Aire entre deux courbes exponentielles

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ (O,\vec{i},\vec{j}) $ d'unité graphique 1 cm.
On considère les fonctions $ f $ et $ g $ définies sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f(x) = e^{-x} $ et $ g(x) = e^{-2x} $

On note $ \mathcal{C}_f $ et $ \mathcal{C}_g $ leurs courbes représentatives.

Courbes de f(x)=exp(-x) et g(x)=exp(-2x) avec aire entre les deux sur [0; ln 2]

Étudier la position relative des courbes $ \mathcal{C}_f $ et $ \mathcal{C}_g $ sur l'intervalle $ [0\,;+\infty[ $.
Déterminer une primitive sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ f - g $.
Calculer l'aire $ \mathcal{A} $, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les courbes $ \mathcal{C}_f $, $ \mathcal{C}_g $ et les droites d'équations $ x = 0 $ et $ x = \ln 2 $. En déduire l'aire en cm².
Pour tout réel $ a > 0 $, on pose :

$ \mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{0}^{a} \left(f(x) - g(x)\right)\,dx $
1. Exprimer $ \mathcal{A}(a) $ en fonction de $ a $.
2. Déterminer la limite de $ \mathcal{A}(a) $ lorsque $ a $ tend vers $ +\infty $. Interpréter géométriquement le résultat.

Corrigé

Pour tout réel $ x $, on calcule :

$ f(x) - g(x) = e^{-x} - e^{-2x} = e^{-x}\left(1 - e^{-x}\right) $

Pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, on a $ -x \leqslant 0 $ donc $ e^{-x} \leqslant 1 $, ce qui donne $ 1 - e^{-x} \geqslant 0 $.
De plus, $ e^{-x} > 0 $. Le produit est donc positif :

$ f(x) - g(x) \geqslant 0 \text{ sur } [0\,;+\infty[ $

La courbe $ \mathcal{C}_f $ est donc au-dessus de la courbe $ \mathcal{C}_g $ sur $ [0\,;+\infty[ $, avec contact uniquement en $ x = 0 $.
La fonction $ f - g $ est continue sur $ \mathbb{R} $, elle admet donc des primitives.
On rappelle qu'une primitive de $ x \mapsto e^{-x} $ est $ x \mapsto -e^{-x} $, et qu'une primitive de $ x \mapsto e^{-2x} $ est $ x \mapsto -\dfrac{1}{2}e^{-2x} $.

Par linéarité, une primitive de $ f - g $ sur $ \mathbb{R} $ est :

$\mathbf{H(x) = -e^{-x} + \dfrac{1}{2}e^{-2x}}$

Vérification : $ H^{\prime}(x) = e^{-x} + \dfrac{1}{2} \times (-2)e^{-2x} = e^{-x} - e^{-2x} = f(x) - g(x) $.
Comme $ f \geqslant g $ sur $ [0\,;\ln 2] $, l'aire cherchée est :

$ \mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \left(f(x) - g(x)\right)\,dx = \left[H(x)\right]_{0}^{\ln 2} $

On utilise $ e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2} $ et $ e^{-2\ln 2} = \left(e^{-\ln 2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} $ :

$ H(\ln 2) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{3}{8} $

$ H(0) = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} $

D'où :

$ \mathcal{A} = -\dfrac{3}{8} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{8} $

L'aire vaut donc $ \dfrac{1}{8} $ u.a.

L'unité graphique étant 1 cm, l'unité d'aire vaut $ 1 \times 1 = 1 $ cm². L'aire est donc $ \dfrac{1}{8} $ cm² = $ 0{,}125 $ cm².
1. Pour $ a > 0 $ :
  
  $ \mathcal{A}(a) = \left[H(x)\right]_{0}^{a} = \left(-e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a}\right) - \left(-1 + \dfrac{1}{2}\right) $
  
  $ \mathcal{A}(a) = -e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a} + \dfrac{1}{2} $
  
  soit $\mathbf{\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2} - e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a}}$.
2. On a $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} e^{-a} = 0 $ et $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} e^{-2a} = 0 $. Par somme :
  
  $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2} - 0 + 0 = \dfrac{1}{2} $
  
  Interprétation : lorsque $ a $ devient très grand, l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $ x = 0 $ et $ x = a $ tend vers une limite finie égale à $ \dfrac{1}{2} $ u.a. L'aire totale entre les deux courbes sur $ [0\,;+\infty[ $ est donc finie, bien que le domaine soit non borné.

