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QCM Bilan : Suites arithmétiques et géométriques

[enonce]
Ce QCM bilan couvre les suites arithmétiques et les suites géométriques : reconnaissance, raison, premier terme, somme des termes et modélisation. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = -3$. Quelle est l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ ?
[qcm]
[option]$u_n = 7 - 3n - 3$[/option]
[option]$u_n = 7 \times (-3)^n$[/option]
[option correct="true"]$u_n = 7 - 3n$[/option]
[option]$u_n = -3 + 7n$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, on a $u_n = u_0 + nr = 7 + n \times (-3) = 7 - 3n$.[/reponse]
[reponse motif="$u_n = 7 - 3n - 3$"]Non.
La formule à utiliser ici est $u_n = u_0 + nr$ (premier terme indicé $0$). Elle ne contient pas de $-3$ supplémentaire.[/reponse]
[reponse motif="$u_n = 7 \times (-3)^n$"]Non.
C'est la formule d'une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$. Pour une suite arithmétique, on additionne, on ne multiplie pas.[/reponse]
[reponse motif="$u_n = -3 + 7n$"]Non.
Le premier terme et la raison ont été échangés. Le premier terme est $u_0 = 7$ et la raison est $r = -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule d'une suite arithmétique : $u_n = u_0 + nr$, en remplaçant $u_0$ et $r$ par leurs valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite géométrique $(u_n)$ vérifie $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$. Quelle est sa raison $q$ ?
[qcm]
[option]$q = 8$[/option]
[option correct="true"]$q = 2$[/option]
[option]$q = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$q = 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la relation $u_5 = u_2 \times q^{5-2} = u_2 \times q^3$.
Donc $96 = 12 \times q^3$, soit $q^3 = 8$, et $q = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 8$"]Non.
$8$ est la valeur de $q^3$, pas de $q$ lui-même. Il reste à extraire la racine cubique pour obtenir la raison.[/reponse]
[reponse motif="$q = \dfrac{1}{2}$"]Non.
Une raison plus petite que $1$ ferait décroître la suite, alors qu'ici on passe de $12$ à $96$ : la suite croît, donc $q > 1$.[/reponse]
[reponse motif="$q = 4$"]Non.
La relation utilisée est sans doute $u_5 = u_2 \times q^4$ : il faut utiliser $q^{5-2} = q^3$, l'écart d'indices est $5 - 2 = 3$, pas $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la relation $u_n = u_p \times q^{n-p}$ entre deux termes d'une suite géométrique pour exprimer le quotient $\dfrac{u_5}{u_2}$ en fonction de $q$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la somme $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$.
[qcm]
[option]$S = 100$[/option]
[option]$S = 10\,000$[/option]
[option correct="true"]$S = 5050$[/option]
[option]$S = 5000$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La somme des $n$ premiers entiers naturels strictement positifs vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Avec $n = 100$ : $S = \dfrac{100 \times 101}{2} = \dfrac{10\,100}{2} = 5050$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 100$"]Non.
$100$ est seulement le dernier terme de la somme, pas la somme elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$S = 10\,000$"]Non.
$100^2 = 10\,000$ correspond à la somme des $100$ premiers nombres impairs, ou à la formule mal appliquée. La somme des entiers de $1$ à $n$ est $\dfrac{n(n+1)}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 5000$"]Non.
Erreur de calcul intermédiaire. Reprendre $\dfrac{100 \times 101}{2}$ avec attention au terme $n + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 100$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = 2$. Combien vaut la somme $S = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_{10}$ ?
[qcm]
[option]$S = 1024$[/option]
[option correct="true"]$S = 2047$[/option]
[option]$S = 2048$[/option]
[option]$S = 1023$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La somme des $n + 1$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ est $u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Avec $u_0 = 1$, $q = 2$ et $n = 10$ : $S = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1024$"]Non.
$1024 = 2^{10}$ est la valeur de $u_{10}$, pas la somme des onze premiers termes.[/reponse]
[reponse motif="$S = 2048$"]Non.
$2048 = 2^{11}$ est la valeur de $q^{n+1}$, pas la somme. Continuer avec la formule $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = 1023$"]Non.
Erreur d'indice : il y a $11$ termes ($u_0$ à $u_{10}$), donc $n + 1 = 11$. Vérifier que la puissance utilisée est bien $2^{11}$ et non $2^{10}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ avec $n + 1$ termes au total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une commune compte $20\,000$ habitants en 2025 et perd chaque année $2\,\%$ de sa population. On note $P_n$ le nombre d'habitants en l'année $2025 + n$. Quelle est la nature de la suite $(P_n)$ ?
[qcm]
[option]Arithmétique de raison $-400$[/option]
[option]Arithmétique de raison $-2$[/option]
[option correct="true"]Géométrique de raison $0{,}98$[/option]
[option]Géométrique de raison $-0{,}02$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Perdre $2\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}02 = 0{,}98$ chaque année. Donc $P_{n+1} = P_n \times 0{,}98$ : c'est une suite géométrique de raison $0{,}98$.[/reponse]
[reponse motif="Arithmétique de raison $-400$"]Non.
Perdre un pourcentage (et non un nombre fixe d'habitants) correspond à une multiplication, donc à une suite géométrique, pas arithmétique.[/reponse]
[reponse motif="Arithmétique de raison $-2$"]Non.
$-2$ est lié au pourcentage $2\,\%$, mais une diminution en pourcentage correspond à une multiplication, donc à une suite géométrique.[/reponse]
[reponse motif="Géométrique de raison $-0{,}02$"]Non.
$0{,}02$ correspond bien à $2\,\%$, mais ce n'est pas la raison. Une perte de $2\,\%$ correspond à une multiplication par $1 - 0{,}02$, pas par $-0{,}02$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une variation en pourcentage correspond à une multiplication par un coefficient. Identifier ce coefficient pour conclure sur la nature de la suite et sa raison.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On place $1\,000$ € sur un livret rapportant $3\,\%$ d'intérêts composés par an. Soit $C_n$ le capital après $n$ années. Quel sera le capital après $5$ ans (arrondi à l'euro) ?
[qcm]
[option]$1\,150$ €[/option]
[option correct="true"]$1\,159$ €[/option]
[option]$1\,015$ €[/option]
[option]$1\,500$ €[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Avec des intérêts composés, $C_n = 1000 \times (1{,}03)^n$.
Pour $n = 5$ : $C_5 = 1000 \times (1{,}03)^5 \approx 1000 \times 1{,}1593 \approx 1\,159$ €.[/reponse]
[reponse motif="$1\,150$ €"]Non.
$150$ correspond à $5 \times 30$ : le calcul effectué est celui des intérêts simples ($3\,\%$ chaque année appliqué au capital initial). Avec des intérêts composés, le coefficient est $(1{,}03)^5$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,015$ €"]Non.
$15$ correspond à $5 \times 3$ : la confusion est entre un pourcentage et son montant en euros. Reprendre avec le coefficient multiplicateur $1{,}03$ élevé à la puissance $5$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,500$ €"]Non.
Le calcul utilisé semble être un facteur $1{,}5$, qui correspondrait à $50\,\%$ d'augmentation. Avec $3\,\%$ par an pendant $5$ ans, l'augmentation totale est bien plus modeste.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour des intérêts composés, le capital évolue selon $C_n = C_0 \times (1{,}03)^n$. Calculer cette puissance pour $n = 5$ et arrondir.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Suites – Bac ES/L Métropole 2015

