[enonce]
Ce QCM porte sur la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et l'encadrement d'une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. Comment se calcule la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$(b - a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur moyenne d'une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ est par définition $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.
On divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$"]Non.
L'intégrale seule donne la « somme accumulée », pas la moyenne. Diviser par la longueur de l'intervalle est essentiel pour obtenir une moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$(b - a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$"]Non.
Mauvais sens du facteur : on divise par $b - a$, on ne multiplie pas. Une moyenne se calcule en divisant la somme par le nombre/la longueur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$"]Non.
Ceci est la moyenne des valeurs aux bornes, pas la valeur moyenne sur tout l'intervalle. Elles coïncident seulement pour les fonctions affines.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Définition : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x$ sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$8$[/option]
[option]$16$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\displaystyle\int_{0}^{4} 2x\,\mathrm{d}x = \left[x^2\right]_0^4 = 16$.
Valeur moyenne $\mu = \dfrac{1}{4 - 0} \times 16 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la dérivée de $f$, donc la pente — pas la valeur moyenne. Calculer l'intégrale puis diviser par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ ressemble à $\dfrac{16}{2}$ : peut-être que la division par $b - a = 4$ a été remplacée par une division par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
$16$ est la valeur de l'intégrale. La valeur moyenne s'obtient en divisant cette intégrale par la longueur $b - a = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\displaystyle\int_0^4 2x\,\mathrm{d}x$, puis diviser par $4 - 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[1\,;\,3]$ avec $2 \leqslant f(x) \leqslant 5$ pour tout $x \in [1\,;\,3]$. Comment encadrer $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 5$[/option]
[option correct="true"]$4 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$[/option]
[option]$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$[/option]
[option]$1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant \dfrac{5}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On intègre l'encadrement $2 \leqslant f(x) \leqslant 5$ sur $[1\,;\,3]$ (longueur $2$) :
$2 \times 2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant 5 \times 2$, soit $4 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 5$"]Non.
Les bornes de l'encadrement de $f$ ont été reprises telles quelles. Il faut les multiplier par la longueur de l'intervalle ($b - a = 2$).[/reponse]
[reponse motif="$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$"]Non.
La borne supérieure $10 = 5 \times 2$ est correcte, mais la borne inférieure $2$ ne l'est pas. Multiplier aussi la borne inférieure par la longueur : $2 \times 2 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant \dfrac{5}{2}$"]Non.
On dirait qu'on a divisé par $2$ au lieu de multiplier. L'intégration multiplie l'encadrement par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $m \leqslant f \leqslant M$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $m(b - a) \leqslant \displaystyle\int_a^b f \leqslant M(b - a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[0\,;\,5]$ est égale à $7$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$35$[/option]
[option]$\dfrac{7}{5}$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La relation $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$ donne $\displaystyle\int_a^b f = \mu \times (b - a)$.
Ici $\displaystyle\int_0^5 f = 7 \times 5 = 35$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ est la valeur moyenne, pas l'intégrale. Pour retrouver l'intégrale, multiplier la moyenne par la longueur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{5}$"]Non.
Mauvais sens du facteur : on multiplie par $b - a = 5$, on ne divise pas par $5$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 7 + 5$ : addition au lieu de multiplication. Or la formule liant valeur moyenne et intégrale est $\displaystyle\int = \mu \times (b - a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Inverser la formule de la valeur moyenne : $\displaystyle\int_a^b f = \mu \times (b - a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,2]$ avec $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ pour tout $x \in [0\,;\,2]$. Que peut-on dire de la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[0\,;\,2]$ ?
[qcm]
[option]$\mu = 0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0 \leqslant \mu \leqslant 1$[/option]
[option]$0 \leqslant \mu \leqslant 2$[/option]
[option]$\mu \geqslant 1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On intègre $0 \leqslant f \leqslant 1$ sur $[0\,;\,2]$ : $0 \leqslant \displaystyle\int_0^2 f \leqslant 2$.
Puis $\mu = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 f$, donc $0 \leqslant \mu \leqslant 1$.
La valeur moyenne reste comprise entre les bornes de la fonction, c'est cohérent.[/reponse]
[reponse motif="$\mu = 0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ est le milieu de $[0\,;\,1]$, pas une valeur exacte de $\mu$. Sans connaître $f$ précisément, on peut seulement encadrer $\mu$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant \mu \leqslant 2$"]Non.
La borne supérieure est trop large. La valeur moyenne est encadrée par les mêmes bornes que la fonction $f$ : $0 \leqslant \mu \leqslant 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mu \geqslant 1$"]Non.
$\mu \geqslant 1$ ne serait possible que si $f \geqslant 1$ partout. Or ici $f \leqslant 1$, donc $\mu \leqslant 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Encadrer l'intégrale puis diviser par $b - a$ pour encadrer la valeur moyenne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est continue sur $[0\,;\,4]$ et vérifie $0 \leqslant f(x) \leqslant x^2$ pour tout $x \in [0\,;\,4]$. Quelle est la meilleure majoration de $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ qu'on peut donner ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 16$[/option]
[option correct="true"]$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant \dfrac{64}{3}$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 4$[/option]
[option]On ne peut pas majorer car $f$ est inconnue[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise la croissance de l'intégrale : si $f(x) \leqslant g(x)$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant \displaystyle\int_a^b g$.
Ici $g(x) = x^2$, donc $\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant \displaystyle\int_{0}^{4} x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4 = \dfrac{64}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 16$"]Non.
$16 = 4^2$ est la valeur maximale de $x^2$ sur $[0\,;\,4]$ (donc une majoration grossière du type $M(b-a)$ donnerait $16 \times 4 = 64$). Mieux : intégrer la majoration $x^2$ directement, pour obtenir une majoration plus fine.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 4$"]Non.
Cette majoration est trop petite. Elle correspondrait à $f \leqslant 1$ sur $[0\,;\,4]$, ce qui n'est pas l'hypothèse. Intégrer $x^2$ sur $[0\,;\,4]$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas majorer car $f$ est inconnue"]Non.
On peut majorer une intégrale dès qu'on dispose d'une majoration de la fonction (croissance de l'intégrale).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Croissance de l'intégrale : $\displaystyle\int_0^4 f \leqslant \displaystyle\int_0^4 x^2\,\mathrm{d}x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Un coureur effectue un sprint d'entraînement de 6 secondes. Sa vitesse instantanée, exprimée en mètres par seconde, est modélisée par la fonction $ v $ définie sur $ [0\,;6] $ par :

