Calculer une limite par comparaison

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la limite demandée en utilisant le théorème de comparaison.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + 3\sin(x)$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -x^2 + \cos(x)$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
Soit $h$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $h(x) = \sqrt{x} - \cos(2x)$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x)$.

Corrigé

Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$, donc $-3 \leqslant 3\sin(x)$. En ajoutant $x$ aux deux membres :
$x - 3 \leqslant x + 3\sin(x)$.

On a ainsi minoré $f$ par la fonction $x \mapsto x - 3$ sur $\mathbb{R}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - 3) = +\infty$.

Par théorème de comparaison : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$.
Pour tout réel $x$, $\cos(x) \leqslant 1$, donc :
$-x^2 + \cos(x) \leqslant -x^2 + 1$.

On a ainsi majoré $g$ par la fonction $x \mapsto -x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 1) = -\infty$.

Par théorème de comparaison : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty}$.
Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos(2x) \leqslant 1$, donc $-\cos(2x) \geqslant -1$. En ajoutant $\sqrt{x}$ aux deux membres :
$\sqrt{x} - \cos(2x) \geqslant \sqrt{x} - 1$.

On a ainsi minoré $h$ par la fonction $x \mapsto \sqrt{x} - 1$ sur $[0\,;+\infty[$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x} - 1\right) = +\infty$.

Par théorème de comparaison : $\mathbf{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty}$.

Remarque

Pour conclure que $f \to +\infty$, on minore $f$ par une fonction tendant vers $+\infty$.
Pour conclure que $g \to -\infty$, on majore $g$ par une fonction tendant vers $-\infty$.
Le sens de l'inégalité doit toujours être en accord avec la limite cherchée.

Pour réviser : Calculer une limite par comparaison

Limites par théorème de comparaison

Corrigé

Remarque