Fonctions affines – Tarifs de deux carreleurs – Brevet Polynésie septembre 2025
On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.
Le carreleur A fait payer 80 € par m².
Le carreleur B fait payer 60 € par m² auxquels il faut ajouter 970 € pour la mise en place du chantier.
- Montrer que pour une surface dont l'aire est de 20 m², le prix est de 1 600 € avec le carreleur A et de 2 170 € avec le carreleur B.
- Calculer le prix à payer pour une surface dont l'aire est 60 m² avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.
On désigne par $ x $ l'aire de la surface à carreler exprimée en m².
- On appelle $ f $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que $ f $ est définie par $ f(x) = 80x $.
- On appelle $ g $ la fonction qui à l'aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que $ g $ est définie par $ g(x) = 60x + 970 $.
- Quelle est l'image de 70 par la fonction $ f $ ?
- Quel est l'antécédent de 2 400 par la fonction $ f $ ?
- Sur le graphique fourni en annexe, on a tracé la représentation graphique de la fonction $ g $.
Tracer la représentation graphique de la fonction $ f $ sur ce même graphique.
- En utilisant le graphique fourni en annexe, estimer l'aire maximale en m² que l'on peut carreler avec un budget de 2 800 € si l'on choisit le carreleur B.
- Calculer l'aire en m² pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.
Annexe
Carreleur A : $ 80 \times 20 = 1\,600 $ €. Le prix est bien de 1 600 €.
Carreleur B : $ 60 \times 20 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170 $ €. Le prix est bien de 2 170 €.
Pour une surface de 60 m² :
Carreleur A : $ 80 \times 60 = 4\,800 $ €.
Carreleur B : $ 60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570 $ €.
Pour 60 m², on paie 4 800 € avec le carreleur A et 4 570 € avec le carreleur B.
L'image de 70 par $ f $ est $ f(70) = 80 \times 70 = 5\,600 $.
$ f(70) = 5\,600 $
On cherche $ x $ tel que $ f(x) = 2\,400 $, c'est-à-dire $ 80x = 2\,400 $, d'où $ x = \dfrac{2\,400}{80} = 30 $.
L'antécédent de 2 400 par $ f $ est 30.
La fonction $ f $ est linéaire : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Pour la tracer, il suffit de placer un second point, par exemple $ (60\,;\,4\,800) $ d'après la question 2, et de joindre ce point à l'origine.
On lit l'antécédent de 2 800 € par la fonction $ g $ : on repère 2 800 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la droite représentant $ g $, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.
On lit graphiquement environ 30 m².
Remarque
On peut vérifier par le calcul : $ g(x) = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x + 970 = 2\,800 \;\Leftrightarrow\; 60x = 1\,830 \;\Leftrightarrow\; x = 30{,}5 $ m², ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
On cherche l'aire $ x $ pour laquelle $ f(x) = g(x) $ :
$ 80x = 60x + 970 $
$ 80x - 60x = 970 $
$ 20x = 970 $
$ x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5 $.
Pour une aire de 48,5 m², les deux carreleurs facturent le même prix.
(On peut vérifier : $ f(48{,}5) = 80 \times 48{,}5 = 3\,880 $ € et $ g(48{,}5) = 60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880 $ €.)
Vrai/Faux : Fonctions affines — lectures graphiques et calculs
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les fonctions affines, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : La fonction $f$ définie par $f(x) = 5$ est une fonction linéaire.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $f(x) = 5$ est une fonction affine avec $a = 0$ et $b = 5$. Ce n'est pas une fonction linéaire car une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$ (avec $b = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il ne faut pas confondre fonction affine et fonction linéaire. La fonction $f(x) = 5$ s'écrit $f(x) = 0 \times x + 5$ : c'est bien une fonction affine (avec $a = 0$), mais pas une fonction linéaire.
Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$, c'est-à-dire avec $b = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $f(x) = 5$ est une fonction constante, cas particulier de fonction affine (avec $a = 0$), mais ce n'est pas une fonction linéaire.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la droite ci-dessous, représentation graphique d'une fonction affine $f$.
Affirmation : L'antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Sur le graphique, la droite coupe l'axe des abscisses au point $(1 ; 0)$, ce qui signifie que $f(1) = 0$.
Le nombre $1$ est bien l'antécédent de $0$ par $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'antécédent de $0$ est le nombre $x$ tel que $f(x) = 0$. Graphiquement, c'est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
Ici, la droite passe par le point $(1 ; 0)$, donc $f(1) = 0$ : l'antécédent de $0$ est bien $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le graphique montre que $f(1) = 0$, donc $1$ est l'antécédent de $0$ par $f$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = -x + 5$.
Affirmation : La droite représentant $f$ coupe l'axe des abscisses au point $(5 ; 0)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite coupe l'axe des abscisses quand $f(x) = 0$, soit $-x + 5 = 0$, d'où $x = 5$.
Le point d'intersection est bien $(5 ; 0)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de confondre l'intersection avec l'axe des abscisses et l'ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine est $b = 5$, ce qui donne le point $(0 ; 5)$ sur l'axe des ordonnées.
Pour l'axe des abscisses, on résout $f(x) = 0$ : $-x + 5 = 0$, soit $x = 5$. Le point est $(5 ; 0)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En résolvant $f(x) = 0$, on obtient $x = 5$, donc la droite coupe l'axe des abscisses en $(5 ; 0)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la droite ci-dessous, représentation graphique d'une fonction affine $g$.
Affirmation : Le coefficient directeur de cette droite est $2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient directeur se calcule avec deux points : $a = \dfrac{3 - 1}{4 - 0} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$.