→ Pour réviser : Calculer une aire entre deux courbes

Primitive composée et condition initiale

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1} $

Justifier que $ f $ admet des primitives sur $ \mathbb{R} $.
Déterminer une primitive $ G $ de $ f $ sur $ \mathbb{R} $.
Déterminer la primitive $ F $ de $ f $ qui vérifie $ F(0) = 3 $.
Calculer $ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx $. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie au centième.

Corrigé

La fonction $ x \mapsto x^2 + 1 $ est continue et strictement positive sur $ \mathbb{R} $, donc $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $ comme quotient de fonctions continues. Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, donc $ f $ admet des primitives sur $ \mathbb{R} $.
Posons $ u(x) = x^2 + 1 $. Alors $ u^{\prime}(x) = 2x $ et $ u(x) > 0 $ sur $ \mathbb{R} $.
On peut écrire :

$ f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1} = 2 \times \dfrac{2x}{x^2 + 1} = 2 \times \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)} $

$ f $ est de la forme $ 2\,\dfrac{u^{\prime}}{u} $, dont une primitive sur un intervalle où $ u > 0 $ est $ 2\ln(u) $. Une primitive de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ est donc :

$\mathbf{G(x) = 2\ln(x^2 + 1)}$
Les primitives de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ sont les fonctions $ F(x) = 2\ln(x^2 + 1) + k $, où $ k \in \mathbb{R} $.
On cherche $ k $ tel que $ F(0) = 3 $ :

$ F(0) = 2\ln(0^2 + 1) + k = 2\ln(1) + k = k $

On a donc $ k = 3 $, soit :

$\mathbf{F(x) = 2\ln(x^2 + 1) + 3}$
On utilise la primitive $ G $ trouvée à la question 2 :

$ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \left[2\ln(x^2 + 1)\right]_{0}^{1} = 2\ln(2) - 2\ln(1) = 2\ln(2) $

On obtient $ 2\ln(2) \approx 1{,}386$.

La valeur exacte est $\mathbf{2\ln(2)}$ et la valeur approchée au centième est $\mathbf{1{,}39}$.