où $ t $ désigne le temps écoulé depuis le départ, en secondes.

On admet que la distance parcourue (en mètres) entre les instants $ t = a $ et $ t = b $ est égale à $ \displaystyle\int_{a}^{b} v(t)\,dt $.

1. Vérifier que $ v(t) \geqslant 0 $ pour tout $ t \in [0\,;6] $.
2. Déterminer l'instant $ t_0 $ pour lequel la vitesse du coureur est maximale, ainsi que la valeur de cette vitesse maximale.
3. Calculer la distance totale parcourue par le coureur pendant les 6 secondes du sprint.
4. En déduire la vitesse moyenne du coureur sur $ [0\,;6] $, exprimée en m/s puis en km/h.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur la valeur moyenne d'une fonction et l'encadrement d'intégrales, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$.

Affirmation : La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ vaut $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Définition exacte : on divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de la valeur moyenne.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$ vaut $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9$.
Mais la valeur moyenne s'obtient en divisant par $b - a = 3$ : $\mu = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.
La valeur correcte est $3$, pas $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas oublier de diviser par la longueur de l'intervalle : la valeur $9$ est l'intégrale, pas la moyenne. La moyenne vaut $\dfrac{9}{3} = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 3$, et non $9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, et $m \leqslant f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in [a\,;\,b]$.