La valeur $2$ correspond à la différence des ordonnées seule, sans diviser par la différence des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne suffit pas de calculer la différence des ordonnées. Le coefficient directeur est le rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses :
$a = \dfrac{3 - 1}{4 - 0} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$
Le coefficient directeur est $0{,}5$ et non $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient directeur est $a = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$. La valeur $2$ est la variation des ordonnées, pas le coefficient directeur.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(2) = 7$ et $f(5) = 1$.
Affirmation : Le coefficient directeur de $f$ vaut $-2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique la formule : $a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{1 - 7}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour calculer le coefficient directeur, on utilise la formule $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
Ici : $a = \dfrac{1 - 7}{5 - 2} = \dfrac{-6}{3} = -2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant la formule du coefficient directeur : $a = \dfrac{1 - 7}{5 - 2} = -2$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère les deux droites ci-dessous, représentations graphiques des fonctions affines $f$ et $g$.
Affirmation : Les droites représentant $f$ et $g$ se coupent au point de coordonnées $(3 ; 2)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En lisant graphiquement, les deux droites se coupent au point $(2 ; 3)$ et non $(3 ; 2)$.
On peut le vérifier : les droites sont $f(x) = x + 1$ et $g(x) = -x + 5$. En résolvant $x + 1 = -x + 5$, on obtient $2x = 4$, soit $x = 2$, et $f(2) = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas inverser l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection. Sur le graphique, le point d'intersection a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $3$ : ses coordonnées sont $(2 ; 3)$, pas $(3 ; 2)$.
On vérifie : $f(x) = x + 1$ et $g(x) = -x + 5$ donnent $x + 1 = -x + 5$, soit $x = 2$ et $y = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les droites se coupent en $(2 ; 3)$ et non $(3 ; 2)$. Les coordonnées ont été inversées.
[/solution]
[/etape]
Lecture graphique d’une fonction affine
[enonce]
On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ dans un repère.
Les points $A(0~;~-1)$ et $B(3~;~5)$ sont sur la droite.
[/enonce]
[etape]
Lire l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction $f$.
$b = $ [[ordo]]
[math id="ordo" attendu="-1"]
[reponse statut="correct"]Correct !
La droite coupe l'axe des ordonnées au point $A(0~;~-1)$, donc $b = -1$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention au signe.
Le point $A$ est situé sous l'axe des abscisses, donc son ordonnée est négative.[/reponse]
[reponse motif="0"]Non.
L'ordonnée à l'origine n'est pas $0$. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse $0$ (intersection avec l'axe des ordonnées).[/reponse]
[aide essai="2"]Le point $A$ est sur l'axe des ordonnées. Son ordonnée donne directement la valeur de $b$.[/aide]
[aide essai="3"]$A(0~;~-1)$ : l'ordonnée à l'origine est $-1$.[/aide]
[/math]
[solution]La droite coupe l'axe des ordonnées en $A(0~;~-1)$, donc $b = -1$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer le coefficient directeur $a$ en utilisant les points $A$ et $B$.
$a = $ [[coeff]]
[math id="coeff" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - (-1)}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2$.
La droite « monte » ($a > 0$) : la fonction est croissante.[/reponse]
[reponse motif="-2"]Attention au signe.
$y_B - y_A = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$ (et non $5 - 1 = 4$ ni un résultat négatif).[/reponse]
[reponse motif="6"]Non.
$6$ est la différence des ordonnées, mais il faut encore diviser par la différence des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
Attention à ne pas inverser numérateur et dénominateur. La formule est $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ avec les coordonnées des deux points.[/reponse]
[aide essai="2"]$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Avec $A(0~;~-1)$ et $B(3~;~5)$, calculer numérateur et dénominateur.[/aide]
[aide essai="3"]Numérateur : $5 - (-1) = 6$. Dénominateur : $3 - 0 = 3$. Conclure.[/aide]
[/math]
[solution]$a = \dfrac{5 - (-1)}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Écrire l'expression de la fonction $f$.
$f(x) = $ [[expr]]
[math id="expr" attendu="2x-1"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(x) = 2x - 1$. On peut vérifier : $f(3) = 2 \times 3 - 1 = 5$, ce qui correspond bien à l'ordonnée du point $B$.[/reponse]
[reponse motif="2x+1"]Attention au signe de l'ordonnée à l'origine.
On a lu $b = -1$ (point $A$ sous l'axe des abscisses), donc $f(x) = 2x - 1$.[/reponse]
[reponse motif="2x"]Non.
Il manque l'ordonnée à l'origine. $f(x) = 2x$ serait une fonction linéaire, mais la droite ne passe pas par l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a $a = 2$ et $b = -1$. Écrire $f(x) = ax + b$.[/reponse]
[aide essai="2"]Assembler les résultats : $a = 2$ et $b = -1$, donc $f(x) = 2x + (-1)$.[/aide]
[aide essai="3"]$f(x) = 2x - 1$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = 2x - 1$.
Vérification : $f(0) = -1$ et $f(3) = 5$, ce qui correspond aux deux points lus sur le graphique.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer l'image de $-2$ par $f$.
$f(-2) = $ [[img]]
[math id="img" attendu="-5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(-2) = 2 \times (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$.[/reponse]
[reponse motif="-3"]Non.
Recalculer $2 \times (-2)$ : le produit d'un positif par un négatif donne un négatif.[/reponse]
[reponse motif="5"]Attention aux signes.
