Coût de production et rendements décroissants

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques. Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, lorsqu'elle fabrique $ x $ centaines de pièces (avec $ x \in [0\,;15] $), est modélisé par la fonction $ C $ définie par :

$ C(x) = 0{,}05x^{3} - 0{,}9x^{2} + 8x + 5 $

On note $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

En économie, le coût marginal correspond à $ C^{\prime}(x) $ : il représente le coût supplémentaire engendré par la production d'une centaine de pièces additionnelle.

Calculer $ C^{\prime}(x) $.
1. Calculer le discriminant du trinôme $ C^{\prime}(x) $ et en déduire son signe sur $ [0\,;15] $.
2. En déduire les variations de $ C $ sur $ [0\,;15] $.
Calculer $ C^{\prime\prime}(x) $.
1. Étudier le signe de $ C^{\prime\prime}(x) $ sur $ [0\,;15] $.
2. En déduire les intervalles sur lesquels $ C $ est convexe et ceux sur lesquels $ C $ est concave.
3. Justifier que la courbe $ \mathcal{C} $ admet un point d'inflexion $ A $ et calculer ses coordonnées.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d'inflexion $ A $.
Interprétation économique. On rappelle que le coût marginal est $ C^{\prime}(x) $.
1. Justifier, à l'aide des questions précédentes, que le coût marginal admet un minimum sur $ [0\,;15] $ et préciser pour quelle valeur de $ x $ il est atteint.
2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'entreprise : que se passe-t-il pour le coût d'une pièce supplémentaire avant et après ce seuil de production ?

Corrigé

La fonction $ C $ est dérivable sur $ [0\,;15] $ comme fonction polynomiale.

$ C^{\prime}(x) = 0{,}15x^{2} - 1{,}8x + 8 $
1. On calcule le discriminant du trinôme :
  
  $ \Delta = (-1{,}8)^{2} - 4 \times 0{,}15 \times 8 = 3{,}24 - 4{,}8 = -1{,}56 $
  
  Comme $ \Delta < 0 $, le trinôme $ C^{\prime}(x) $ ne s'annule pas et garde un signe constant, celui de son coefficient dominant $ 0{,}15 > 0 $.
  
  Donc $ C^{\prime}(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0\,;15] $.
2. Comme $ C^{\prime}(x) > 0 $ sur $ [0\,;15] $, la fonction $ C $ est strictement croissante sur $ [0\,;15] $.
  
  Cela est cohérent avec la situation : le coût total augmente toujours lorsque la production augmente.
La dérivée $ C^{\prime} $ est dérivable sur $ [0\,;15] $ comme fonction polynomiale.

$ C^{\prime\prime}(x) = 0{,}3x - 1{,}8 $
1. On résout $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ :
  
  $ 0{,}3x - 1{,}8 \geqslant 0 \iff 0{,}3x \geqslant 1{,}8 \iff x \geqslant 6 $
  
  Donc $ C^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $ et $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [6\,;15] $.
2. D'après le théorème du cours :
  - $ C $ est concave sur $ [0\,;6] $ ;
  - $ C $ est convexe sur $ [6\,;15] $.
3. La dérivée seconde $ C^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 6 $ : la courbe $ \mathcal{C} $ admet donc un point d'inflexion $ A $ d'abscisse $ 6 $.
  
  L'ordonnée de $ A $ est :
  
  $ C(6) = 0{,}05 \times 6^{3} - 0{,}9 \times 6^{2} + 8 \times 6 + 5 $
  
  $ C(6) = 0{,}05 \times 216 - 0{,}9 \times 36 + 48 + 5 $
  
  $ C(6) = 10{,}8 - 32{,}4 + 48 + 5 = 31{,}4 $
  
  Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A(6\,;31{,}4)}$.
L'équation de la tangente $ T $ à $ \mathcal{C} $ au point d'abscisse $ 6 $ est :

$ y = C^{\prime}(6)(x - 6) + C(6) $

On calcule $ C^{\prime}(6) $ :

$ C^{\prime}(6) = 0{,}15 \times 36 - 1{,}8 \times 6 + 8 = 5{,}4 - 10{,}8 + 8 = 2{,}6 $

D'où :

$ y = 2{,}6(x - 6) + 31{,}4 $

$ y = 2{,}6x - 15{,}6 + 31{,}4 $

L'équation réduite de la tangente est $\mathbf{y = 2{,}6x + 15{,}8}$.
Interprétation économique.
1. Le coût marginal est la fonction $ C^{\prime} $. Sa dérivée est $ C^{\prime\prime} $.
  
