Vrai/Faux : Droites et propriétés des fonctions affines

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les droites et les propriétés des fonctions affines, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Deux fonctions affines ayant le même coefficient directeur ont la même représentation graphique.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Deux fonctions affines de même coefficient directeur mais d'ordonnées à l'origine différentes sont représentées par des droites parallèles distinctes. Par exemple $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = 2x + 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le coefficient directeur seul ne suffit pas à déterminer une droite. Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles, mais elles ne sont confondues que si elles ont aussi la même ordonnée à l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Même coefficient directeur signifie droites parallèles, pas nécessairement confondues.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La droite représentant une fonction affine $f$ passe par les points $(0 ; 3)$ et $(2 ; 7)$.

Affirmation : $f(x) = 2x + 3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$ et l'ordonnée à l'origine est $b = 3$ (image de $0$). Donc $f(x) = 2x + 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On calcule le coefficient directeur : $a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2$. Le point $(0 ; 3)$ donne directement l'ordonnée à l'origine $b = 3$. L'expression est bien $f(x) = 2x + 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ et $b = 3$, on obtient $f(x) = 2x + 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les droites d'équations $y = 3x - 1$ et $y = -3x + 1$ sont parallèles.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Ici les coefficients directeurs sont $3$ et $-3$, ils sont différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « même coefficient directeur » et « coefficients opposés ». Pour que deux droites soient parallèles, il faut $a_1 = a_2$. Ici $3 \neq -3$, les droites sont sécantes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les coefficients directeurs $3$ et $-3$ sont différents, les droites sont sécantes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la fonction $f(x) = ax + b$ avec $a > 0$ et $b < 0$.

Affirmation : La droite représentative de $f$ coupe l'axe des ordonnées en dessous de l'origine.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; b)$. Comme $b < 0$, ce point est situé en dessous de l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'ordonnée à l'origine $b$ est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées : c'est le point $(0 ; b)$. Comme $b < 0$, ce point est situé sous l'axe des abscisses, donc en dessous de l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $b < 0$, l'intersection avec l'axe des ordonnées $(0 ; b)$ est sous l'origine.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On sait que $f(1) = 5$ et $f(3) = 5$.

Affirmation : $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $5$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{5 - 5}{2} = 0$. La fonction est constante ($f(x) = 5$), son coefficient directeur est $0$, pas $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, la valeur $5$ est l'image, pas le coefficient directeur. Le coefficient directeur se calcule : $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{0}{2} = 0$. La fonction est constante égale à $5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient directeur est $0$ (fonction constante), la valeur $5$ est l'ordonnée à l'origine.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $f(x) = \dfrac{x}{3} - 2$ est une fonction affine de coefficient directeur $\dfrac{1}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On réécrit $f(x) = \dfrac{1}{3}x + (-2)$. C'est bien la forme $ax + b$ avec $a = \dfrac{1}{3}$ et $b = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'écriture $\dfrac{x}{3}$ est équivalente à $\dfrac{1}{3} \times x$. La fonction s'écrit donc $f(x) = \dfrac{1}{3}x - 2$, ce qui est bien de la forme $ax + b$ avec $a = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $f(x) = \dfrac{1}{3}x - 2$, donc $a = \dfrac{1}{3}$ et $b = -2$.
[/solution]
[/etape]

La fonction valeur absolue

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ (O \ ; \ I, \ J) $.

Tracer la droite $ D_{1} $ d'équation $ y=x $ et la droite $ D_{2} $ d'équation $ y= - x $.
Si $ x > 0 $, à quelle demi-droite appartient le point $ M\left(x;|x|\right) $ ?
et si $ x < 0 $ ?
Quelle est la représentation graphique de la fonction $ f : x\mapsto |x| $ (fonction "valeur absolue") ?
La courbe admet-elle un axe de symétrie ? Si oui, expliquer pourquoi.
Donner le sens de variation de la fonction « valeur absolue » sur $ \mathbb{R} $.

Corrigé

Les droites $ D_1 $ (d'équation $ y=x $) et $ D_2 $ (d'équation $ y=-x $) sont représentées ci-dessous en bleu et en vert.
Par définition, la valeur absolue d'un nombre $ x $ dépend de son signe.

Si $ x > 0 $, alors $ |x| = x $.
Le point $ M(x ; |x|) $ a donc pour coordonnées $ (x ; x) $.
Il appartient donc à la droite $ D_1 $.
Comme $ x > 0 $, il appartient plus précisément à la demi-droite d'origine $ O $ incluse dans $ D_1 $.

Si $ x < 0 $, alors $ |x| = -x $.
Le point $ M(x ; |x|) $ a pour coordonnées $ (x ; -x) $.
Il appartient donc à la droite $ D_2 $.
Comme $ x < 0 $, il appartient à la demi-droite d'origine $ O $ incluse dans $ D_2 $.
La représentation graphique de la fonction valeur absolue est la réunion de ces deux demi-droites.