$2 \times (-2) = -4$, puis $-4 - 1 = -5$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
$2 \times (-2) = -4$ (pas $+4$), puis on soustrait $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $-2$ dans $f(x) = 2x - 1$ et calculer.[/reponse]
[aide essai="2"]$f(-2) = 2 \times (-2) - 1$. Calculer d'abord $2 \times (-2)$.[/aide]
[aide essai="3"]$2 \times (-2) = -4$, puis $-4 - 1 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$f(-2) = 2 \times (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Déterminer l'antécédent de $3$ par $f$.
L'antécédent de $3$ est $x = $ [[ant]]
[math id="ant" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $2x - 1 = 3$, soit $2x = 4$, donc $x = 2$.
L'antécédent de $3$ par $f$ est $2$.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non.
On ne calcule pas $f(3)$ (ce serait l'image de $3$). On cherche $x$ tel que $f(x) = 3$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
Vérifier : $f(1) = 2 \times 1 - 1 = 1 \neq 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'antécédent de $3$ est le nombre $x$ tel que $f(x) = 3$. Résoudre l'équation $2x - 1 = 3$.[/reponse]
[aide essai="2"]Résoudre $2x - 1 = 3$ : ajouter $1$ aux deux membres, puis diviser.[/aide]
[aide essai="3"]$2x = 4$, donc $x = ?$[/aide]
[/math]
[solution]On résout $f(x) = 3$ : $2x - 1 = 3 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$.[/solution]
[/etape]
Déterminer une fonction affine à partir de deux images
[enonce]
On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(2) = 7$ et $f(5) = -2$.
On cherche à déterminer l'expression de $f$.
[/enonce]
[etape]
Quelle est la forme générale d'une fonction affine ?
[qcm]
[option correct="true"]$f(x) = ax + b$[/option]
[option]$f(x) = ax$[/option]
[option]$f(x) = ax^2 + b$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une fonction affine s'écrit toujours sous la forme $f(x) = ax + b$, avec $a$ le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = ax$"]Non.
$f(x) = ax$ est la forme d'une fonction linéaire (cas particulier où $b = 0$).[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = ax^2 + b$"]Non.
$ax^2 + b$ n'est pas une fonction affine (présence de $x^2$). Une fonction affine est de degré 1.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la définition d'une fonction affine dans le cours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer le coefficient directeur $a$ de la fonction $f$.
$a = $ [[coeff]]
[math id="coeff" attendu="-3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{-2 - 7}{3} = \dfrac{-9}{3} = -3$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Attention au signe.
$f(5) - f(2) = -2 - 7 = -9$ (et non $+9$).[/reponse]
[reponse motif="-9"]Non.
Le calcul $f(5) - f(2) = -9$ est correct, mais il faut encore diviser par $5 - 2 = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ avec les valeurs données.[/reponse]
[aide essai="2"]La formule du coefficient directeur est $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Ici $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.[/aide]
[aide essai="3"]$a = \dfrac{-2 - 7}{5 - 2} = \dfrac{...}{3}$. Calculer le numérateur.[/aide]
[/math]
[solution]$a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{-2 - 7}{3} = \dfrac{-9}{3} = -3$.[/solution]
[/etape]
[etape]
On a donc $f(x) = -3x + b$. Calculer $b$ en utilisant $f(2) = 7$.
$b = $ [[ordo]]
[math id="ordo" attendu="13"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(2) = -3 \times 2 + b = -6 + b = 7$, donc $b = 7 + 6 = 13$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
Vérifier le calcul : $-3 \times 2 = -6$, donc $-6 + b = 7$ donne $b = 7 - (-6) = 13$.[/reponse]
[reponse motif="-13"]Attention au signe.
On a $-6 + b = 7$, donc $b = 7 - (-6) = 7 + 6 = 13$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $2$ dans $f(x) = -3x + b$ et résoudre l'équation $f(2) = 7$.[/reponse]
[aide essai="2"]$f(2) = -3 \times 2 + b = 7$. Calculer $-3 \times 2$ puis isoler $b$.[/aide]
[aide essai="3"]$-6 + b = 7$, donc $b = 7 + 6$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(2) = -3 \times 2 + b = 7$, soit $-6 + b = 7$, donc $b = 13$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Écrire l'expression complète de $f(x)$.
$f(x) = $ [[expr]]
[math id="expr" attendu="-3x+13"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(x) = -3x + 13$.
Vérification : $f(5) = -3 \times 5 + 13 = -15 + 13 = -2$, ce qui correspond bien à la valeur attendue.[/reponse]
[reponse motif="-3x-13"]Attention au signe de $b$.
On a trouvé $b = 13$ (positif), donc l'expression est $-3x + 13$.[/reponse]
[reponse motif="3x+13"]Attention au signe du coefficient directeur.
On a trouvé $a = -3$ (négatif).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Assembler les résultats : $a = -3$ et $b = 13$, donc $f(x) = ax + b$.[/reponse]
[aide essai="2"]On a trouvé $a = -3$ et $b = 13$. Écrire $f(x) = ax + b$.[/aide]
[aide essai="3"]$f(x) = -3x + 13$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = -3x + 13$.
Vérification : $f(2) = -6 + 13 = 7$ et $f(5) = -15 + 13 = -2$, les deux valeurs sont correctes.[/solution]
[/etape]
Rectangle inscrit dans un triangle
On considère un triangle $ ABC $ rectangle en $ B $ tel que $ AB = 6 $ cm et $ BC = 8 $ cm.
On place un point $ M $ sur le segment $ [AB] $ tel que $ BM = x $, avec $ 0 < x < 6 $.
