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Datation au carbone 14

La quantité de carbone 14 contenue dans un échantillon décroît au cours du temps selon la loi

$ N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda t} $

où $ t $ est la durée écoulée en années, $ N_{0} $ la quantité initiale et $ \lambda = 1{,}21 \times 10^{-4} $ an$^{-1} $ la constante de désintégration.

  1. La demi-vie $ T $ est la durée nécessaire pour que la quantité de carbone 14 soit divisée par deux. Démontrer que $ T = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} $, puis donner une valeur approchée de $ T $ à l'année près.
  2. Un fragment d'os fossile contient encore $ 30\,\% $ du carbone 14 d'un organisme vivant. Estimer son âge à l'année près.
  3. À partir de quel âge un échantillon contient-il moins de $ 1\,\% $ du carbone 14 initial ? Donner la réponse arrondie à la centaine d'années.

Corrigé

  1. Par définition, $ T $ est tel que $ N(T) = \dfrac{N_{0}}{2} $. On résout :
    $ N_{0}\,e^{-\lambda T} = \dfrac{N_{0}}{2} $
    $ e^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2} $
    $ -\lambda T = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2) $
    $ T = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} $.

    Application numérique : $ T = \dfrac{\ln(2)}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx \dfrac{0{,}6931}{0{,}000121} \approx 5728{,}5 $.

    La demi-vie du carbone 14 vaut $ T \approx 5\,728 $ ans.

  2. On cherche $ t $ tel que $ \dfrac{N(t)}{N_{0}} = 0{,}30 $, soit $ e^{-\lambda t} = 0{,}30 $.
    On applique le logarithme népérien :
    $ -\lambda t = \ln(0{,}30) $
    $ t = -\dfrac{\ln(0{,}30)}{\lambda} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{1}{0{,}30}\right)}{\lambda} $.

    Application numérique : $ \ln(0{,}30) \approx -1{,}2040 $, donc $ t \approx \dfrac{1{,}2040}{0{,}000121} \approx 9\,950{,}4 $.

    L'os fossile a un âge approximatif de $ 9\,950 $ ans.

  3. On cherche $ t $ tel que $ \dfrac{N(t)}{N_{0}} < 0{,}01 $, soit $ e^{-\lambda t} < 0{,}01 $.
    La fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ ]0\,;+\infty[ $ donc l'inégalité est conservée :
    $ -\lambda t < \ln(0{,}01) $
    $ t > -\dfrac{\ln(0{,}01)}{\lambda} = \dfrac{\ln(100)}{\lambda} $.

    Application numérique : $ \ln(100) = 2\ln(10) \approx 4{,}6052 $, donc $ t > \dfrac{4{,}6052}{0{,}000121} \approx 38\,059 $.

    Un échantillon contient moins de $ 1\,\% $ de carbone 14 au-delà de $ 38\,100 $ ans environ (arrondi à la centaine d'années).