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite $ \left(u_n\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ non nul, par :

$ u_n = 2000 \times 1{,}008^{n - 1} $

où $ u_n $ représente le coût en euros du forage de la $ n $-ième dizaine de mètres.

On a ainsi $ u_1 = 2000 $ et $ u_2 = 2016 $, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2016 euros.

Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

  1. Calculer $ u_3 $ puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.

  2. Pour tout entier naturel $ n $ non nul :

    1. Exprimer $ u_{n+1} $ en fonction de $ u_n $ et préciser la nature de la suite $ \left(u_n\right) $.
    2. En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la $ (n+1) $-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $ n $-ième dizaine de mètres.

  3. On considère l'algorithme ci-dessous :
    INITIALISATION $ u $ prend la valeur 2000 $ S $ prend la valeur 2000 TRAITEMENT Saisir $ n $ Pour $ i $ allant de 2 à $ n $ $ u $ prend la valeur $ u \times 1{,}008 $ $ S $ prend la valeur $ S+u $ Fin Pour SORTIE Afficher $ S $
    La valeur de $ n $ saisie est 5.

    1. Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de $ n $.

      Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire).

      Valeur de $ i $   2 ... ...
      Valeur de $ u $ 2000 ... ... ...
      Valeur de $ S $ 2000 ... ... ...
    2. Quelle est la valeur de $ S $ affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.