On construit le rectangle $ BMNP $ tel que $ N $ soit sur le segment $ [BC] $ et $ P $ sur le segment $ [AC] $.
- Justifier que la droite $ (MP) $ est parallèle à la droite $ (BC) $.
- En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle $ ABC $, montrer que $ BN = 8 - \dfrac{4x}{3} $.
- En déduire que le périmètre du rectangle $ BMNP $ est donné par :
$ P(x) = 16 - \dfrac{2x}{3} $
- La fonction $ P $ est-elle affine ? Préciser son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
- La fonction $ P $ est-elle croissante ou décroissante ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
- Représenter graphiquement la fonction $ P $ pour $ x \in [0\,;\,6] $.
- Déterminer par le calcul la valeur de $ x $ pour laquelle le périmètre du rectangle vaut 14 cm.
- Le rectangle $ BMNP $ a ses côtés $ [BM] $ et $ [NP] $ perpendiculaires à ses côtés $ [BN] $ et $ [MP] $.
Comme $ [BM] $ est sur la droite $ (AB) $ et $ [BN] $ est sur la droite $ (BC) $, et que l'angle $ \widehat{ABC} $ est droit, les côtés $ [MP] $ et $ [BN] $ sont parallèles (tous deux perpendiculaires à $ (AB) $).
Donc $\mathbf{(MP) \parallel (BC)}$.
- Dans le triangle $ ABC $, les points $ M $ et $ P $ sont respectivement sur $ [AB] $ et $ [AC] $, et $ (MP) \parallel (BC) $.
D'après le théorème de Thalès :
$ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MP}{BC} $
Or $ AM = AB - BM = 6 - x $, donc :
$ \dfrac{6 - x}{6} = \dfrac{MP}{8} $
$ MP = \dfrac{8(6 - x)}{6} = \dfrac{4(6 - x)}{3} = 8 - \dfrac{4x}{3} $
Comme $ BMNP $ est un rectangle, $ BN = MP $, donc :
$\mathbf{BN = 8 - \dfrac{4x}{3}}$
- Le périmètre du rectangle $ BMNP $ est :
$ P(x) = 2(BM + BN) = 2\left(x + 8 - \dfrac{4x}{3}\right) $
$ P(x) = 2\left(\dfrac{3x}{3} + \dfrac{24 - 4x}{3}\right) = 2 \times \dfrac{24 - x}{3} $
$\mathbf{P(x) = 16 - \dfrac{2x}{3}}$
- La fonction $ P $ est de la forme $ P(x) = ax + b $ avec $ a = -\dfrac{2}{3} $ et $ b = 16 $.
C'est donc une fonction affine de coefficient directeur $ -\dfrac{2}{3} $ et d'ordonnée à l'origine $ 16 $.
- Le coefficient directeur est $ a = -\dfrac{2}{3} < 0 $, donc la fonction $ P $ est strictement décroissante.
Cela signifie que plus le point $ M $ s'éloigne de $ B $ (c'est-à-dire plus $ x $ augmente), plus le périmètre du rectangle diminue.
Pour tracer la droite, on calcule deux points :
$ P(0) = 16 $ et $ P(6) = 16 - \dfrac{12}{3} = 16 - 4 = 12 $.
La droite passe par les points $ (0\,;\,16) $ et $ (6\,;\,12) $.
Représentation graphique de $ P(x) = 16 - \dfrac{2x}{3} $ pour $ x \in [0\,;\,6] $
- On résout l'équation $ P(x) = 14 $ :
$ 16 - \dfrac{2x}{3} = 14 $
$ -\dfrac{2x}{3} = 14 - 16 $
$ -\dfrac{2x}{3} = -2 $
$ 2x = 6 $
$ x = 3 $
Vérification : pour $ x = 3 $ : $ BM = 3 $ cm et $ BN = 8 - \dfrac{4 \times 3}{3} = 8 - 4 = 4 $ cm.
Périmètre : $ 2(3 + 4) = 14 $ cm, ce qui est bien le résultat attendu.
Le périmètre du rectangle vaut 14 cm lorsque $ x = 3 $ cm.
Randonnée en montagne
Un sentier de montagne relie un parking à un refuge situé à 16 km du parking.
Léa part du parking à 8 h et monte vers le refuge à la vitesse constante de 3 km/h.
Thomas part du refuge à 8 h et descend vers le parking à la vitesse constante de 5 km/h.
On note $ t $ le temps écoulé, en heures, depuis 8 h.
- Justifier que la distance, en km, de Léa au parking est donnée par $ f(t) = 3t $.
- Montrer que la distance, en km, de Thomas au parking est donnée par $ g(t) = -5t + 16 $.
- Quelle est la nature des fonctions $ f $ et $ g $ ? Préciser pour chacune le coefficient directeur et, le cas échéant, l'ordonnée à l'origine.
- Représenter graphiquement les fonctions $ f $ et $ g $ dans un même repère pour $ t \in [0\,;\,5] $.
On prendra 2 cm pour 1 heure en abscisse et 1 cm pour 2 km en ordonnée.
- Déterminer graphiquement l'heure à laquelle Léa et Thomas se croisent ainsi que leur distance au parking à cet instant.
- Retrouver ces résultats par le calcul.
- Léa part du parking (km 0) et marche à vitesse constante de 3 km/h. Après $ t $ heures de marche, elle a parcouru $ 3 \times t = 3t $ km.
Sa distance au parking est donc $\mathbf{f(t) = 3t}$.
- Thomas part du refuge situé à 16 km du parking. Après $ t $ heures, il a parcouru $ 5t $ km en direction du parking.