Affirmation : La valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[a\,;\,b]$ vérifie $m \leqslant \mu \leqslant M$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On intègre $m \leqslant f \leqslant M$ sur $[a\,;\,b]$ : $m(b - a) \leqslant \displaystyle\int_a^b f \leqslant M(b - a)$.
Diviser par $b - a > 0$ donne $m \leqslant \mu \leqslant M$.
La valeur moyenne reste comprise entre les bornes de la fonction, ce qui est cohérent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une moyenne ne peut pas dépasser le maximum ni descendre sous le minimum des valeurs. C'est une conséquence directe de la croissance de l'intégrale.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $m \leqslant f \leqslant M$, alors $m \leqslant \mu \leqslant M$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $f$ et $g$ continues sur $[1\,;\,4]$ avec $f(x) \leqslant g(x)$ pour tout $x \in [1\,;\,4]$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant \displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La croissance de l'intégrale donne le contraire : $\displaystyle\int_1^4 f \leqslant \displaystyle\int_1^4 g$ (avec $1 < 4$).
L'inégalité entre fonctions se transmet aux intégrales dans le même sens, pas dans le sens inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le sens de l'inégalité est inversé : si $f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $\displaystyle\int f \leqslant \displaystyle\int g$ (même sens).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par croissance, $\displaystyle\int_1^4 f \leqslant \displaystyle\int_1^4 g$, et non l'inverse.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,5]$ avec $1 \leqslant f(x) \leqslant 4$ pour tout $x$.

Affirmation : On peut affirmer que $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant 20$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On intègre la majoration $f(x) \leqslant 4$ sur $[0\,;\,5]$ : $\displaystyle\int_0^5 f \leqslant 4 \times 5 = 20$.
La majoration $20$ est donc correcte (et atteinte si $f$ est constante égale à $4$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : utiliser l'encadrement de $f$ et la croissance de l'intégrale. Sur $[0\,;\,5]$ (longueur $5$), si $f \leqslant 4$, alors $\displaystyle\int f \leqslant 4 \times 5 = 20$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\displaystyle\int_0^5 f \leqslant 4 \times 5 = 20$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;\,2]$ telle que la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,2]$ vaut $7$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 7$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La relation est $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$, soit $\displaystyle\int_a^b f = \mu \times (b - a)$.
Ici $\displaystyle\int_0^2 f = 7 \times 2 = 14$, pas $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : confondre valeur moyenne et intégrale. L'intégrale vaut $\mu \times (b - a)$, donc ici $7 \times 2 = 14$.
La valeur moyenne et l'intégrale ne coïncident que lorsque $b - a = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\displaystyle\int_0^2 f = \mu \times (2 - 0) = 14$, pas $7$.
[/solution]
[/etape]

Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la propagation.

Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.

Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction $ g $ définie sur l'intervalle $ \left[0 ; 10\right] $ par $ g\left(t\right)=\dfrac{4t}{t^{2}+1}. $
Lorsque $ t $ représente le temps écoulé, en heures, depuis l'injection de l'antibiotique, $ g\left(t\right) $ représente la concentration en mg/l de l'antibiotique.

Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction $ g $.

1. Par lecture graphique donner sans justification :

   1. les variations de la fonction $ g $ sur $ \left[0 ; 10\right] $ ;
   2. la concentration maximale d'antibiotique lors des 10 premières heures ;
   3. l'intervalle de temps pendant lequel la concentration de l'antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l

2. 1. La fonction $ g $ est dérivable sur l'intervalle $ \left[0 ; 10\right] $ et sa dérivée est $ g^{\prime} $.
      Montrer que :

      $ g^{\prime}\left(t\right)=\dfrac{4\left(1 - t^{2}\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}} $.

   2. En utilisant l'expression de $ g^{\prime}\left(t\right) $, montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l'injection

3. On admet que $ G $ définie sur $ \left[0 ; 10\right] $ par $ G\left(t\right)=2\ln \left(t^{2}+1\right) $ est une primitive de $ g $ sur cet intervalle.

   Quelle est la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.

   Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $ f $ sur $ \left[a ; b\right] $ est donnée par $ \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f\left(x\right)dx $.

4. On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d'un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.

   La CMI de l'antibiotique injecté est $ 1{,}2 $ mg/l.

   Déterminer, par le calcul, le temps d'antibiotique utile c'est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l'antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.