Vrai/Faux : Primitives d’une fonction

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les primitives, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors $F^{\prime}(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition d'une primitive : $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{\prime}(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la définition même d'une primitive $F$ de $f$ sur $I$ est que $F^{\prime} = f$ sur $I$.
Ne pas confondre avec la dérivée d'une fonction (le rôle inverse).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition d'une primitive : $F^{\prime} = f$ sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = 3x^2$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = 6x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On dérive : $F^{\prime}(x) = 6x = f(x)$. Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le réflexe : pour vérifier si $F$ est une primitive de $f$, dériver $F$ et comparer à $f$.
Ici $F^{\prime}(x) = 6x = f(x)$, ce qui valide la propriété.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $F^{\prime}(x) = 6x = f(x)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur un intervalle $I$, alors $F = G$ sur $I$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux primitives diffèrent d'une constante : $G(x) = F(x) + k$. Elles ne sont donc pas nécessairement égales.
Par exemple, $F(x) = x^2$ et $G(x) = x^2 + 5$ sont toutes deux des primitives de $2x$ sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est l'unicité : on a en réalité unicité à une constante près. Deux primitives diffèrent d'une constante, ce qui les rend généralement distinctes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante : $G = F + k$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = 5$ est $F(x) = 5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivée de la fonction constante $F(x) = 5$ vaut $0$, et non $5$. Une primitive de $f(x) = 5$ est $F(x) = 5x$ (vérification : $(5x)^{\prime} = 5$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : la dérivée d'une fonction constante est $0$, pas la constante elle-même. Une primitive d'une constante non nulle est une fonction affine.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée de $F(x) = 5$ est $0$, pas $5$. Une primitive de $5$ est $F(x) = 5x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (x^2 + 1)^4$ est une primitive de $f$ définie par $f(x) = 4(x^2 + 1)^3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On dérive $F$ comme une fonction composée : avec $u = x^2 + 1$ et $u^{\prime} = 2x$, on a $F^{\prime} = 4 \times 2x \times (x^2 + 1)^3 = 8x(x^2 + 1)^3$.
Or $f(x) = 4(x^2 + 1)^3$ : il manque le facteur $2x$. Donc $F$ n'est pas une primitive de $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : appliquer la règle des puissances comme si la base était $x$. Or ici la base est $u = x^2 + 1$ ; en dérivant, le facteur $u^{\prime} = 2x$ apparaît obligatoirement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée de $F$ est $8x(x^2 + 1)^3$ (par dérivée d'une fonction composée), pas $4(x^2 + 1)^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur $]0\,;\,+\infty[$, une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + \dfrac{1}{x}$ est $F(x) = x^2 + \ln x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On primitive terme à terme : $2x \to x^2$ et $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ (sur $]0\,;\,+\infty[$).
Donc $F(x) = x^2 + \ln x$ est une primitive. Vérification : $F^{\prime}(x) = 2x + \dfrac{1}{x} = f(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : primitiver chaque terme par linéarité. Pour $2x$, la primitive est $x^2$ ; pour $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$, la primitive est $\ln x$.
La somme convient : $F^{\prime}(x) = 2x + \dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $F^{\prime}(x) = 2x + \dfrac{1}{x} = f(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Calcul d’intégrales par primitivation