Sa distance au parking est donc :
$ g(t) = 16 - 5t $
On obtient bien $\mathbf{g(t) = -5t + 16}$.
- La fonction $ f : t \longmapsto 3t $ est de la forme $ t \longmapsto at $ avec $ a = 3 $. C'est une fonction linéaire (donc aussi affine), de coefficient directeur $ a = 3 $.
La fonction $ g : t \longmapsto -5t + 16 $ est de la forme $ t \longmapsto at + b $ avec $ a = -5 $ et $ b = 16 $. C'est une fonction affine de coefficient directeur $ a = -5 $ et d'ordonnée à l'origine $ b = 16 $.
Pour tracer la droite de $ f $, on calcule deux images :
$ f(0) = 0 $ et $ f(4) = 12 $. La droite passe par les points $ (0\,;\,0) $ et $ (4\,;\,12) $.
Pour tracer la droite de $ g $, on calcule deux images :
$ g(0) = 16 $ et $ g(3) = 1 $. La droite passe par les points $ (0\,;\,16) $ et $ (3\,;\,1) $.
Représentations graphiques de $ f $ (en bleu) et $ g $ (en rouge)
- Graphiquement, les deux droites se coupent au point de coordonnées $ (2\,;\,6) $.
Léa et Thomas se croisent à 10 h (soit 2 h après 8 h), à 6 km du parking.
- On résout l'équation $ f(t) = g(t) $ :
$ 3t = -5t + 16 $
$ 3t + 5t = 16 $
$ 8t = 16 $
$ t = \dfrac{16}{8} $
$ t = 2 $
On calcule la distance : $ f(2) = 3 \times 2 = 6 $ km.
Léa et Thomas se croisent bien 2 heures après 8 h, soit à 10 h, à 6 km du parking.
Déterminer l’expression d’une fonction affine
On sait qu'une fonction affine $ f $ est telle que $ f(2) = 5 $ et $ f(5) = -1 $.
- Déterminer le coefficient directeur $ a $ de la fonction $ f $.
- En déduire l'ordonnée à l'origine $ b $ et l'expression de $ f(x) $.
- Vérifier le résultat en calculant $ f(5) $.
- La fonction $ f $ est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
La fonction $ f $ est affine, donc de la forme $ f(x) = ax + b $.
On utilise la formule du coefficient directeur :
$ a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{-1 - 5}{3} = \dfrac{-6}{3} $
Le coefficient directeur est $\mathbf{a = -2}$.
On a donc $ f(x) = -2x + b $.
On utilise le fait que $ f(2) = 5 $ :
$ -2 \times 2 + b = 5 $
$ -4 + b = 5 $
$ b = 5 + 4 $
$ b = 9 $
L'ordonnée à l'origine est $ b = 9 $, donc $\mathbf{f(x) = -2x + 9}$.
- On vérifie :
$ f(5) = -2 \times 5 + 9 = -10 + 9 = -1 $
On retrouve bien $ f(5) = -1 $, ce qui confirme le résultat.
- Le coefficient directeur est $ a = -2 < 0 $, donc la fonction $ f $ est strictement décroissante.
Pour réviser : Tracer la représentation graphique d'une fonction affine
QCM Bilan : Fonctions affines
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul d'images et d'antécédents, lecture graphique, sens de variation et intersection de droites. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit $f(x) = -2x + 5$. Calculer $f(-3)$.
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$11$[/option]
[option]$-11$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(-3) = -2 \times (-3) + 5 = 6 + 5 = 11$.
Le produit de deux nombres négatifs est positif : $-2 \times (-3) = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as probablement calculé $-2 \times 3 + 5 = -6 + 5 = -1$. Attention : $x = -3$, donc $-2 \times (-3) = +6$ (produit de deux négatifs).[/reponse]
[reponse motif="$-11$"]Non.
Vérifie la règle des signes. $-2 \times (-3)$ est positif, pas négatif. Reprends le calcul.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Vérifie ton calcul. Reprends chaque étape : d'abord $-2 \times (-3)$, puis ajoute $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $-3$ dans $-2x + 5$ en appliquant la règle des signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère les deux droites représentées ci-dessous.
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection $I$ des droites $f$ et $g$ ?
[qcm]
[option]$(3 ; 2)$[/option]
[option]$(2 ; 7)$[/option]
[option correct="true"]$(2 ; 3)$[/option]
[option]$(1 ; 5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On lit sur le graphique que les deux droites se coupent au point $I(2 ; 3)$.
Vérification : $f(2) = 2 + 1 = 3$ et $g(2) = -2 \times 2 + 7 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$(3 ; 2)$"]Non.
Tu as inversé l'abscisse et l'ordonnée. Rappel : un point se note $(x ; y)$, l'abscisse en premier.[/reponse]
[reponse motif="$(2 ; 7)$"]Non.
L'abscisse $x = 2$ est correcte, mais $7$ est l'ordonnée à l'origine de $g$, pas l'ordonnée du point d'intersection. Lis l'ordonnée de $I$ sur l'axe vertical.[/reponse]
[reponse motif="$(1 ; 5)$"]Non.
Relis les coordonnées du point d'intersection sur le graphique. Repère l'abscisse (axe horizontal) puis l'ordonnée (axe vertical).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lis les coordonnées du point d'intersection sur le graphique : abscisse sur l'axe horizontal, ordonnée sur l'axe vertical.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le coefficient directeur d'une fonction affine $f$ est $-3$ et la droite passe par le point $A(2 ; -1)$. Quelle est l'ordonnée à l'origine de $f$ ?