Elle forme une courbe en forme de « V » dont le sommet est l'origine du repère.
Oui, la courbe admet un axe de symétrie : l'axe des ordonnées (la droite d'équation $ x=0 $).

Pour tout nombre réel $ x $, on a $ |-x| = |x| $.
On en déduit que $ f(-x) = f(x) $.
La fonction valeur absolue est donc une fonction paire, ce qui se traduit graphiquement par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Le sens de variation de la fonction valeur absolue est résumé dans le tableau suivant :

La fonction est donc décroissante sur $ ]-\infty ; 0] $ et croissante sur $ [0 ; +\infty[ $.

Fonction affine et droites

A chaque fonction affine, associer sa représentation graphique tracée ci-dessous :

$ x \mapsto \dfrac{1}{2}x - 1 $
$ x \mapsto - x+3 $
$ x \mapsto 2 $
$ x \mapsto 2x+1 $
$ x \mapsto - 2x+1 $

Corrigé

Pour identifier la droite associée à chaque fonction, on repère l'ordonnée à l'origine $b$ (point d'intersection avec l'axe des ordonnées) et le coefficient directeur $a$ (pente de la droite).

$x \mapsto \dfrac{1}{2}x - 1$ : l'ordonnée à l'origine est $b = -1$ et le coefficient directeur est $a = \dfrac{1}{2} > 0$ (droite croissante, pente faible). C'est la droite $\color{red}{\mathbf{d_{5}}}$.
$x \mapsto -x+3$ : l'ordonnée à l'origine est $b = 3$ et le coefficient directeur est $a = -1 < 0$ (droite décroissante). C'est la droite $\color{red}{\mathbf{d_{3}}}$.
$x \mapsto 2$ : c'est une fonction constante ($a = 0$, $b = 2$). La droite est horizontale, passant par le point $(0 ; 2)$. C'est la droite $\color{red}{\mathbf{d_{4}}}$.
$x \mapsto 2x+1$ : l'ordonnée à l'origine est $b = 1$ et le coefficient directeur est $a = 2 > 0$ (droite fortement croissante). C'est la droite $\color{red}{\mathbf{d_{1}}}$.
$x \mapsto -2x+1$ : l'ordonnée à l'origine est $b = 1$ et le coefficient directeur est $a = -2 < 0$ (droite fortement décroissante). C'est la droite $\color{red}{\mathbf{d_{2}}}$.

Pour réviser : Tracer la droite représentative d'une fonction affine

Fonction affine : Tableaux de variations et de signes

Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right)=x - \dfrac{1}{2} $
1. Tracer la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormé $ \left(O,I,J\right) $
2. Etablir le tableau de variations puis le tableau de signes de la fonction $ f $.
Mêmes questions pour la fonction $ g $ définie par $ g\left(x\right)= - 2x+4 $

Corrigé

1. Il suffit de deux points pour tracer la représentation graphique de $ f $ qui est une droite.
  
  $ f\left(0\right)= - \dfrac{1}{2} $ et $ f\left(1\right)=\dfrac{1}{2} $ donc la représentation graphique passe par les points $ A\left(0 ; - \dfrac{1}{2}\right) $ et $ B\left(1 ; \dfrac{1}{2}\right) $
2. Le coefficient directeur de la droite $ \mathscr{C}_f $ est égal à $ 1 $ donc est strictement positif. La fonction $ f $ est donc strictement croissante sur $ \mathbb{R} $ :
  
  $ f $ s'annule pour $ x=\dfrac{1}{2} $;
  
  $ f $ est strictement positive si et seulement si :
  
  $ x - \dfrac{1}{2} > 0 $
  
  c'est à dire :
  
  $ x > \dfrac{1}{2} $
  
  On obtient donc le tableau de signes suivant :
1. $ g\left(0\right)=4 $ et $ g\left(1\right)=2 $ donc la représentation graphique passe par les points $ A\left(0 ; 4\right) $ et $ B\left(1 ; 2\right) $
2. Le coefficient directeur de la droite $ \mathscr{C}_g $ est égal à $ - 2 $ donc est strictement négatif. La fonction $ g $ est donc strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $ :
  
  $ g $ s'annule pour $ x=\dfrac{ - 4}{ - 2}=2 $;
  
  $ g $ est strictement positive si et seulement si :
  
  $ - 2x+4 > 0 $
  
  $ - 2x > - 4 $
  
  $ x < \dfrac{ - 4}{ - 2} $ (Pensez à changer le sens de l'inégalité car on divise par $ - 2 $ qui est négatif)
  
  $ x < 2 $
  
  On obtient le tableau de signes ci-dessous :

Pour réviser : Tracer la droite représentative d'une fonction affine