[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la dérivée, les limites du logarithme népérien et son lien avec l'exponentielle, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : La dérivée de la fonction $f(x)=\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $f'(x)=\dfrac{1}{x}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
C'est la formule de dérivation à connaître par cœur : pour tout $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reviens à la formule du cours sur la dérivée du logarithme népérien.
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et sa dérivée est $\dfrac{1}{x}$, ce qui justifie sa stricte croissance sur cet intervalle.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\ln(e^x) = e^x$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La bonne relation est $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, et non $e^x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Souviens-toi que $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.
Pour tout réel $x$, on a $\ln(e^x) = x$ (et non $e^x$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La relation correcte est $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, qui traduit le fait que $\ln$ est la fonction réciproque de $\exp$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout $x>0$, $e^{\ln x} = x$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est l'autre relation clé entre $\ln$ et $\exp$ : appliquer l'exponentielle au logarithme d'un réel strictement positif redonne ce réel.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pense au lien réciproque entre les fonctions $\ln$ et $\exp$.
Pour tout $x>0$, $e^{\ln x} = x$ ; cette identité est très utile pour résoudre les équations contenant à la fois $\ln$ et des exponentielles.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, on a $e^{\ln x} = x$ pour tout $x>0$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} = +\infty$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par croissances comparées, $\dfrac{\ln(x)}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ : $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il s'agit d'une limite de référence par croissances comparées.
Pour $x \to +\infty$, on a $\dfrac{\ln(x)}{x} \to 0$ : la croissance polynomiale de $x$ domine celle, beaucoup plus lente, de $\ln(x)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} = 0$. C'est une limite de référence à connaître.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors la dérivée de $\ln(u(x))$ est $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Très bien !
C'est la formule de dérivation d'une composée avec $\ln$ : $\bigl[\ln(u)\bigr]' = \dfrac{u'}{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Applique la dérivée d'une fonction composée à $\ln \circ u$.
Si $u>0$ et dérivable sur $I$, alors $\bigl[\ln(u(x))\bigr]' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant la dérivée d'une composée à $f=\ln \circ u$ avec $u>0$, on obtient $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x) = 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Observe la courbe de $\ln$ près de $0$ par valeurs positives.
On a $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x) = -\infty$ : la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La limite correcte est $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x) = -\infty$. La courbe de $\ln$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
[/solution]
[/etape]