[qcm]
[option]$-7$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $f(x) = -3x + b$ et $f(2) = -1$ :
$-3 \times 2 + b = -1$
$-6 + b = -1$
$b = -1 + 6 = 5$[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
Vérifie le signe dans ton calcul. Tu as peut-être ajouté $-6$ et $-1$ au lieu de résoudre $-6 + b = -1$, c'est-à-dire $b = -1 + 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
$-1$ est l'ordonnée du point $A$, pas l'ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine est la valeur de $b$ dans $f(x) = -3x + b$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Attention au signe. Dans $-6 + b = -1$, on obtient $b = -1 - (-6) = -1 + 6$. Vérifie le passage du $-6$ de l'autre côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écris $f(2) = -3 \times 2 + b = -1$ et isole $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est strictement croissante ?
[qcm]
[option]$f(x) = -5x + 2$[/option]
[option]$g(x) = 7$[/option]
[option]$h(x) = -x + 10$[/option]
[option correct="true"]$k(x) = \dfrac{1}{3}x - 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient directeur de $k$ est $a = \dfrac{1}{3} > 0$, donc $k$ est strictement croissante.
Les autres fonctions ont un coefficient directeur négatif ($f$, $h$) ou nul ($g$).[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -5x + 2$"]Non.
Le coefficient directeur de $f$ est $a = -5 < 0$. Une fonction affine est croissante lorsque son coefficient directeur est positif.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = 7$"]Non.
$g(x) = 7$ est une fonction constante ($a = 0$). Elle n'est ni croissante ni décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$h(x) = -x + 10$"]Non.
Le coefficient directeur de $h$ est $a = -1 < 0$, donc $h$ est décroissante. N'oublie pas que $-x$ signifie $(-1) \times x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fonction affine est strictement croissante lorsque son coefficient directeur $a$ est strictement positif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère les fonctions $f(x) = 3x - 2$ et $g(x) = x + 4$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x) = g(x)$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout $3x - 2 = x + 4$ :
$3x - x = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 3$
Les deux droites se coupent en $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Vérifie en remplaçant : $f(1) = 1$ et $g(1) = 5$, ces valeurs ne sont pas égales. Reprends la résolution de $3x - 2 = x + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Attention au signe. Reprends la résolution pas à pas en regroupant les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Vérifie en remplaçant : $f(2) = 4$ et $g(2) = 6$. Reprends la résolution de $3x - 2 = x + 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résous l'équation $3x - 2 = x + 4$ en regroupant les termes en $x$ d'un côté.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Deux entreprises proposent les tarifs suivants pour la location d'un vélo :
- Entreprise A : $10$ euros d'abonnement puis $2$ euros par heure.
- Entreprise B : pas d'abonnement, $5$ euros par heure.
Soit $x$ le nombre d'heures de location. On note $f(x) = 2x + 10$ le coût chez A et $g(x) = 5x$ le coût chez B. À partir de combien d'heures l'entreprise A est-elle moins chère ?
[qcm]
[option]$2$ heures[/option]
[option]$3$ heures[/option]
[option correct="true"]$4$ heures[/option]
[option]$5$ heures[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche quand $f(x) < g(x)$, c'est-à-dire $2x + 10 < 5x$ :
$10 < 3x$, soit $x > \dfrac{10}{3} \approx 3{,}3$.
Pour $3$ heures : $f(3) = 16$ euros et $g(3) = 15$ euros (A plus cher).
Pour $4$ heures : $f(4) = 18$ euros et $g(4) = 20$ euros (A moins cher).
L'entreprise A est moins chère à partir de $4$ heures.[/reponse]
[reponse motif="$2$ heures"]Non.
Vérifie en calculant les deux tarifs pour $2$ heures : $f(2) = 14$ euros et $g(2) = 10$ euros. L'entreprise A n'est pas encore moins chère.[/reponse]
[reponse motif="$3$ heures"]Non.
Pour $3$ heures : $f(3) = 16$ euros et $g(3) = 15$ euros. L'entreprise A est encore un peu plus chère. Essaie avec une heure de plus.[/reponse]
[reponse motif="$5$ heures"]Non.
L'entreprise A devient moins chère avant $5$ heures. Compare les tarifs heure par heure pour trouver le moment exact du basculement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare les coûts $f(x) = 2x + 10$ et $g(x) = 5x$ pour différentes valeurs de $x$, ou résous l'inéquation $2x + 10 < 5x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Déterminer l’expression d’une fonction affine
[enonce]
Ce QCM porte sur la détermination de l'expression d'une fonction affine à partir de différentes informations (graphique, images connues, conditions). Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
On sait que $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$. Quelle est l'expression de $f$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = 3x + 7$[/option]
[option]$f(x) = 3x - 1$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 3x + 1$[/option]
[option]$f(x) = -3x + 13$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule le coefficient directeur :
$a = \dfrac{16 - 7}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3$
Puis on détermine $b$ avec $f(2) = 7$ :
$3 \times 2 + b = 7$, donc $b = 7 - 6 = 1$.
L'expression est $f(x) = 3x + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3x + 7$"]Non.
Le coefficient directeur $a = 3$ est correct, mais $b \neq 7$. Tu as confondu l'image $f(2) = 7$ avec l'ordonnée à l'origine. Il faut résoudre $3 \times 2 + b = 7$ pour trouver $b$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3x - 1$"]Non.
Le coefficient directeur $a = 3$ est correct, mais vérifie le calcul de $b$. Reprends l'équation $3 \times 2 + b = 7$ et isole $b$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -3x + 13$"]Non.