  D'après la question 2.a, $ C^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $ et $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [6\,;15] $ : la fonction $ C^{\prime} $ est donc décroissante sur $ [0\,;6] $ puis croissante sur $ [6\,;15] $.
  
  Le coût marginal admet donc un minimum en $ x = 6 $, qui vaut $ C^{\prime}(6) = $ $\mathbf{2{,}6}$ milliers d'euros.
2. Tant que la production reste inférieure à $ 600 $ pièces (c'est-à-dire $ x \leqslant 6 $), le coût d'une centaine de pièces supplémentaire diminue : on parle de rendements croissants, l'entreprise gagne en efficacité au fur et à mesure qu'elle produit.
  
  À partir de $ 600 $ pièces ($ x \geqslant 6 $), le coût d'une centaine de pièces supplémentaire augmente : on parle de rendements décroissants. Cela peut s'expliquer par la saturation des machines, le recours à des heures supplémentaires ou à des matières premières plus coûteuses.
  
  Le point d'inflexion $ A $ marque donc le seuil de production à partir duquel l'entreprise entre en régime de rendements décroissants.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion

Convexité avec le logarithme népérien

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0\,;+\infty[ $ par :

$ f(x) = \ln(x) + \dfrac{1}{x} $

On note $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Calculer $ f^{\prime}(x) $ et montrer que pour tout $ x > 0 $ :

$ f^{\prime}(x) = \dfrac{x - 1}{x^{2}} $
Étudier les variations de $ f $ sur $ ]0\,;+\infty[ $.
Calculer $ f^{\prime\prime}(x) $ et montrer que pour tout $ x > 0 $ :

$ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2 - x}{x^{3}} $
Étudier la convexité de $ f $ sur $ ]0\,;+\infty[ $.
Montrer que la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet un point d'inflexion $ A $ dont on précisera les coordonnées.

Corrigé

La fonction $ f $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $ comme somme de fonctions dérivables :

$ f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} $

On met au même dénominateur ($ x^{2} $) :

$ f^{\prime}(x) = \dfrac{x}{x^{2}} - \dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{x - 1}{x^{2}} $
Sur $ ]0\,;+\infty[ $, on a $ x^{2} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime}(x) $ est donc celui de $ x - 1 $.

$ x - 1 \geqslant 0 \iff x \geqslant 1 $

On en déduit :
- $ f $ est décroissante sur $ ]0\,;1] $ ;
- $ f $ est croissante sur $ [1\,;+\infty[ $ ;
- $ f $ admet un minimum en $ x = 1 $ avec $ f(1) = \ln(1) + 1 = 1 $.
La dérivée $ f^{\prime} $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $ comme somme de fonctions dérivables :

$ f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{3}} $

On met au même dénominateur ($ x^{3} $) :

$ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{-x}{x^{3}} + \dfrac{2}{x^{3}} = \dfrac{2 - x}{x^{3}} $
Sur $ ]0\,;+\infty[ $, on a $ x^{3} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime\prime}(x) $ est donc celui de $ 2 - x $.

$ 2 - x \geqslant 0 \iff x \leqslant 2 $

On en déduit :
- $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ ]0\,;2] $, donc $ f $ est convexe sur $ ]0\,;2] $ ;
- $ f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [2\,;+\infty[ $, donc $ f $ est concave sur $ [2\,;+\infty[ $.
La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 2 $ : la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet donc un point d'inflexion d'abscisse $ 2 $.