  4. On note $ S_n = u_1+u_2+\cdots +u_n $ la somme des $ n $ premiers termes de la suite $ \left(u_n\right) $, $ n $ étant un entier naturel non nul. On admet que :

    $ S_n = - 250000+250000 \times 1{,}008^n $

    .

    Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros, On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.

    1. Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation ...).
    2. Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.

Corrigé

  1. $ u_3=2000 \times 1{,}008^2 \approx 2\,032{,}13 $

    Le coût total de forage des 30 premiers mètres est donc :

    $ u_1+u_2+u_3 \approx 2000+2016+2\,032{,}13 \approx 6\,048{,}13 $

    1. Chaque terme de la suite $ (u_n) $ s'obtient en multipliant le terme précédent par $ 1{,}008 $, donc pour tout entier $ n $ :

      $ u_{n+1}=1{,}008 \times u_n $

      La suite $ (u_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ u_1 = 2\,000 $ et de raison $ q = 1{,}008 $.

    2. Si $ t $ représente le taux, en pour-cents, correspondant au coefficient multiplicateur $ 1{,}008 $ :

      $ 1+\dfrac{t}{100}=1{,}008 $

      $ \dfrac{t}{100}=0{,}008 $

      $ t=0{,}8 $

      Le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la $ (n+1) $-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $ n $-ième dizaine de mètres est de $ 0{,}8 $%

    1. En faisant fonctionner l'algorithme pour $ n=5 $, on obtient :

      Valeur de $ i $   2 3 4 5
      Valeur de $ u $ 2000 2016 2032,13 2048,39 2064,77
      Valeur de $ S $ 2000 4016 6048,13 8096,51 10161,29
    2. La valeur affichée en sortie est $ 10161{,}29 $. Cette valeur correspond au coût total, en euros, de forage des 50 premiers mètres.

    1. On recherche la plus grande valeur de $ n $ telle que $ S_n < 125000 $ :

      $ S_n < 125000 \Leftrightarrow - 250000+250000 \times 1{,}008^n < 125000 $

      $ \phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 250000 \times 1{,}008^n < 125000+250000 $

      $ \phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 1{,}008^n < \dfrac{375000}{250000} $

      $ \phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 1{,}008^n < 1{,}5 $

      En appliquant à chaque membre la fonction $ \ln $ qui est définie et strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $ :

      $ \phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow \ln(1{,}008^n) < \ln 1{,}5 $

      $ \phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow n \ln(1{,}008) < \ln 1{,}5 $

      Comme $ \ln(1{,}008) $ est strictement positif :

      $ \phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow n < \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln(1{,}008)} \approx 50{,}9 $

      La plus grande valeur possible pour $ n $ est donc $ n=50 $.

      La profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget est donc 50 dizaines de mètres (ou 500 mètres).

    2. INITIALISATION $ u $ prend la valeur 2000 $ S $ prend la valeur 2000 $ i $ prend la valeur 1 TRAITEMENT Tant que$ S < 125000 $ $ u $ prend la valeur $ u \times 1{,}008 $ $ S $ prend la valeur $ S+u $ $ i $ prend la valeur $ i+1 $ Fin Tant que SORTIE Afficher $ i - 1 $
      Remarques :A la sortie de la boucle $ i $ représente la valeur de l'indice pour laquelle le coût dépasse 125000 euros. Comme on souhaite une valeur de $ i $ pour lequel ce coût reste inférieur, il faut afficher la valeur précédente, c'est à dire $ i - 1 $.

      Le résultat de l'algorithme est donné en dizaines de mètres. Il faut multiplier ce résultat par 10 si on veut le convertir en mètres (non précisé dans l'énoncé).

Suites – Bac ES/L Polynésie 2013

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française.

Les montants réalisés à l'exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d'euros :

Années 2008 2009 2010 2011
Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) 81295 66052 64690 63182

Source : ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie Française)

    1. Montrer que le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est $ - 8{,}06\% $ arrondi au centième. On admet pour la suite de l'exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.