Attention à l'ordre dans la formule du coefficient directeur. Vérifie que tu as bien calculé $\dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2}$ et non l'inverse au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2}$, puis détermine $b$ en utilisant l'une des images connues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Déterminer l'expression de la fonction affine dont la représentation graphique est la droite ci-dessous.
[qcm]
[option]$f(x) = 2x + 2$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 2x - 2$[/option]
[option]$f(x) = 6x - 2$[/option]
[option]$f(x) = -2x - 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'ordonnée à l'origine est $b = -2$ (point $A$ sur l'axe des ordonnées).
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{4 - (-2)}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2$.
L'expression est $f(x) = 2x - 2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 2x + 2$"]Non.
Le coefficient directeur $a = 2$ est correct, mais l'ordonnée à l'origine est négative. La droite coupe l'axe des ordonnées en dessous de l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 6x - 2$"]Non.
Tu as pris la variation des ordonnées ($+6$) comme coefficient directeur, mais il faut la diviser par la variation des abscisses ($+3$) : $a = \dfrac{6}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -2x - 2$"]Non.
La droite monte de gauche à droite, donc le coefficient directeur est positif. Vérifie le signe de $a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lis l'ordonnée à l'origine sur l'axe vertical, puis calcule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La droite $(d)$ représentant une fonction affine $f$ passe par les points $A(-1 ; 5)$ et $B(3 ; -3)$. Quel est le coefficient directeur de $f$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$-8$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$a = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Attention au signe. Les ordonnées passent de $5$ à $-3$ (elles diminuent), donc le coefficient directeur est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
Tu as calculé uniquement la variation des ordonnées : $-3 - 5 = -8$. Il faut diviser par la variation des abscisses : $3 - (-1) = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as inversé la fraction. La formule est $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation des ordonnées au numérateur, variation des abscisses au dénominateur).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Applique la formule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ avec $A(-1 ; 5)$ et $B(3 ; -3)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La droite de la fonction affine $f$ passe par l'origine et par le point $(3 ; 12)$. Quelle est l'expression de $f$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = 3x + 12$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 4x$[/option]
[option]$f(x) = 12x$[/option]
[option]$f(x) = 4x + 12$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La droite passe par l'origine, donc $b = 0$ (c'est une fonction linéaire).
$a = \dfrac{12 - 0}{3 - 0} = \dfrac{12}{3} = 4$
L'expression est $f(x) = 4x$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3x + 12$"]Non.
Attention à ne pas confondre les coordonnées. Le coefficient directeur n'est pas l'abscisse du point. Calcule $a = \dfrac{12}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 12x$"]Non.
Tu as pris l'ordonnée du point comme coefficient directeur. Il faut calculer $a = \dfrac{y}{x} = \dfrac{12}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 4x + 12$"]Non.
Le coefficient directeur $a = 4$ est correct, mais la droite passe par l'origine : cela signifie que $f(0) = 0$, donc $b = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si la droite passe par l'origine, alors $b = 0$. Calcule ensuite $a$ en utilisant le second point.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Déterminer l'expression de la fonction affine dont la représentation graphique est la droite ci-dessous.
[qcm]
[option]$f(x) = -6x + 4$[/option]
[option]$f(x) = 2x + 4$[/option]
[option]$f(x) = -2x - 4$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = -2x + 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'ordonnée à l'origine est $b = 4$.
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{0 - 4}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = -2$.
L'expression est $f(x) = -2x + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -6x + 4$"]Non.
L'ordonnée à l'origine $b = 4$ est correcte, mais vérifie ton calcul du coefficient directeur. Utilise les points $(0 ; 4)$ et $(2 ; 0)$ dans la formule.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 2x + 4$"]Non.
La droite descend de gauche à droite, donc le coefficient directeur est négatif. Vérifie le signe de $a$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -2x - 4$"]Non.
Le coefficient directeur $a = -2$ est correct, mais l'ordonnée à l'origine est positive. Lis-la au point où la droite coupe l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lis $b$ au point d'intersection avec l'axe des ordonnées, puis calcule $a$ avec deux points.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Voici un tableau de valeurs d'une fonction affine $f$ :
| $x$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
| $f(x)$ |
$5$ |
$3$ |
$1$ |
$-1$ |
Quelle est l'expression de $f$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = 2x + 5$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = -2x + 5$[/option]
[option]$f(x) = -2x - 5$[/option]
[option]$f(x) = 5x - 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On lit $b = f(0) = 5$.
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{3 - 5}{1 - 0} = \dfrac{-2}{1} = -2$.
L'expression est $f(x) = -2x + 5$.
Vérification : $f(3) = -2 \times 3 + 5 = -1$, ce qui correspond au tableau.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 2x + 5$"]Non.
L'ordonnée à l'origine $b = 5$ est correcte, mais les images diminuent quand $x$ augmente : le coefficient directeur est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -2x - 5$"]Non.
Le coefficient directeur $a = -2$ est correct, mais vérifie l'ordonnée à l'origine. On la lit directement dans le tableau : $f(0) = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 5x - 2$"]Non.
Attention à ne pas confondre le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. Reprends les valeurs du tableau pour identifier $a$ et $b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lis $b = f(0)$ dans le tableau, puis calcule $a$ à partir de deux valeurs consécutives.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Lecture graphique de fonctions affines
[enonce]
Ce QCM porte sur la lecture graphique de fonctions affines. Pour chaque question, observe le graphique et choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
On considère la droite $(d_1)$ représentée ci-dessous.
