Pour chacune des équations suivantes, indiquer si le nombre proposé est solution. Justifier en calculant chaque membre.

1. $ 4x - 5 = 11 $ ; le nombre proposé est $ 4 $.
2. $ 7x + 2 = 3x + 18 $ ; le nombre proposé est $ 4 $.
3. $ 2x + 9 = 5x - 6 $ ; le nombre proposé est $ 4 $.
4. $ \dfrac{x}{3} + 1 = 4 $ ; le nombre proposé est $ 9 $.
5. $ -2x + 7 = x - 5 $ ; le nombre proposé est $ 3 $.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le test d'une solution et les propriétés des égalités, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le nombre $2$ est solution de l'équation $3x + 1 = 7$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remplace $x$ par $2$ : $3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = 7$. Le premier membre vaut bien $7$, comme le second.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le test consiste à substituer $x$ par $2$ et à comparer les deux membres : $3 \times 2 + 1 = 7$, ce qui correspond bien au second membre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $3 \times 2 + 1 = 7$ : l'égalité est vérifiée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $3$ est solution de l'équation $2x - 5 = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $x$ par $3$ : $2 \times 3 - 5 = 6 - 5 = 1$. Or on devrait obtenir $0$. L'égalité n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Reprendre le calcul : $2 \times 3 - 5 = 1$, et non $0$. Donc $3$ n'est pas solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $2 \times 3 - 5 = 1$, et $1 \neq 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $0$ est solution de l'équation $4x + 6 = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
On remplace $x$ par $0$ : $4 \times 0 + 6 = 0 + 6 = 6$. Or on devrait obtenir $2$. L'égalité n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On remplace $x$ par $0$ : $4 \times 0 + 6 = 6$, et non $2$. Donc $0$ n'est pas solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $4 \times 0 + 6 = 6$, et $6 \neq 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'on ajoute $5$ aux deux membres d'une équation, on obtient une équation qui a la même solution.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Ajouter le même nombre aux deux membres conserve l'égalité : la nouvelle équation a exactement la même solution. C'est l'une des règles de base utilisées pour résoudre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est précisément cette propriété qui permet de résoudre les équations : ajouter le même nombre aux deux membres préserve l'ensemble des solutions.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Ajouter le même nombre aux deux membres ne change pas la solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'on multiplie les deux membres d'une équation par $0$, on obtient une équation équivalente.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Multiplier par $0$ donne $0 = 0$, qui est vraie pour toute valeur de $x$. On a perdu l'information sur les solutions, donc l'équation obtenue n'est plus équivalente. La règle exige de multiplier (ou diviser) par un nombre non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Multiplier par $0$ détruit l'équation : on obtient $0 = 0$, qui est toujours vraie, et on perd toute information sur l'inconnue. La règle exclut explicitement le facteur $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Multiplier par $0$ donne $0 = 0$ : on perd l'équation. La règle s'applique à un nombre non nul.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $5$ est solution de l'équation $2(x - 1) = 8$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On remplace $x$ par $5$ : $2 \times (5 - 1) = 2 \times 4 = 8$. L'égalité est vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Bien respecter les parenthèses : $2(x - 1)$ avec $x = 5$ donne $2 \times 4 = 8$. L'égalité est bien vérifiée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $2 \times (5 - 1) = 8$ : l'égalité est vérifiée.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le fait de tester si un nombre est solution d'une équation. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Le nombre $3$ est-il solution de l'équation $4x - 5 = 7$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car $4 \times 3 - 5 = 7$.[/option]
[option]Non, car $4 \times 3 - 5 = 12$.[/option]
[option]Oui, car $3$ apparaît dans l'équation.[/option]
[option]Non, car $3 < 7$.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remplace $x$ par $3$ : $4 \times 3 - 5 = 12 - 5 = 7$. Le premier membre vaut bien $7$, comme le second : $3$ est solution.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $4 \times 3 - 5 = 12$."]Non.
Il faut effectuer le calcul complet : $4 \times 3 - 5 = 12 - 5$, pas seulement $4 \times 3$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $3$ apparaît dans l'équation."]Non.
Le nombre $3$ n'apparaît même pas dans l'équation. Pour décider, il faut remplacer $x$ par $3$ et vérifier l'égalité.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $3 < 7$."]Non.
Comparer $3$ à $7$ ne sert à rien : il faut substituer $x$ par $3$ dans le premier membre et comparer le résultat à $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On remplace $x$ par $3$ dans le premier membre : $4 \times 3 - 5 = 7$. L'égalité est vérifiée donc $3$ est solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $5$ est-il solution de l'équation $2x + 3 = 11$ ?
[qcm]
[option]Oui, car $2 + 5 + 3 = 10$ et $10 \approx 11$.[/option]
[option correct="true"]Non, car $2 \times 5 + 3 = 13$ et non $11$.[/option]
[option]Oui, car $5$ est un nombre entier.[/option]
[option]Non, car le résultat est négatif.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $x$ par $5$ : $2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13$. Or on devrait obtenir $11$. L'égalité n'est pas vérifiée : $5$ n'est pas solution.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $2 + 5 + 3 = 10$ et $10 \approx 11$."]Non.
$2x$ signifie $2 \times x$, donc $2 \times 5 = 10$, et non $2 + 5$. De plus, une solution doit donner exactement la même valeur, pas une valeur approchée.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $5$ est un nombre entier."]Non.