L'ordonnée de ce point est :

$ f(2) = \ln(2) + \dfrac{1}{2} $

Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A\!\left(2\,;\ln(2) + \dfrac{1}{2}\right)}$.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion

Convexité d’une fonction polynomiale

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4x - 1 $

Calculer $ f^{\prime}(x) $ puis $ f^{\prime\prime}(x) $.
Étudier le signe de $ f^{\prime\prime}(x) $ sur $ \mathbb{R} $.
En déduire les intervalles sur lesquels $ f $ est convexe et ceux sur lesquels $ f $ est concave.
Montrer que la courbe représentative $ \mathcal{C}_{f} $ admet un unique point d'inflexion $ A $ dont on précisera les coordonnées.

Corrigé

La fonction $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme fonction polynomiale.

$ f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 4 $

La dérivée $ f^{\prime} $ est elle-même dérivable sur $ \mathbb{R} $.

$ f^{\prime\prime}(x) = 6x - 12 $
On résout $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ :

$ 6x - 12 \geqslant 0 \iff 6x \geqslant 12 \iff x \geqslant 2 $

Donc $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [2\,;+\infty[ $ et $ f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ ]-\infty\,;2] $.
D'après le théorème du cours :
- $ f $ est concave sur $ ]-\infty\,;2] $ (car $ f^{\prime\prime} \leqslant 0 $) ;
- $ f $ est convexe sur $ [2\,;+\infty[ $ (car $ f^{\prime\prime} \geqslant 0 $).
La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 2 $ : la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet donc un unique point d'inflexion d'abscisse $ 2 $.

L'ordonnée de ce point est :

$ f(2) = 2^{3} - 6 \times 2^{2} + 4 \times 2 - 1 = 8 - 24 + 8 - 1 = -9 $

Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A(2\,;-9)}$.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion

Vrai/Faux : Convexité, inégalités et lecture graphique

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la convexité et la lecture graphique, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une fonction convexe sur un intervalle $I$ a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition géométrique de la convexité : pour $f$ convexe sur $I$, la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Définition géométrique de la convexité : la courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes. Cette propriété fournit une inégalité utile : $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a)$ pour tout $x$ de $I$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Définition géométrique : $f$ convexe sur $I$ $\Leftrightarrow$ la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$.

Affirmation : On peut affirmer que $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le tableau de variations renseigne sur le signe de $f'$, pas sur celui de $f''$. Or la convexité dépend de $f''$, pas de $f'$. Une fonction qui croît puis décroît (avec un maximum) peut très bien avoir des zones convexes et concaves : on ne peut pas conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion classique entre variations (signe de $f'$) et convexité (signe de $f''$). Connaître seulement le sens de variation ne suffit pas pour conclure sur la convexité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le tableau de variations donne le signe de $f'$, pas de $f''$. Pour la convexité, il faut étudier $f''$, ce que le tableau ne permet pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la fonction exponentielle, on a, pour tout réel $x$, $e^x \geqslant 1 + x$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ ($f''(x) = e^x > 0$), donc sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. La tangente en $x = 0$ a pour équation $y = 1 + x$ (car $e^0 = 1$ et la dérivée en $0$ vaut $1$). On en déduit l'inégalité $e^x \geqslant 1 + x$ pour tout $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une inégalité classique obtenue grâce à la convexité. La tangente à $y = e^x$ en $x = 0$ est $y = x + 1$, et la convexité place la courbe au-dessus de cette tangente : $e^x \geqslant 1 + x$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La courbe $y = e^x$ est au-dessus de sa tangente en $0$ (qui a pour équation $y = 1 + x$), d'où $e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On donne la courbe d'une fonction $f$ deux fois dérivable. On observe que la courbe de $f'$ (la dérivée) est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Affirmation : On peut en déduire que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si $f'$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, alors $f''(x) \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$ (et même $f''(x) > 0$ sauf peut-être en quelques points). Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. C'est l'une des caractérisations équivalentes de la convexité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Caractérisation équivalente de la convexité : $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$. Donc la croissance de $f'$ entraîne directement la convexité de $f$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La caractérisation équivalente de la convexité énonce : $f$ est convexe sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f'$ est croissante sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une fonction convexe sur $\mathbb{R}$ ne peut pas avoir un maximum local.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et admettait un maximum local en $a$, alors la courbe serait à la fois sous la tangente horizontale en $a$ (car $f(a)$ est le max local) et au-dessus de cette tangente (par convexité). Cela imposerait $f$ constante autour de $a$, ce qui contredit la stricte convexité. Sur $\mathbb{R}$, une convexe non constante n'a donc pas de maximum local.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La convexité impose à la courbe d'être au-dessus de ses tangentes : un maximum local est incompatible avec ce comportement (sauf cas dégénéré d'une fonction constante au voisinage). Sur $\mathbb{R}$, une fonction convexe non constante ne peut donc pas avoir de maximum local.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes, ce qui exclut un maximum local (sauf dans le cas dégénéré d'une fonction localement constante).
[/solution]
[/etape]