Quelle est l'ordonnée à l'origine de la fonction affine représentée par $(d_1)$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$-3$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La droite coupe l'axe des ordonnées au point $A(0 ; -3)$, donc l'ordonnée à l'origine est $b = -3$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est le coefficient directeur, pas l'ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine se lit au point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Attention au signe. La droite coupe l'axe des ordonnées en dessous de l'axe des abscisses, donc l'ordonnée à l'origine est négative.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as probablement lu l'ordonnée du point $B$ au lieu de celle du point d'intersection avec l'axe des ordonnées. L'ordonnée à l'origine correspond à l'abscisse $x = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical (axe des ordonnées).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On reprend la droite $(d_1)$ de la question précédente, passant par $A(0 ; -3)$ et $B(2 ; 1)$.
Quel est le coefficient directeur de $(d_1)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$-2$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise les points $A(0 ; -3)$ et $B(2 ; 1)$ :
$a = \dfrac{1 - (-3)}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
La droite monte de gauche à droite, donc le coefficient directeur est positif. Vérifie le signe du numérateur dans la formule.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as calculé uniquement la variation des ordonnées : $1 - (-3) = 4$. Il faut diviser par la variation des abscisses : $\dfrac{4}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as inversé la fraction. Le coefficient directeur est $\dfrac{\text{variation des ordonnées}}{\text{variation des abscisses}}$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le coefficient directeur se calcule avec la formule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère la droite $(d_2)$ représentée ci-dessous.
Quelle est l'expression de la fonction affine représentée par $(d_2)$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = x + 4$[/option]
[option]$f(x) = -4x + 1$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = -x + 4$[/option]
[option]$f(x) = -x - 4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'ordonnée à l'origine est $b = 4$ (la droite coupe l'axe des ordonnées en $(0 ; 4)$).
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{0 - 4}{4 - 0} = \dfrac{-4}{4} = -1$.
L'expression est donc $f(x) = -x + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = x + 4$"]Non.
L'ordonnée à l'origine $b = 4$ est correcte, mais la droite descend de gauche à droite : le coefficient directeur est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -4x + 1$"]Non.
Attention à ne pas confondre le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. Lis $b$ sur l'axe des ordonnées, puis calcule $a$ avec la formule.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -x - 4$"]Non.
Le coefficient directeur $a = -1$ est correct, mais vérifie le signe de l'ordonnée à l'origine. La droite coupe l'axe des ordonnées au-dessus de l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lis l'ordonnée à l'origine sur l'axe vertical, puis calcule le coefficient directeur avec deux points de la droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère la fonction $g(x) = -x + 4$ (droite $(d_2)$ de la question précédente). Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d_2)$ ?
[qcm]
[option]$B(2 ; 3)$[/option]
[option]$C(3 ; 0)$[/option]
[option correct="true"]$A(1 ; 3)$[/option]
[option]$D(-1 ; 2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On vérifie : $g(1) = -1 + 4 = 3$. Comme l'ordonnée du point $A$ est bien $3$, le point $A(1 ; 3)$ appartient à la droite.[/reponse]
[reponse motif="$B(2 ; 3)$"]Non.
Vérifie en calculant $g(2)$. Si $g(2) \neq 3$, alors le point $B$ n'est pas sur la droite.[/reponse]
[reponse motif="$C(3 ; 0)$"]Non.
Vérifie en calculant $g(3)$. Si $g(3) \neq 0$, alors le point $C$ n'est pas sur la droite.[/reponse]
[reponse motif="$D(-1 ; 2)$"]Non.
Vérifie en calculant $g(-1)$. Si $g(-1) \neq 2$, alors le point $D$ n'est pas sur la droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour vérifier si un point appartient à la droite, calcule $g(x)$ pour l'abscisse du point et compare avec son ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La fonction $h$ est définie par $h(x) = -4x + 7$. La fonction $h$ est :
[qcm]
[option]strictement croissante[/option]
[option correct="true"]strictement décroissante[/option]
[option]constante[/option]
[option]croissante puis décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur est $a = -4 < 0$, donc la fonction $h$ est strictement décroissante : sa droite « descend » de gauche à droite.[/reponse]
[reponse motif="strictement croissante"]Non.
Regarde le signe du coefficient directeur $a = -4$. Quand $a$ est négatif, la fonction affine est décroissante, pas croissante.[/reponse]
[reponse motif="constante"]Non.
Une fonction constante a un coefficient directeur $a = 0$. Ici $a = -4 \neq 0$.[/reponse]
[reponse motif="croissante puis décroissante"]Non.
Une fonction affine a toujours le même sens de variation sur tout son ensemble de définition. Sa représentation est une droite, pas une courbe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe de son coefficient directeur $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On reprend la droite $(d_1)$ représentant $f(x) = 2x - 3$.
Lire graphiquement l'antécédent de $1$ par $f$.
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur le graphique, on part de $y = 1$ sur l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la droite, puis on lit l'abscisse : $x = 2$.
L'antécédent de $1$ par $f$ est $2$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as probablement calculé $f(1) = -1$ : c'est l'image de $1$, pas l'antécédent de $1$. Pour trouver l'antécédent, pars de $y = 1$ sur l'axe vertical.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Attention à ne pas confondre la valeur cherchée avec la valeur donnée. L'antécédent de $1$ est l'abscisse du point de la droite dont l'ordonnée vaut $1$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Vérifie ta lecture. Pars de $y = 1$ sur l'axe des ordonnées et repère précisément l'abscisse du point de la droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver l'antécédent de $1$, pars de $y = 1$ sur l'axe vertical, va horizontalement jusqu'à la droite, puis lis l'abscisse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