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'intégrales par primitivation : trouver une primitive et appliquer la formule $F(b) - F(a)$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{1}^{3} 2x \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$6$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $2x$ est $x^2$.
$\displaystyle\int_{1}^{3} 2x \, \mathrm{d}x = \left[x^2\right]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La différence $9 - 1 = 8$, pas $4$. Vérifier le calcul : $3^2 = 9$, $1^2 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ correspondrait à $3^2 - 3 = 6$. Vérifier : la primitive de $2x$ est bien $x^2$, pas $x^2 - x$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspond à la dérivée de $2x$ (qui est $2$) plutôt qu'à une primitive. Primitiver $2x$ donne $x^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver une primitive de $2x$, puis appliquer $F(b) - F(a)$ avec $a = 1$ et $b = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$\mathrm{e}$[/option]
[option correct="true"]$\mathrm{e} - 1$[/option]
[option]$\mathrm{e} + 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Une primitive de $\mathrm{e}^{x}$ est $\mathrm{e}^{x}$.
$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \, \mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{1} = \mathrm{e}^{1} - \mathrm{e}^{0} = \mathrm{e} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
On a $\mathrm{e}^{0} = 1$ mais $\mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}$, pas $1$. La différence $\mathrm{e} - 1$ ne se simplifie pas en $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}$"]Non.
La valeur en $0$ a été oubliée : $\mathrm{e}^{0} = 1$ doit être soustrait.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e} + 1$"]Non.
Erreur de signe : la formule est $F(b) - F(a)$, donc on soustrait $F(0)$, pas on l'ajoute.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une primitive de $\mathrm{e}^x$ est $\mathrm{e}^x$ ; appliquer $F(1) - F(0)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\ln 2$[/option]
[option]$\ln 2 - 1$[/option]
[option]$1 - \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\ln(1) = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $\ln x$.
$\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \left[\ln x\right]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln 2 - 1$"]Non.
$\ln 1 = 0$, pas $1$. La soustraction donne donc $\ln 2 - 0 = \ln 2$.[/reponse]
[reponse motif="$1 - \dfrac{1}{2}$"]Non.
Confusion : $\dfrac{1}{x}$ a été primitivé en $-\dfrac{1}{x^2}$ ou similaire. La règle de la puissance ne s'applique pas pour $n = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(1) = 0$"]Non.
On n'évalue pas la primitive seulement en $1$ : il faut faire la différence entre les valeurs en $2$ et en $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$ ; faire $\ln 2 - \ln 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$\mathrm{e} - 1$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$\mathrm{e}$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $\ln x$.
$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \left[\ln x\right]_{1}^{\mathrm{e}} = \ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e} - 1$"]Non.
La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$, pas $\mathrm{e}^{x}$. On évalue $\ln(\mathrm{e}) - \ln(1)$, pas $\mathrm{e} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}$"]Non.
La valeur en $1$ a été oubliée : $\ln(1) = 0$ doit bien être soustrait, mais c'est $\ln(\mathrm{e}) = 1$ qu'on évalue, pas $\mathrm{e}$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
On n'évalue pas la primitive seulement en $1$ : il faut faire $\ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Primitive de $\dfrac{1}{x}$ : $\ln x$. Calculer $\ln(\mathrm{e}) - \ln(1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^2 + 2)\, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par linéarité, une primitive de $3x^2 + 2$ est $x^3 + 2x$.
$\left[x^3 + 2x\right]_{-1}^{1} = (1 + 2) - (-1 - 2) = 3 - (-3) = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Le terme $3x^2$ semble avoir été oublié. Sa primitive est $x^3$, qui contribue par $1 - (-1) = 2$ à l'intégrale, en plus de $4$ pour le terme constant.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Le terme $2$ a une primitive $2x$ qui donne $2 - (-2) = 4$. Mais le terme $3x^2$, qui contribue aussi, a été oublié.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
La primitive de $3x^2$ est $x^3$ (et non $3x^3$). L'erreur la plus probable est sur le coefficient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Primitiver chaque terme par linéarité, puis appliquer $F(1) - F(-1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{2x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$\mathrm{e}^{2} - 1$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\mathrm{e}^{2} - 1}{2}$[/option]
[option]$2(\mathrm{e}^{2} - 1)$[/option]
[option]$\mathrm{e}^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{2x}$ (forme $\dfrac{1}{a}\,\mathrm{e}^{ax}$ avec $a = 2$).
$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{2x} \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{\mathrm{e}^{2}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\mathrm{e}^{2} - 1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}^{2} - 1$"]Non.
Le facteur $\dfrac{1}{2}$ provenant de la primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ a été oublié. La primitive n'est pas $\mathrm{e}^{2x}$.[/reponse]
[reponse motif="$2(\mathrm{e}^{2} - 1)$"]Non.
Mauvais sens du coefficient : la primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ a un facteur $\dfrac{1}{2}$ (on divise par $a = 2$), pas $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}^{2}$"]Non.
La valeur en $0$ a été oubliée : $\mathrm{e}^{0} = 1$ contribue avec un facteur $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $\mathrm{e}^{ax}$, une primitive est $\dfrac{1}{a}\,\mathrm{e}^{ax}$ ; ici $a = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Primitives de fonctions usuelles