[etape]
On donne le graphique de la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$. On lit que $f''$ est strictement positive sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et que $f''(1) = 0$.

Affirmation : La courbe de $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f''$ s'annule en $1$, mais ne change pas de signe ($f'' > 0$ avant et après $1$). Le critère du cours exige les deux conditions : annulation et changement de signe. Sans changement de signe, pas de point d'inflexion : $f$ reste convexe sur tout $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique : $f''(a) = 0$ ne suffit pas. Il faut aussi un changement de signe de $f''$ en $a$. Ici, $f''$ reste positive de part et d'autre de $1$, donc pas d'inflexion.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $f''(1) = 0$ mais $f''$ ne change pas de signe : le critère du point d'inflexion n'est pas vérifié.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Dérivée seconde et convexité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le lien entre la dérivée seconde et la convexité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est convexe sur $I$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est exactement la caractérisation de la convexité par la dérivée seconde : pour $f$ deux fois dérivable sur $I$, $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geqslant 0$ sur $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème du cours établit l'équivalence : convexité de $f$ $\Leftrightarrow$ $f'' \geqslant 0$. Le sens proposé ici est l'une des deux implications de cette équivalence.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème de caractérisation de la convexité : $f$ est convexe sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f''(x) \geqslant 0$ sur $I$ (pour $f$ deux fois dérivable).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f$ est convexe sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Convexité et croissance sont deux notions distinctes. Par exemple, $f(x) = e^{-x}$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (car $f''(x) = e^{-x} > 0$), pourtant elle est strictement décroissante. La convexité ne dit rien sur le sens de variation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas mélanger les deux notions : la convexité concerne la « courbure » (signe de $f''$) tandis que la croissance concerne le sens de variation (signe de $f'$). Une fonction peut être convexe et décroissante : $e^{-x}$ en est l'exemple.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Convexité et croissance sont indépendantes. Contre-exemple : $f(x) = e^{-x}$ est convexe et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 + 3x - 2$.

Affirmation : La fonction $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $f'(x) = -2x + 3$ puis $f''(x) = -2$. Comme $f'' < 0$ sur $\mathbb{R}$, $f$ est concave sur $\mathbb{R}$. C'est cohérent avec la forme « en cloche » de la parabole tournée vers le bas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer $f''(x) = -2$ : strictement négative, donc $f$ est concave. La parabole $y = -x^2 + 3x - 2$ a son sommet vers le haut et est tournée vers le bas, ce qui correspond à une fonction concave.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f''(x) = -2 < 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est concave sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f''(a) > 0$, alors $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La convexité est une notion globale sur un intervalle. La valeur de $f''$ en un seul point $a$ ne dit rien sur le signe de $f''$ ailleurs. Par exemple, pour $f(x) = x^3$, on a $f''(1) = 6 > 0$, mais $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$ (elle est concave sur $]-\infty\,;\,0]$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est confondre une information locale (en $a$) et une information globale (sur tout $\mathbb{R}$). Pour conclure à la convexité sur un intervalle, il faut que $f'' \geqslant 0$ sur tout cet intervalle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La convexité est une propriété globale : il faut $f'' \geqslant 0$ sur tout l'intervalle. Contre-exemple : $f(x) = x^3$ a $f''(1) > 0$ mais n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$.

