option]La droite qui passe par le milieu du segment.[/option]
[option]La droite perpendiculaire au segment.[/option]
[option correct="true"]La droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu.[/option]
[option]La droite qui partage le segment en deux parties égales en angle.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La médiatrice d'un segment est à la fois perpendiculaire au segment et passe par son milieu. Les deux conditions sont nécessaires.[/reponse]
[reponse motif="La droite qui passe par le milieu du segment."]Non.
Une infinité de droites passent par le milieu du segment.
La médiatrice est en plus perpendiculaire au segment.[/reponse]
[reponse motif="La droite perpendiculaire au segment."]Non.
Une infinité de droites sont perpendiculaires à un segment donné.
La médiatrice est celle qui passe en plus par le milieu du segment.[/reponse]
[reponse motif="La droite qui partage le segment en deux parties égales en angle."]Non.
Cette tournure ne correspond à aucune définition correcte.
La médiatrice partage le segment en deux parties de même longueur, en restant perpendiculaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La médiatrice combine deux conditions : perpendicularité et passage par le milieu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien de médiatrices possède un triangle ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]Une infinité[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un triangle a trois côtés, donc trois médiatrices (une médiatrice par côté). Ces trois médiatrices sont concourantes.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Un triangle a plusieurs côtés, et chaque côté possède sa propre médiatrice.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Compte les côtés d'un triangle pour répondre.[/reponse]
[reponse motif="Une infinité"]Non.
Une médiatrice par côté seulement.
Le triangle a trois côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il y a autant de médiatrices que de côtés dans le triangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle, comment s'appelle le point d'intersection des trois médiatrices ?
[qcm]
[option]L'orthocentre[/option]
[option correct="true"]Le centre du cercle circonscrit[/option]
[option]Le centre de gravité[/option]
[option]Le centre du cercle inscrit[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit (l'unique cercle passant par les trois sommets).[/reponse]
[reponse motif="L'orthocentre"]Non.
L'orthocentre est le point d'intersection des trois hauteurs, pas des médiatrices.[/reponse]
[reponse motif="Le centre de gravité"]Non.
Le centre de gravité est le point d'intersection des médianes (segments reliant un sommet au milieu du côté opposé).[/reponse]
[reponse motif="Le centre du cercle inscrit"]Non.
Le centre du cercle inscrit est l'intersection des bissectrices, pas des médiatrices.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le point d'intersection des médiatrices est à la même distance des trois sommets.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la définition de la hauteur issue d'un sommet d'un triangle ?
[qcm]
[option]La droite qui passe par ce sommet et le milieu du côté opposé.[/option]
[option]La droite qui passe par ce sommet et coupe l'angle en deux.[/option]
[option correct="true"]La droite qui passe par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé.[/option]
[option]La droite qui relie le sommet au centre du triangle.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).[/reponse]
[reponse motif="La droite qui passe par ce sommet et le milieu du côté opposé."]Non.
Cette droite est la médiane issue du sommet, pas la hauteur.[/reponse]
[reponse motif="La droite qui passe par ce sommet et coupe l'angle en deux."]Non.
Cette droite est la bissectrice de l'angle, pas la hauteur.[/reponse]
[reponse motif="La droite qui relie le sommet au centre du triangle."]Non.
Le « centre » d'un triangle peut désigner plusieurs points (orthocentre, centre de gravité, etc.) ; cette description est trop vague.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La hauteur d'un triangle exploite la perpendicularité au côté opposé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle isocèle de sommet principal $A$, la hauteur issue de $A$ coïncide avec quelle autre droite remarquable ?
[qcm]
[option]Avec la hauteur issue de $B$.[/option]
[option correct="true"]Avec la médiatrice du côté $[BC]$.[/option]
[option]Avec la médiatrice du côté $[AB]$.[/option]
[option]Avec aucune autre droite remarquable.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Dans un triangle isocèle en $A$, la hauteur issue de $A$ est l'axe de symétrie du triangle. Elle est à la fois perpendiculaire à $[BC]$ et passe par le milieu de $[BC]$ : c'est donc la médiatrice de $[BC]$.[/reponse]
[reponse motif="Avec la hauteur issue de $B$."]Non.
Les hauteurs issues de $A$ et de $B$ sont des droites différentes, qui se coupent en l'orthocentre.[/reponse]
[reponse motif="Avec la médiatrice du côté $[AB]$."]Non.
La médiatrice de $[AB]$ ne passe en général pas par $A$ (sauf si elle passe par $A$, ce qui n'est pas le cas en général).[/reponse]
[reponse motif="Avec aucune autre droite remarquable."]Non.
Dans un triangle isocèle, l'axe de symétrie cumule plusieurs rôles à la fois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La hauteur issue du sommet principal d'un triangle isocèle est aussi l'axe de symétrie.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$, les trois médiatrices se coupent en un point $O$. Que peut-on affirmer sur les distances de $O$ aux sommets ?
[qcm]
[option]$O$ est plus proche du plus grand côté.[/option]
[option correct="true"]$OA = OB = OC$[/option]
[option]$O$ est confondu avec le sommet $A$.[/option]
[option]La somme $OA + OB + OC$ vaut le demi-périmètre.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Tout point d'une médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment. Comme $O$ appartient aux trois médiatrices, on a $OA = OB$, $OB = OC$ et $OA = OC$ : les trois distances sont égales.
$O$ est donc le centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets.[/reponse]
[reponse motif="$O$ est plus proche du plus grand côté."]Non.
$O$ est à la même distance des trois sommets, pas des trois côtés.[/reponse]
[reponse motif="$O$ est confondu avec le sommet $A$."]Non.
$O$ est à l'intérieur du triangle (cas aigu), à l'extérieur (cas obtus) ou sur l'hypoténuse (cas rectangle), mais en général il n'est pas confondu avec un sommet.[/reponse]
[reponse motif="La somme $OA + OB + OC$ vaut le demi-périmètre."]Non.
Cette propriété ne correspond à aucun théorème classique.
Pense plutôt à l'égalité des distances de $O$ aux sommets.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Souviens-toi de la propriété caractéristique des points de la médiatrice.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]