[enonce]
Ce QCM porte sur les primitives des fonctions usuelles : puissances, inverse, exponentielle et formes composées. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3$ ?
[qcm]
[option]$3x^2$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{x^4}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{x^3}{3}$[/option]
[option]$4x^4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $f(x) = x^n$ (avec $n \neq -1$), une primitive est $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
Ici $n = 3$ donc $F(x) = \dfrac{x^4}{4}$. On vérifie : $F^{\prime}(x) = \dfrac{4x^3}{4} = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$3x^2$"]Non.
$3x^2$ est la dérivée de $x^3$, pas une primitive. Une primitive s'obtient en augmentant l'exposant de $1$ et en divisant par le nouvel exposant.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{x^3}{3}$"]Non.
L'exposant n'a pas été augmenté. La règle est : nouvelle puissance $= n + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$4x^4$"]Non.
Le coefficient n'est pas $4$ mais $\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{4}$. Diviser par le nouvel exposant, ne pas multiplier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour primitiver $x^n$, on ajoute $1$ à l'exposant et on divise par le nouvel exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \mathrm{e}^{x}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\mathrm{e}^{x}$[/option]
[option]$x\,\mathrm{e}^{x}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction exponentielle est sa propre primitive : si $F(x) = \mathrm{e}^{x}$ alors $F^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$x\,\mathrm{e}^{x}$"]Non.
La dérivée de $x\,\mathrm{e}^{x}$ est $\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}$ (par dérivation d'un produit), ce n'est pas $\mathrm{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$"]Non.
Confusion avec une règle de puissance. L'exponentielle est un cas particulier : sa primitive est elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1}$"]Non.
On a appliqué la règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, qui ne s'applique qu'aux puissances de $x$, pas à $\mathrm{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction exponentielle a une particularité : revoir sa dérivée et sa primitive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ?
[qcm]
[option]$-\dfrac{1}{x^2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2x^2}$[/option]
[option correct="true"]$\ln x$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\ln x}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sur $]0\,;\,+\infty[$, la fonction $\ln$ est dérivable et $(\ln x)^{\prime} = \dfrac{1}{x}$.
Donc une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{x^2}$"]Non.
$-\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de $\dfrac{1}{x}$, pas une primitive.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2x^2}$"]Non.
La règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ne fonctionne pas pour $n = -1$ (elle donnerait une division par zéro). Le cas $\dfrac{1}{x}$ est traité à part.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\ln x}$"]Non.
$\ln x$ apparaît bien dans la réponse, mais pas en dénominateur. Vérifier la formule de dérivée de $\ln$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le cas $\dfrac{1}{x}$ est exceptionnel : penser à la dérivée d'une fonction logarithme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ ?
[qcm]
[option]$-\dfrac{2}{x^3}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3x^3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On écrit $\dfrac{1}{x^2}$ sous la forme $\dfrac{1}{x^n}$ avec $n = 2$ : une primitive est $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} = -\dfrac{1}{x}$. Vérification : $\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{\prime} = \dfrac{1}{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{2}{x^3}$"]Non.
$-\dfrac{2}{x^3}$ est la dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$, pas une primitive. Primitiver et dériver sont des opérations inverses.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x}$"]Non.
Erreur de signe. La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$ ; il faut donc l'opposé : $-\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3x^3}$"]Non.
On a appliqué la règle des puissances de $x$ à un dénominateur. Pour $\dfrac{1}{x^n}$, la primitive est $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^n}$ avec $n = 2$ et appliquer la formule $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = 4x^3 - 6x + 5$ ?
[qcm]
[option]$12x^2 - 6$[/option]
[option]$x^4 - 3x^2 + 5$[/option]
[option correct="true"]$x^4 - 3x^2 + 5x$[/option]
[option]$\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{6x^2}{2} + 5x$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On primitive terme à terme par linéarité.
$4x^3 \to \dfrac{4x^4}{4} = x^4$ ; $-6x \to -\dfrac{6x^2}{2} = -3x^2$ ; $5 \to 5x$.
Donc $F(x) = x^4 - 3x^2 + 5x$. Vérification : $F^{\prime}(x) = 4x^3 - 6x + 5$.[/reponse]
[reponse motif="$12x^2 - 6$"]Non.
$12x^2 - 6$ est la dérivée de $f$, pas une primitive. Pour primitiver, augmenter l'exposant et diviser ; pour dériver, c'est l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$x^4 - 3x^2 + 5$"]Non.
La constante $5$ a été oubliée : sa primitive est $5x$, pas $5$. Une constante non nulle n'est pas sa propre primitive.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{6x^2}{2} + 5x$"]Pas tout à fait.
Le résultat est correct mathématiquement mais il faut simplifier : $\dfrac{4x^4}{4} = x^4$ et $\dfrac{6x^2}{2} = 3x^2$. Toujours simplifier les fractions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Primitiver chaque terme séparément (linéarité) et ne pas oublier le terme constant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ ?
[qcm]
[option]$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option correct="true"]$\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$2\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{2x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction est de la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x) = x^2$ et $u^{\prime}(x) = 2x$. Ses primitives sont $\mathrm{e}^{u} + k$, soit $\mathrm{e}^{x^2}$. Vérification : $\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)^{\prime} = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
On ne primitive pas $\mathrm{e}^{x^2}$ en remplaçant $2x$ par $x^2$. Reconnaître la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ dont la primitive est $\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
Le facteur $2$ est en trop. La dérivée de $2\,\mathrm{e}^{x^2}$ est $4x\,\mathrm{e}^{x^2}$, pas $2x\,\mathrm{e}^{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{2x}$"]Non.
On ne divise pas par $u^{\prime}$. Pour la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$, la primitive est simplement $\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x) = x^2$ : une primitive est $\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Primitives de fonctions composées