    2. On considère l'algorithme suivant :

      Entrée : Saisir un nombre positif P
      Traitement : Affecter la valeur 0 à la variable N (initialisation)
        Affecter la valeur 63182 à U (initialisation)
        Tant que U > P
        $ \quad $Affecter la valeur N+1 à N
        $ \quad $Affecter la valeur 0,92$ \times $U à U
        Fin de Tant que
        Affecter la valeur N+2011 à N
      Sortie : Afficher N

      Si on saisit $ P=50\,000 $ en entrée, qu'obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles

  2. Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite $ \left(u_{n}\right) $. On note $ u_{0} $ le montant en 2011, en milliers d'euros, et $ u_{n} $ le montant en $ 2011+n $, en milliers d'euros. On a donc $ u_{0}=63\,182 $ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

    1. Montrer que $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    2. Exprimer, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
    3. Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d'euros
  3. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.

Corrigé

    1. Le taux d'évolution global entre 2008 et 2011 est :

      $ T = \dfrac{V_{2011} - V_{2008}}{V_{2008}} = \dfrac{63182 - 81295}{81295} \approx -0{,}2228 $

      Soit un coefficient multiplicateur global de $ CM = 1 + T = 0{,}7772 $.
      Il s'est écoulé $ n = 3 $ années entre 2008 et 2011.
      Le taux d'évolution annuel moyen $ t_m $ vérifie :

      $ (1 + t_m)^3 = 0{,}7772 $

      D'où :

      $ 1 + t_m = 0{,}7772^{1/3} \approx 0{,}9194 $

      On en déduit le taux moyen :

      $ t_m \approx 0{,}9194 - 1 \approx -0{,}0806 $

      Le taux d'évolution annuel moyen est donc bien d'environ $ -8{,}06\% $.

    2. Traçons l'exécution de l'algorithme pour $ P = 50\,000 $ :

      • Initialisation : $ N = 0 $ et $ U = 63182 $.
      • 1ère itération : $ U = 63182 > 50000 $. On a $ N = 1 $ et $ U = 0{,}92 \times 63182 \approx 58127{,}4 $.
      • 2ème itération : $ U = 58127{,}4 > 50000 $. On a $ N = 2 $ et $ U = 0{,}92 \times 58127{,}4 \approx 53477{,}2 $.
      • 3ème itération : $ U = 53477{,}2 > 50000 $. On a $ N = 3 $ et $ U = 0{,}92 \times 53477{,}2 \approx 49199{,}1 $.
      • Fin de la boucle car $ U \le 50000 $.
      • Sortie : $ N = 3 + 2011 = 2014 $.

      L'algorithme affiche $ 2014 $.
      Cela signifie que c'est en 2014 que le montant des exportations passera pour la première fois en dessous de 50 000 milliers d'euros.

    1. Chaque année, la valeur baisse de 8%, ce qui revient à multiplier par $ 1 - 0{,}08 = 0{,}92 $.
      On a donc pour tout entier $ n $, $ u_{n+1} = 0{,}92 u_n $.
      $ (u_n) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}92 $ et de premier terme $ u_0 = 63182 $.

    2. D'après la formule du cours pour les suites géométriques :

      $ u_n = u_0 \times q^n = 63182 \times 0{,}92^n $

    3. En 2016, on a $ n = 2016 - 2011 = 5 $.

      $ u_5 = 63182 \times 0{,}92^5 \approx 41642{,}1 $

      Le montant prévu pour 2016 est de $ 41\,642 $ milliers d'euros.

  3. Le montant cumulé entre 2011 (inclus) et 2020 (inclus) correspond à la somme des termes de $ u_0 $ à $ u_9 $ (car $ 2020 = 2011 + 9 $).

    $ S = u_0 + u_1 + \dots + u_9 = u_0 \times \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} $
    $ S = 63182 \times \dfrac{1 - 0{,}92^{10}}{1 - 0{,}92} \approx 63182 \times \dfrac{1 - 0{,}434388}{0{,}08} \approx 446703 $

    Le montant cumulé est d'environ $ 446\,703 $ milliers d'euros.

Suite et algorithme 

Variables :
   a, u, n : nombres
Entrée :
   Saisir un nombre a
Initialisation :
   n prend la valeur 0
   u prend la valeur 1
Traitement :
   Tant que u < a
      u prend la valeur 1,05 × u
      n prend la valeur n + 1
   Fin Tant que
Sortie :
   Afficher n
  1. Que fait cet algorithme ?
  2. Qu'affiche cet algorithme si on choisit $ a=2 $ ?
  3. Expliquer pourquoi l'algorithme se termine quelle que soit la valeur saisie pour $ a $.

