Convexité d’une fonction polynomiale
On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
$ f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4x - 1 $
- Calculer $ f^{\prime}(x) $ puis $ f^{\prime\prime}(x) $.
- Étudier le signe de $ f^{\prime\prime}(x) $ sur $ \mathbb{R} $.
- En déduire les intervalles sur lesquels $ f $ est convexe et ceux sur lesquels $ f $ est concave.
- Montrer que la courbe représentative $ \mathcal{C}_{f} $ admet un unique point d'inflexion $ A $ dont on précisera les coordonnées.
La fonction $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ comme fonction polynomiale.
$ f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 4 $
La dérivée $ f^{\prime} $ est elle-même dérivable sur $ \mathbb{R} $.
$ f^{\prime\prime}(x) = 6x - 12 $
On résout $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ :
$ 6x - 12 \geqslant 0 \iff 6x \geqslant 12 \iff x \geqslant 2 $
Donc $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [2\,;+\infty[ $ et $ f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ ]-\infty\,;2] $.
D'après le théorème du cours :
- $ f $ est concave sur $ ]-\infty\,;2] $ (car $ f^{\prime\prime} \leqslant 0 $) ;
- $ f $ est convexe sur $ [2\,;+\infty[ $ (car $ f^{\prime\prime} \geqslant 0 $).
La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 2 $ : la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet donc un unique point d'inflexion d'abscisse $ 2 $.
L'ordonnée de ce point est :
$ f(2) = 2^{3} - 6 \times 2^{2} + 4 \times 2 - 1 = 8 - 24 + 8 - 1 = -9 $
Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A(2\,;-9)}$.
Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion
Convexité et point d’inflexion
Soient la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=2e^{x - 1} - x^{2} - x $ et $ \mathscr C $ sa courbe représentative.
- Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $ et $ f^{\prime\prime}\left(x\right) $
- Étudier la convexité de la fonction $ f $.
- Montrer que $ f $ admet un point d'inflexion $ A $ et préciser les coordonnées de $ A $.
- Déterminer l'équation de la tangente $ (T) $ à $ \mathscr C $ au point $ A $.
- En déduire que pour tout $ x\geqslant 1 $ : $ e^{x - 1}\geqslant \dfrac{1}{2}\left(x^{2}+1\right) $
$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :
$ f^{\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2x - 1 $
$ f^{\prime} $ est également dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :
$ f^{\prime\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2 $
$ f $ est convexe si et seulement si :
$ f^{\prime\prime}\left(x\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow 2e^{x - 1} - 2\geqslant 0 $
$ \Leftrightarrow 2e^{x - 1}\geqslant 2 $
$ \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant 1 $
$ \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant e^{0} $
$ \Leftrightarrow x - 1\geqslant 0 $ (car la fonction exponentielle est strictement croissante)
$ \Leftrightarrow x\geqslant 1 $
Donc $ f $ est convexe sur $ \left[1;+\infty \right[ $
Inversement, $ f $ est concave si et seulement si $ x\leqslant 1 $
Le point d'inflexion correspond au passage de convexe à concave (ou de concave à convexe). D'après la question précédente, le point d'inflexion est le point de la courbe qui a comme abscisse $ 1 $.
L'ordonnée de ce point est $ f\left(1\right)=2e^{0} - 1^{2} - 1=0 $
Le point d'inflexion est donc $ A\left(1;0\right) $
L'équation de la tangente (T) à $ \mathscr C $ au point $ A\left(1;0\right) $ est donnée par la formule :
$ y=f^{\prime}\left(1\right)\left(x - 1\right)+f\left(1\right) $
avec $ f^{\prime}\left(1\right)=2e^{0} - 2\times 1 - 1= - 1 $ et $ f\left(1\right)=0 $
ce qui donne :
$ y= - x+1 $
Pour $ x\geqslant 1 $ la fonction $ f $ est convexe, donc la courbe est située au-dessus de la tangente $ (T) $.
Cela se traduit par : $ f\left(x\right)\geqslant - x+1 $
c'est-à-dire :
$ 2e^{x - 1} - x^{2} - x\geqslant - x+1 $
$ 2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+x - x+1 $
$ 2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+1 $
$ e^{x - 1}\geqslant \dfrac{1}{2}\left(x^{2}+1\right) $