→ Pour réviser : Résoudre un problème de modélisation avec ln

QCM : Limites avec ln et modélisation

[enonce]
Ce QCM porte sur les limites de fonctions contenant ln (limites de référence et croissances comparées) et sur la modélisation avec le logarithme. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Que vaut $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$ et n'est pas majorée.
On a donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x) = +\infty$ : c'est une limite de référence du cours.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La fonction $\ln$ ne tend pas vers une valeur finie en $+\infty$.
Sa croissance est lente, mais elle dépasse à terme n'importe quel seuil fixé à l'avance.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\ln$ ne se stabilise pas autour d'une valeur particulière en $+\infty$.
La valeur $1$ est en réalité atteinte en un point précis : $\ln(\text{e}) = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
$\ln$ est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$ : ses valeurs ne peuvent pas tendre vers $-\infty$ quand $x$ devient grand.
Le sens de variation est ici déterminant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir les limites de référence du cours sur le logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln(x)$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$-\infty$[/option]
[option]Cette limite n'existe pas.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de $\ln$ en $0$.
On a la limite de référence $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln(x) = -\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Bien que $\ln(1) = 0$, ce n'est pas la valeur cherchée : on étudie le comportement quand $x$ s'approche de $0$, pas de $1$.
La courbe de $\ln$ plonge vers le bas au voisinage de $0$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
$\ln$ ne tend pas vers une valeur finie en $0^{+}$.
La courbe admet une asymptote verticale en $0$ : les valeurs deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue, et négatives.[/reponse]
[reponse motif="Cette limite n'existe pas."]Non.
La limite existe bien, mais elle est infinie : on parle alors de limite infinie, c'est une asymptote verticale.
Une limite infinie est une limite valide en analyse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à l'allure de la courbe de $\ln$ au voisinage de $0$ : elle possède une asymptote verticale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$ ?
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$\dfrac{1}{x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est l'une des limites de croissances comparées : en $+\infty$, $x$ « l'emporte » sur $\ln(x)$.
On a donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Ce résultat correspondrait à $\ln(x)$ qui domine $x$ en $+\infty$, ce qui est faux.
Dans une croissance comparée, la fonction polynomiale (ici $x$) l'emporte sur $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
On ne peut pas conclure ici en remplaçant $\ln(x)$ par $x$ : ces deux fonctions ne croissent pas à la même vitesse en $+\infty$.
Une étude de croissance comparée est nécessaire.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x}$"]Non.
Une limite est un nombre (ou éventuellement $\pm\infty$), pas une expression dépendant de $x$.
Une expression contenant encore la variable ne peut donc pas être une limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser aux limites de croissances comparées entre $\ln$ et les fonctions puissances en $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\lim\limits_{x\to 0^{+}} x\ln(x)$ ?
[qcm]
[option]$-\infty$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a une forme indéterminée du type $0 \times (-\infty)$.
La limite de croissance comparée $\lim\limits_{x\to 0^{+}} x\ln(x) = 0$ permet de lever cette indétermination : le facteur $x$ « l'emporte » sur $\ln(x)$ au voisinage de $0$.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
On reconnaît ici une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$ qu'on ne peut pas calculer directement.
Une limite de croissance comparée du cours permet de la lever.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Le facteur $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ en $0^{+}$, donc le produit ne peut pas tendre vers $+\infty$.
De plus, il s'agit d'une forme indéterminée à lever par une limite du cours.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le produit $x\ln(x)$ ne se stabilise pas autour de $1$ en $0^{+}$.
La limite résulte d'un théorème de croissances comparées : le facteur $x$ domine ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la forme indéterminée puis utiliser la limite de croissance comparée du cours en $0^{+}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On cherche à résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $1{,}05^{n} \geqslant 2$. Quel est l'ensemble des solutions ?
[qcm]
[option]$n \geqslant 14$[/option]
[option correct="true"]$n \geqslant 15$[/option]
[option]$n \geqslant 20$[/option]
[option]$n \geqslant 40$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$1{,}05^{n} \geqslant 2 \iff n\ln(1{,}05) \geqslant \ln(2) \iff n \geqslant \dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)}$ (car $\ln(1{,}05) > 0$).
Numériquement, $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0488} \approx 14{,}21$.
Comme $n$ est un entier naturel, la plus petite valeur convenable est $n = 15$, donc $n \geqslant 15$.[/reponse]
[reponse motif="$n \geqslant 14$"]Non.
La valeur $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ est strictement supérieure à $14$.
Or $1{,}05^{14} \approx 1{,}98 < 2$ : il faut donc choisir l'entier strictement supérieur à cette valeur seuil.[/reponse]
[reponse motif="$n \geqslant 20$"]Non.
Cette valeur surestime la solution : on prend ici une marge inutile.
Le calcul précis du quotient $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)}$ donne une valeur nettement inférieure à $20$.[/reponse]
[reponse motif="$n \geqslant 40$"]Non.
Confusion possible avec un autre seuil (par exemple $1{,}05^{n} \geqslant 8$, qui donnerait $n \geqslant \dfrac{\ln 8}{\ln 1{,}05}$).
Pour atteindre $2$, il suffit d'environ $15$ étapes, pas $40$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $\ln$ aux deux membres (qui sont strictement positifs), isoler $n$ en divisant par $\ln(1{,}05)$, puis prendre le plus petit entier naturel dépassant le seuil obtenu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une population de bactéries est modélisée par $P(t) = 200\,\text{e}^{0{,}3t}$, où $t$ est exprimé en heures. Au bout de combien de temps la population a-t-elle doublé par rapport à sa valeur initiale ?
[qcm]
[option]Environ $0{,}21$ h.[/option]
[option correct="true"]Environ $2{,}31$ h.[/option]
[option]Environ $6$ h.[/option]
[option]Environ $666$ h.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La population a doublé lorsque $P(t) = 2 \times P(0) = 400$.
On résout : $200\,\text{e}^{0{,}3t} = 400 \iff \text{e}^{0{,}3t} = 2 \iff 0{,}3t = \ln(2) \iff t = \dfrac{\ln(2)}{0{,}3}$.
Numériquement, $t \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}3} \approx 2{,}31$ h.[/reponse]
[reponse motif="Environ $0{,}21$ h."]Non.
Confusion entre une multiplication et une division : on a calculé $0{,}3 \times \ln(2)$ au lieu de $\dfrac{\ln(2)}{0{,}3}$.
En isolant $t$ dans $0{,}3t = \ln(2)$, on divise par $0{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="Environ $6$ h."]Non.
La condition « la population a doublé » signifie $P(t) = 2 \times P(0)$, soit $400$, et non $P(t) = 400$ comme valeur absolue à atteindre indépendamment du modèle complet.
Une fois l'équation $\text{e}^{0{,}3t} = 2$ posée, le passage au logarithme donne directement $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}3}$.[/reponse]
[reponse motif="Environ $666$ h."]Non.
Le quotient $\dfrac{200}{0{,}3}$ ne correspond pas à la résolution de l'équation : $200$ est le coefficient initial, pas un terme à diviser par le taux $0{,}3$.
Il faut isoler $t$ dans une équation du type $\text{e}^{0{,}3t} = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la condition « la population a doublé » sous la forme $P(t) = 2P(0)$, simplifier pour obtenir $\text{e}^{0{,}3t} = 2$, puis appliquer $\ln$ aux deux membres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]