Affirmation : La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $f'(x) = e^x$ puis $f''(x) = e^x$. Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, $f''$ est strictement positive : $f$ est convexe (et même strictement convexe) sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La dérivée seconde de $e^x$ est $e^x$, strictement positive partout. La convexité de l'exponentielle est l'une de ses propriétés essentielles : sa courbe est toujours au-dessus de ses tangentes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f''(x) = e^x > 0$ sur $\mathbb{R}$, donc l'exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f$ est concave sur $I$, alors la courbe représentative de $f$ est située au-dessous de chacune de ses tangentes sur $I$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est précisément la définition géométrique de la concavité : la courbe d'une fonction concave est au-dessous de toutes ses tangentes. Le miroir pour la convexité : la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Bien retenir les deux définitions géométriques : convexe $\to$ courbe au-dessus des tangentes, concave $\to$ courbe au-dessous des tangentes. C'est cette position qui caractérise visuellement la convexité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Définition géométrique : $f$ concave sur $I$ $\Leftrightarrow$ la courbe est au-dessous de toutes ses tangentes sur $I$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Convexité, dérivée seconde et point d’inflexion

[enonce]
Ce QCM porte sur la convexité d'une fonction, le rôle de la dérivée seconde et la notion de point d'inflexion. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Quelle propriété caractérise la convexité de $f$ sur $I$ ?
[qcm]
[option]$f \geqslant 0$ sur $I$[/option]
[option]$f' \geqslant 0$ sur $I$[/option]
[option correct="true"]$f'' \geqslant 0$ sur $I$[/option]
[option]$f'' \leqslant 0$ sur $I$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une fonction deux fois dérivable est convexe sur $I$ si et seulement si sa dérivée seconde $f''$ est positive ou nulle sur $I$.[/reponse]
[reponse motif="$f \geqslant 0$ sur $I$"]Non.
La convexité ne concerne pas le signe de la fonction elle-même, mais la « courbure » de sa courbe représentative. Une fonction négative peut très bien être convexe.[/reponse]
[reponse motif="$f' \geqslant 0$ sur $I$"]Non.
Le signe de $f'$ détermine le sens de variation, pas la convexité. Pour la convexité, c'est la dérivée seconde qui intervient.[/reponse]
[reponse motif="$f'' \leqslant 0$ sur $I$"]Non.
Le signe est inversé : $f'' \leqslant 0$ caractérise la concavité, pas la convexité. Bien retenir : convexe en bol $\leftrightarrow$ $f'' \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La convexité d'une fonction deux fois dérivable se lit sur le signe de la dérivée seconde : $f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f'' \geqslant 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 5x - 1$. Que peut-on dire de la convexité de $f$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]$f$ est concave sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]$f$ est convexe sur $[0\,;\,+\infty[$ et concave sur $]-\infty\,;\,0]$[/option]
[option]$f$ admet un point d'inflexion en $0$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $f'(x) = 2x + 5$ puis $f''(x) = 2$. Comme $f''(x) = 2 > 0$ pour tout $x$, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est concave sur $\mathbb{R}$"]Non.
Le sens de courbure a été inversé. La parabole $y = x^2 + 5x - 1$ est tournée vers le haut (« en bol »), donc convexe.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est convexe sur $[0\,;\,+\infty[$ et concave sur $]-\infty\,;\,0]$"]Non.
On confond avec le cas de $x^3$. Pour $x^2$, la dérivée seconde vaut $2$ partout : la convexité est la même sur tout $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ admet un point d'inflexion en $0$"]Non.
Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité. Or $f''(x) = 2$ est constante : aucun changement de convexité, donc aucun point d'inflexion.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f''$ pour étudier la convexité. Ici $f''(x) = 2 > 0$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. Quelle est la convexité de $f$ ?
[qcm]
[option]$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]$f$ est concave sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$ et concave sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $f'(x) = 3x^2$ puis $f''(x) = 6x$. Cette dérivée seconde est négative sur $]-\infty\,;\,0]$ (donc $f$ y est concave) et positive sur $[0\,;\,+\infty[$ (donc $f$ y est convexe).[/reponse]
[reponse motif="$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$"]Non.