[enonce]
Ce QCM porte sur les primitives de fonctions composées des trois formes classiques : $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$, $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ et $u^{\prime}\,u^{n}$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{2}$[/option]
[option]$2x\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On pose $u(x) = x^2$, donc $u^{\prime}(x) = 2x$. La fonction est de la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ : une primitive est $\mathrm{e}^{u} = \mathrm{e}^{x^2}$.
Vérification : $\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)^{\prime} = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
Confusion avec un produit. La primitive d'une forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ est simplement $\mathrm{e}^{u}$, sans facteur supplémentaire.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{2}$"]Non.
Le facteur $\dfrac{1}{2}$ serait nécessaire si on avait écrit $\dfrac{1}{2}(2x\,\mathrm{e}^{x^2})$. Ici $u^{\prime} = 2x$ apparaît déjà tel quel.[/reponse]
[reponse motif="$2x\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
Cette expression est la fonction $f$ elle-même, pas sa primitive ! Une primitive doit avoir pour dérivée $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la forme : $f = u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$. Une primitive est alors $\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{x^2 + 1}$[/option]
[option correct="true"]$\ln(x^2 + 1)$[/option]
[option]$2x \ln(x^2 + 1)$[/option]
[option]$\dfrac{(x^2 + 1)^2}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On pose $u(x) = x^2 + 1$ (qui est strictement positif), donc $u^{\prime}(x) = 2x$. La fonction est de la forme $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ : une primitive est $\ln(u) = \ln(x^2 + 1)$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x^2 + 1}$"]Non.
$\dfrac{1}{x^2 + 1}$ ne convient pas. La forme $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ a pour primitive $\ln(u)$, pas $\dfrac{1}{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$2x \ln(x^2 + 1)$"]Non.
Le facteur $2x$ ne doit pas se retrouver dans la primitive : il apparaît une fois lors de la dérivation.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{(x^2 + 1)^2}{2}$"]Non.
Cette expression correspondrait à une primitive de $2x(x^2+1)$ (forme $u^{\prime}\,u$), pas de $\dfrac{2x}{x^2+1}$ (forme $\dfrac{u^{\prime}}{u}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer la forme : numérateur égal à la dérivée du dénominateur. C'est la forme $\dfrac{u^{\prime}}{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = (2x + 1)(x^2 + x)^3$ ?
[qcm]
[option]$(x^2 + x)^4$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{(x^2 + x)^4}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{(x^2 + x)^3}{3}$[/option]
[option]$(2x + 1)\dfrac{(x^2 + x)^4}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On pose $u(x) = x^2 + x$, donc $u^{\prime}(x) = 2x + 1$. La fonction est de la forme $u^{\prime}\,u^{3}$ : une primitive est $\dfrac{u^{4}}{4} = \dfrac{(x^2 + x)^4}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$(x^2 + x)^4$"]Non.
La division par le nouvel exposant $4$ a été oubliée. La règle est $u^{\prime}\,u^{n} \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{(x^2 + x)^3}{3}$"]Non.
L'exposant n'a pas été augmenté. Sur $u^{\prime}\,u^{n}$, on passe à $u^{n+1}$ en divisant par $n+1$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x + 1)\dfrac{(x^2 + x)^4}{4}$"]Non.
Le facteur $u^{\prime} = 2x + 1$ ne doit pas réapparaître dans la primitive : il sert seulement à reconnaître la forme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u^{\prime}\,u^n$ et appliquer $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x^2}$ ?
[qcm]