Être un nombre entier ne suffit pas. Il faut vérifier l'égalité après substitution.[/reponse]
[reponse motif="Non, car le résultat est négatif."]Non.
$2 \times 5 + 3 = 13$, qui est positif. Mais $13 \neq 11$ : c'est l'inégalité qui montre que $5$ n'est pas solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2 \times 5 + 3 = 13$, et $13 \neq 11$ donc $5$ n'est pas solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $-2$ est-il solution de l'équation $3x + 8 = 2$ ?
[qcm]
[option]Non, car on ne peut pas remplacer une inconnue par un nombre négatif.[/option]
[option]Non, car $3 \times (-2) + 8 = -2$.[/option]
[option correct="true"]Oui, car $3 \times (-2) + 8 = 2$.[/option]
[option]Oui, car $-2$ et $2$ ont la même valeur absolue.[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
On remplace $x$ par $-2$ : $3 \times (-2) + 8 = -6 + 8 = 2$. Le premier membre vaut $2$, comme le second : $-2$ est solution.[/reponse]
[reponse motif="Non, car on ne peut pas remplacer une inconnue par un nombre négatif."]Non.
L'inconnue peut tout à fait prendre une valeur négative. Il faut effectuer le calcul puis comparer.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $3 \times (-2) + 8 = -2$."]Non.
Le calcul est faux : $3 \times (-2) = -6$, puis $-6 + 8 = 2$ (et non $-2$). Recalculer.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $-2$ et $2$ ont la même valeur absolue."]Pas tout à fait.
La conclusion (oui) est correcte, mais le raisonnement ne l'est pas : il faut substituer $x$ par $-2$ dans l'équation et vérifier l'égalité, pas comparer les valeurs absolues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$3 \times (-2) + 8 = -6 + 8 = 2$ : l'égalité est vérifiée, donc $-2$ est solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $4$ est-il solution de l'équation $2x + 1 = 3x - 3$ ?
[qcm]
[option]Non, car les deux membres sont différents avant tout calcul.[/option]
[option correct="true"]Oui, car $2 \times 4 + 1 = 9$ et $3 \times 4 - 3 = 9$.[/option]
[option]Oui, car $4 - 3 = 1$.[/option]
[option]Non, car le premier membre est plus petit.[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On calcule chacun des deux membres en remplaçant $x$ par $4$ :
$2 \times 4 + 1 = 9$ et $3 \times 4 - 3 = 9$.
Les deux membres sont égaux, donc $4$ est solution.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les deux membres sont différents avant tout calcul."]Non.
Avant substitution, ils semblent différents puisqu'ils contiennent $x$. C'est en remplaçant $x$ par le nombre testé que l'on peut savoir si l'égalité est vraie.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $4 - 3 = 1$."]Non.
Cette comparaison ne correspond à aucune étape de la vérification. Il faut remplacer $x$ par $4$ dans chaque membre puis comparer les deux résultats.[/reponse]
[reponse motif="Non, car le premier membre est plus petit."]Non.
Avec $x = 4$, le premier membre vaut $9$ et le second aussi : ils sont égaux. Reprendre les calculs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2 \times 4 + 1 = 9$ et $3 \times 4 - 3 = 9$ : les deux membres sont égaux, donc $4$ est solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les nombres $0$, $1$ et $-1$, un seul est solution de l'équation $5x - 2 = 2x - 5$. Lequel ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]Aucun des trois.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $x = -1$ : premier membre $5 \times (-1) - 2 = -7$ ; second membre $2 \times (-1) - 5 = -7$. Les deux sont égaux, donc $-1$ est bien solution.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Pour $x = 0$ : premier membre $5 \times 0 - 2 = -2$ ; second membre $2 \times 0 - 5 = -5$. Les deux ne sont pas égaux, donc $0$ n'est pas solution. Tester un autre nombre.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Pour $x = 1$ : premier membre $5 \times 1 - 2 = 3$ ; second membre $2 \times 1 - 5 = -3$. Les deux ne sont pas égaux. Tester un autre nombre.[/reponse]
[reponse motif="Aucun des trois."]Non.
Un des trois nombres vérifie bien l'égalité : tester chaque nombre attentivement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $x = -1$ : $5 \times (-1) - 2 = -7$ et $2 \times (-1) - 5 = -7$. L'égalité est vérifiée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $6$ est-il solution de l'équation $\dfrac{x}{2} + 1 = 4$ ?
[qcm]
[option]Non, car on ne peut pas tester un nombre dans une équation à fractions.[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\dfrac{6}{2} + 1 = 4$.[/option]
[option]Non, car $6 \div 2 = 4$.[/option]
[option]Oui, car $6 - 2 = 4$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On remplace $x$ par $6$ : $\dfrac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$. Le premier membre vaut $4$, comme le second : $6$ est solution.[/reponse]
[reponse motif="Non, car on ne peut pas tester un nombre dans une équation à fractions."]Non.
On peut parfaitement tester un nombre dans n'importe quelle équation : il suffit de calculer la valeur de chaque membre après substitution.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $6 \div 2 = 4$."]Non.
$6 \div 2 = 3$, et non $4$. Le calcul correct est $\dfrac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$ : l'égalité est vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $6 - 2 = 4$."]Pas tout à fait.
La conclusion (oui) est correcte, mais le calcul écrit n'a rien à voir avec l'équation : il faut remplacer $x$ par $6$ dans $\dfrac{x}{2} + 1$ et vérifier que cela vaut $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$ : l'égalité est vérifiée, donc $6$ est solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]