$f''(x) = 6x$ change de signe en $0$ : la convexité change donc selon les intervalles, elle ne reste pas la même partout.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est concave sur $\mathbb{R}$"]Non.
$f''(x) = 6x$ est positif pour $x > 0$, ce qui rend $f$ convexe (et non concave) sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$ et concave sur $[0\,;\,+\infty[$"]Non.
Les deux intervalles ont été échangés. Bien étudier le signe de $f''(x) = 6x$ : négatif avant $0$, positif après.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f''(x) = 6x$ et étudier son signe : convexité $\leftrightarrow$ $f'' \geqslant 0$, concavité $\leftrightarrow$ $f'' \leqslant 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. À quelle condition le point $A$ d'abscisse $a$ est-il un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ ?
[qcm]
[option]$f''(a) > 0$[/option]
[option]$f'(a) = 0$[/option]
[option correct="true"]$f''$ s'annule et change de signe en $a$[/option]
[option]$f(a) = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le critère du cours énonce : $A$ est un point d'inflexion si et seulement si $f''$ s'annule en $a$ et change de signe en $a$. C'est ce changement de signe qui traduit le passage de convexe à concave (ou inversement).[/reponse]
[reponse motif="$f''(a) > 0$"]Non.
$f''(a) > 0$ correspond à une fonction localement convexe en $a$, pas à un point d'inflexion. Pour une inflexion, il faut $f''(a) = 0$ ET un changement de signe.[/reponse]
[reponse motif="$f'(a) = 0$"]Non.
$f'(a) = 0$ est lié aux extremums (tangente horizontale), pas aux points d'inflexion. C'est la dérivée seconde qui pilote la convexité.[/reponse]
[reponse motif="$f(a) = 0$"]Non.
La valeur de $f$ en $a$ ne dit rien sur la convexité. Une fonction peut être nulle en un point sans changer de convexité, et inversement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un point d'inflexion : il faut que $f''$ s'annule en $a$ ET que $f''$ change de signe en $a$ (les deux conditions sont nécessaires).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4$. Que peut-on dire du point d'abscisse $0$ ?
[qcm]
[option]C'est un point d'inflexion[/option]
[option correct="true"]Ce n'est pas un point d'inflexion, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$[/option]
[option]$f''(0)$ n'existe pas[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $f'(x) = 4x^3$ puis $f''(x) = 12x^2$. Cette dérivée seconde s'annule en $0$ mais ne change pas de signe : $12x^2 \geqslant 0$ partout. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et il n'y a pas de point d'inflexion en $0$.[/reponse]
[reponse motif="C'est un point d'inflexion"]Non.
Le piège classique : $f''(0) = 0$ ne suffit pas. Il faut aussi un changement de signe de $f''$, ce qui n'est pas le cas pour $12x^2$ qui reste positive.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$"]Non.
$f''(x) = 12x^2 \geqslant 0$ sur tout $\mathbb{R}$ : pas de zone de concavité. Bien étudier le signe de $f''$ avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="$f''(0)$ n'existe pas"]Non.
La fonction $x \mapsto x^4$ est dérivable autant de fois qu'on veut sur $\mathbb{R}$. La dérivée seconde existe et vaut $0$ en $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Annulation de $f''$ ne suffit pas pour un point d'inflexion : il faut aussi un changement de signe. Vérifier ce critère pour $x \mapsto x^4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$. Que peut-on dire de la convexité de $f$ ?
[qcm]
[option]$f$ est concave sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$f$ admet un point d'inflexion en $0$[/option]
[option correct="true"]$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $f'(x) = e^x$ puis $f''(x) = e^x$. Or $e^x > 0$ pour tout réel $x$, donc $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ : la courbe de l'exponentielle est en permanence « au-dessus de ses tangentes ».[/reponse]
[reponse motif="$f$ est concave sur $\mathbb{R}$"]Non.
La courbe de l'exponentielle est tournée vers le haut, ce qui correspond à la convexité, pas à la concavité.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$"]Non.
$f''(x) = e^x$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans changer de signe. La convexité reste donc la même partout.[/reponse]
[reponse motif="$f$ admet un point d'inflexion en $0$"]Non.
Pour un point d'inflexion, il faudrait que $f''$ s'annule. Or $e^0 = 1 \neq 0$ : $f''$ ne s'annule jamais.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée seconde de $e^x$ est $e^x$, strictement positive sur $\mathbb{R}$. La fonction est donc convexe sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Fonctions – Convexité – Bac ES/L Centres étrangers 2013

