Vrai/Faux : Convexité, inégalités et lecture graphique
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la convexité et la lecture graphique, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
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[etape]
Affirmation : Une fonction convexe sur un intervalle $I$ a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition géométrique de la convexité : pour $f$ convexe sur $I$, la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Définition géométrique de la convexité : la courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes. Cette propriété fournit une inégalité utile : $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a)$ pour tout $x$ de $I$.[/reponse]
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[solution]
Cette affirmation est vraie. Définition géométrique : $f$ convexe sur $I$ $\Leftrightarrow$ la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.
[/solution]
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On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$.
Affirmation : On peut affirmer que $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le tableau de variations renseigne sur le signe de $f'$, pas sur celui de $f''$. Or la convexité dépend de $f''$, pas de $f'$. Une fonction qui croît puis décroît (avec un maximum) peut très bien avoir des zones convexes et concaves : on ne peut pas conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion classique entre variations (signe de $f'$) et convexité (signe de $f''$). Connaître seulement le sens de variation ne suffit pas pour conclure sur la convexité.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le tableau de variations donne le signe de $f'$, pas de $f''$. Pour la convexité, il faut étudier $f''$, ce que le tableau ne permet pas.
[/solution]
[/etape]
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Affirmation : Pour la fonction exponentielle, on a, pour tout réel $x$, $e^x \geqslant 1 + x$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ ($f''(x) = e^x > 0$), donc sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. La tangente en $x = 0$ a pour équation $y = 1 + x$ (car $e^0 = 1$ et la dérivée en $0$ vaut $1$). On en déduit l'inégalité $e^x \geqslant 1 + x$ pour tout $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une inégalité classique obtenue grâce à la convexité. La tangente à $y = e^x$ en $x = 0$ est $y = x + 1$, et la convexité place la courbe au-dessus de cette tangente : $e^x \geqslant 1 + x$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La courbe $y = e^x$ est au-dessus de sa tangente en $0$ (qui a pour équation $y = 1 + x$), d'où $e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$.
[/solution]
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On donne la courbe d'une fonction $f$ deux fois dérivable. On observe que la courbe de $f'$ (la dérivée) est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Affirmation : On peut en déduire que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si $f'$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, alors $f''(x) \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$ (et même $f''(x) > 0$ sauf peut-être en quelques points). Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. C'est l'une des caractérisations équivalentes de la convexité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Caractérisation équivalente de la convexité : $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$. Donc la croissance de $f'$ entraîne directement la convexité de $f$.[/reponse]
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[solution]
Cette affirmation est vraie. La caractérisation équivalente de la convexité énonce : $f$ est convexe sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f'$ est croissante sur $I$.
[/solution]
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Affirmation : Une fonction convexe sur $\mathbb{R}$ ne peut pas avoir un maximum local.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et admettait un maximum local en $a$, alors la courbe serait à la fois sous la tangente horizontale en $a$ (car $f(a)$ est le max local) et au-dessus de cette tangente (par convexité). Cela imposerait $f$ constante autour de $a$, ce qui contredit la stricte convexité. Sur $\mathbb{R}$, une convexe non constante n'a donc pas de maximum local.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La convexité impose à la courbe d'être au-dessus de ses tangentes : un maximum local est incompatible avec ce comportement (sauf cas dégénéré d'une fonction constante au voisinage). Sur $\mathbb{R}$, une fonction convexe non constante ne peut donc pas avoir de maximum local.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes, ce qui exclut un maximum local (sauf dans le cas dégénéré d'une fonction localement constante).
[/solution]
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On donne le graphique de la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$. On lit que $f''$ est strictement positive sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et que $f''(1) = 0$.
Affirmation : La courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f''$ s'annule en $1$, mais ne change pas de signe ($f'' > 0$ avant et après $1$). Le critère du cours exige les deux conditions : annulation et changement de signe. Sans changement de signe, pas de point d'inflexion : $f$ reste convexe sur tout $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique : $f''(a) = 0$ ne suffit pas. Il faut aussi un changement de signe de $f''$ en $a$. Ici, $f''$ reste positive de part et d'autre de $1$, donc pas d'inflexion.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $f''(1) = 0$ mais $f''$ ne change pas de signe : le critère du point d'inflexion n'est pas vérifié.
[/solution]
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