[option]$\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$2\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On pose $u(x) = x^2$, donc $u^{\prime}(x) = 2x$. Or $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x^2} = \dfrac{1}{2} \times 2x\,\mathrm{e}^{x^2} = \dfrac{1}{2}\,u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$.
Une primitive est donc $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{u} = \dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
Pour obtenir la forme exacte $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$, il manque un facteur $2$ dans $f$. Compenser ce manque par $\dfrac{1}{2}$ dans la primitive.[/reponse]
[reponse motif="$2\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
Mauvais sens du coefficient correctif. Si $f$ vaut $\dfrac{1}{2}u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$, la primitive est $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{u}$, pas $2\,\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
Confusion avec un produit. La primitive d'une forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ est $\mathrm{e}^{u}$, pas $u\,\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Forcer l'apparition de $u^{\prime} = 2x$ dans le facteur de $\mathrm{e}^{x^2}$ et compenser par une constante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $]\,0\,;\,+\infty\,[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}$ (avec $x > 1$) ?
[qcm]
[option]$\ln x$[/option]
[option correct="true"]$\ln(\ln x)$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}(\ln x)^2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\ln x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On pose $u(x) = \ln x$, donc $u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}$. Or $f(x) = \dfrac{1/x}{\ln x} = \dfrac{u^{\prime}}{u}$.
Sur $]\,1\,;\,+\infty\,[$, $u > 0$ donc une primitive est $\ln(u) = \ln(\ln x)$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln x$"]Non.
La dérivée de $\ln x$ est $\dfrac{1}{x}$, pas $\dfrac{1}{x \ln x}$. Il manque le $\ln x$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}(\ln x)^2$"]Non.
La dérivée de $\dfrac{1}{2}(\ln x)^2$ est $\ln x \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln x}{x}$, pas $\dfrac{1}{x \ln x}$. Cela correspond à $u^{\prime}\,u$, pas à $\dfrac{u^{\prime}}{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\ln x}$"]Non.
La dérivée de $\dfrac{1}{\ln x}$ est $-\dfrac{1/x}{(\ln x)^2}$, ce qui ne correspond pas à $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ avec $u = \ln x$. Une primitive est $\ln(u)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \mathrm{e}^{3x}$ ?
[qcm]
[option]$\mathrm{e}^{3x}$[/option]
[option]$3\,\mathrm{e}^{3x}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{3x}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{3x+1}}{3x+1}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On pose $u(x) = 3x$, donc $u^{\prime}(x) = 3$. On écrit $f(x) = \mathrm{e}^{3x} = \dfrac{1}{3} \times 3\,\mathrm{e}^{3x} = \dfrac{1}{3}\,u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$.
Une primitive est $\dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{u} = \dfrac{1}{3}\,\mathrm{e}^{3x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}^{3x}$"]Non.
La dérivée de $\mathrm{e}^{3x}$ est $3\,\mathrm{e}^{3x}$ (avec le facteur $3$), pas $\mathrm{e}^{3x}$. Il faut donc compenser ce facteur par $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\,\mathrm{e}^{3x}$"]Non.
Mauvais sens du coefficient. Si dériver $\mathrm{e}^{3x}$ multiplie par $3$, primitiver $\mathrm{e}^{3x}$ doit diviser par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{3x+1}}{3x+1}$"]Non.
La règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ s'applique aux puissances de $x$, pas à $\mathrm{e}^{3x}$. Pour l'exponentielle d'une fonction affine, on utilise la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^u$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une exponentielle d'une fonction affine $\mathrm{e}^{ax}$, une primitive est $\dfrac{1}{a}\,\mathrm{e}^{ax}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]