On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $ par : $ f\left(x\right)=\dfrac{ - x^{2}+10x - 16}{x^{2}} $

On appelle $ \left(C\right) $ sa courbe représentative dans un repère.

Montrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $, on a : $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - 10x+32}{x^{3}} $
1. Étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $.
2. En déduire le tableau de variations de $ f $ sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $.
On appelle $ f^{\prime\prime} $ la dérivée seconde de $ f $ sur $ \left[2\,;8\right] $.

On admet que, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $, on a : $ f^{\prime\prime}\left(x\right)=\dfrac{20x - 96}{x^{4}} $
1. Montrer que $ f $ est une fonction convexe sur $ \left[4{,}8\,;8\right] $.
2. Montrer que le point de $ \left(C\right) $ d'abscisse $ 4{,}8 $ est un point d'inflexion.
On considère la fonction $ F $ définie sur $ \left[2\,;8\right] $ par : $ F\left(x\right)= - x+10\ln x +\dfrac{16}{x} $
1. Montrer que $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ \left[2\,;8\right] $.
2. Calculer $ I=\displaystyle\int_{2}^{8} f\left(x\right)\,dx $

Corrigé

On dérive $ f $ comme un quotient $ \dfrac{u}{v} $ avec :

$ u(x) = -x^2 + 10x - 16 $ donc $ u'(x) = -2x + 10 $

$ v(x) = x^2 $ donc $ v'(x) = 2x $

On applique la formule $ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} $ :

$ f'(x) = \dfrac{(-2x + 10)x^2 - (-x^2 + 10x - 16)(2x)}{(x^2)^2} $

$ f'(x) = \dfrac{-2x^3 + 10x^2 - (-2x^3 + 20x^2 - 32x)}{x^4} $

$ f'(x) = \dfrac{-2x^3 + 10x^2 + 2x^3 - 20x^2 + 32x}{x^4} $

$ f'(x) = \dfrac{-10x^2 + 32x}{x^4} = \dfrac{x(-10x + 32)}{x^4} $

On simplifie par $ x $ (car $ x \neq 0 $ sur $ [2\,;8] $) :

$ f'(x) = \dfrac{-10x + 32}{x^3} $
1. Sur $ [2\,;8] $, $ x^3 > 0 $. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ -10x + 32 $.
  
  $ -10x + 32 \geqslant 0 \iff -10x \geqslant -32 \iff x \leqslant 3{,}2 $.
  
  On a donc :
2. $ f'(x) \geqslant 0 $ sur $ [2\,;3{,}2] $.
3. $ f'(x) \leqslant 0 $ sur $ [3{,}2\,;8] $.
4. Tableau de variations :
  
  On calcule les images :
5. $ f(2) = \dfrac{-4 + 20 - 16}{4} = 0 $
6. $ f(3{,}2) = \dfrac{-(3{,}2)^2 + 32 - 16}{(3{,}2)^2} = \dfrac{5{,}76}{10{,}24} = 0{,}5625 $
7. $ f(8) = \dfrac{-64 + 80 - 16}{64} = 0 $
Convexité :
1. La fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive.
  On étudie le signe de $ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{20x - 96}{x^4} $.
  
  Sur $ [2\,;8] $, $ x^4 > 0 $. Le signe dépend de $ 20x - 96 $.
  
  $ 20x - 96 \geqslant 0 \iff 20x \geqslant 96 \iff x \geqslant 4{,}8 $.
  
  Sur $ [4{,}8\,;8] $, $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $, donc $ f $ est convexe.
2. La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 4{,}8 $ (elle est négative avant, positive après).
  