Corrigé

  1. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier $ n $ tel que $ u_n \ge a $, où $ (u_n) $ est la suite géométrique de premier terme $ u_0 = 1 $ et de raison $ q = 1{,}05 $.

    Il s'agit de la recherche du premier seuil à partir duquel la suite dépasse la valeur $ a $.

  2. Si on choisit $ a=2 $, l'algorithme calcule les termes successifs de la suite $ (u_n) $ tant qu'ils sont strictement inférieurs à 2 :

    • $ u_0 = 1 $
    • $ u_1 = 1{,}05 $
    • ...
    • $ u_{14} = 1{,}05^{14} \approx 1{,}98 $
    • $ u_{15} = 1{,}05^{15} \approx 2{,}08 $

    Le premier terme supérieur ou égal à 2 est $ u_{15} $.
    L'affichage en sortie est donc 15.

  3. La suite $ (u_n) $ est une suite géométrique de raison $ q = 1{,}05 $.
    Comme $ q > 1 $ et $ u_0 > 0 $, la suite est strictement croissante et sa limite est $ +\infty $ :

    $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $

    Par définition de la limite, pour tout nombre réel $ a $, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à $ a $.

    L'algorithme se terminera donc quelle que soit la valeur du nombre réel $ a $ saisie.

Suites – Bac ES/L Pondichéry 2013

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $ C_{n} $ le capital du client au 1er janvier de l'année $ 2000+n $, où $ n $ est un entier naturel.

  1. Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $. Arrondir les résultats au centime d'euro.

  2. Exprimer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $ n $, on a la relation :

    $ C_{n}=3000 \times 1{,}025^{n}. $

  3. On donne l'algorithme suivant :

    Entrée Saisir un nombre $ S $ supérieur à 3000
    Traitement Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $.
      Affecter à $ U $ la valeur 3000
      Tant que $ U\leqslant S $
      $ \qquad $ $ n $ prend la valeur $ n+1 $
      $ \qquad $ $ U $ prend la valeur $ U \times 1{,}025 $
      Fin tant que
    Sortie Afficher le nombre $ 2000+n $

    1. Pour la valeur $ S=3300 $ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.

      Valeur de $ n $ $ 0 $ $ 1 $ . . . . . .
      Valeur de $ U $ 3000 . . . . . . . . .
      Condition $ U\leqslant S $ vrai . . . . . . . . .
    2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $ S $ saisie est 3300.
    3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $ S $ supérieur à 3000.

  4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

    Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

Corrigé

  1. $ C_{1}=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times C_{0}=1{,}025\times 3000=3075 $

    $ C_{2}=1{,}025\times C_{1}=1{,}025\times 3075=3151{,}88 $ à $ 0{,}01 $ près.

  2. Pour tout entier naturel $ n $ :

    $ C_{n+1}=1{,}025\times C_{n} $

    La suite $ \left(C_{n}\right) $ est une suite géométrique de premier terme $ C_{0}=3000 $ et de raison $ q=1{,}025 $.

    $ C_{n}=C_{0}\times q^{n}=3000\times 1{,}025^{n} $

    1. Pour $ S=3300 $, on complète le tableau :

      Valeur de $ n $ 0 1 2 3 4
      Valeur de $ U $ 3000 3075 3151,88 3230,67 3311,44
      Condition $ U\leqslant S $ vrai vrai vrai vrai faux
    2. La boucle s'arrête pour $ n=4 $ et le programme se termine après avoir affiché la valeur 2004.
    3. L'algorithme affiche l'année à partir de laquelle le capital sera strictement supérieur à $ S $.

  4. Le capital au 1er janvier 2013, correspond à $ C_{13} $.

    $ C_{13}=3000\times 1{,}025^{13}\approx 4135{,}53 $.

    Ce capital est donc inférieur à 5000 euros.

    Le capital initial est multiplié par 10 dès que $ 1{,}025^{n}\geqslant 10 $.

    La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $, cette équation équivaut à

    $ \ln\left(1{,}025^{n}\right)\geqslant \ln\left(10\right) $

    $ n\times \ln\left(1{,}025\right)\geqslant \ln\left(10\right) $

    $ n\geqslant \dfrac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1{,}025\right)} $ car $ \ln\left(1{,}025\right) > 0 $

    Comme $ \dfrac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1{,}025\right)}\approx 93{,}25 $ le capital sera multiplié par 10 à compter du 1er janvier 2094.