  Le point d'abscisse $\mathbf{4{,}8}$ est donc un point d'inflexion de la courbe $ (C) $.
Primitive et intégrale :
1. Pour montrer que $ F $ est une primitive de $ f $, on dérive $ F $ :
  
  $ F(x) = -x + 10\ln(x) + \dfrac{16}{x} $
  
  $ F'(x) = -1 + \dfrac{10}{x} - \dfrac{16}{x^2} $
  
  On met au même dénominateur ($ x^2 $) :
  
  $ F'(x) = \dfrac{-x^2 + 10x - 16}{x^2} = f(x) $
  
  Donc $ F $ est bien une primitive de $ f $.
2. Calcul de l'intégrale :
  
  $ I = \displaystyle\int_{2}^{8} f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_2^8 = F(8) - F(2) $
  
  On calcule $ F(8) $ :
  
  $ F(8) = -8 + 10\ln(8) + \dfrac{16}{8} = -8 + 10\ln(2^3) + 2 = -6 + 30\ln(2) $
  
  On calcule $ F(2) $ :
  
  $ F(2) = -2 + 10\ln(2) + \dfrac{16}{2} = -2 + 10\ln(2) + 8 = 6 + 10\ln(2) $
  
  On soustrait :
  
  $ I = (-6 + 30\ln(2)) - (6 + 10\ln(2)) $
  
  $\mathbf{I = -12 + 20\ln(2)}$

Convexité et point d’inflexion

Soient la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=2e^{x - 1} - x^{2} - x $ et $ \mathscr C $ sa courbe représentative.

Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $ et $ f^{\prime\prime}\left(x\right) $
Étudier la convexité de la fonction $ f $.
Montrer que $ f $ admet un point d'inflexion $ A $ et préciser les coordonnées de $ A $.
Déterminer l'équation de la tangente $ (T) $ à $ \mathscr C $ au point $ A $.
En déduire que pour tout $ x\geqslant 1 $ : $ e^{x - 1}\geqslant \dfrac{1}{2}\left(x^{2}+1\right) $

Corrigé

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :

$ f^{\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2x - 1 $

$ f^{\prime} $ est également dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :

$ f^{\prime\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2 $
$ f $ est convexe si et seulement si :

$ f^{\prime\prime}\left(x\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow 2e^{x - 1} - 2\geqslant 0 $

$ \Leftrightarrow 2e^{x - 1}\geqslant 2 $

$ \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant 1 $

$ \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant e^{0} $

$ \Leftrightarrow x - 1\geqslant 0 $ (car la fonction exponentielle est strictement croissante)

$ \Leftrightarrow x\geqslant 1 $

Donc $ f $ est convexe sur $ \left[1;+\infty \right[ $

Inversement, $ f $ est concave si et seulement si $ x\leqslant 1 $
Le point d'inflexion correspond au passage de convexe à concave (ou de concave à convexe). D'après la question précédente, le point d'inflexion est le point de la courbe qui a comme abscisse $ 1 $.

L'ordonnée de ce point est $ f\left(1\right)=2e^{0} - 1^{2} - 1=0 $

Le point d'inflexion est donc $ A\left(1;0\right) $
L'équation de la tangente (T) à $ \mathscr C $ au point $ A\left(1;0\right) $ est donnée par la formule :

$ y=f^{\prime}\left(1\right)\left(x - 1\right)+f\left(1\right) $

avec $ f^{\prime}\left(1\right)=2e^{0} - 2\times 1 - 1= - 1 $ et $ f\left(1\right)=0 $

ce qui donne :

$ y= - x+1 $
Pour $ x\geqslant 1 $ la fonction $ f $ est convexe, donc la courbe est située au-dessus de la tangente $ (T) $.

Cela se traduit par : $ f\left(x\right)\geqslant - x+1 $

c'est-à-dire :

$ 2e^{x - 1} - x^{2} - x\geqslant - x+1 $

$ 2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+x - x+1 $

$ 2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+1 $

$ e^{x - 1}\geqslant \dfrac{1}{2}\left(x^{2}+1\right) $