Aire entre deux courbes exponentielles
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ (O,\vec{i},\vec{j}) $ d'unité graphique 1 cm.
On considère les fonctions $ f $ et $ g $ définies sur $ \mathbb{R} $ par :
On note $ \mathcal{C}_f $ et $ \mathcal{C}_g $ leurs courbes représentatives.
![Courbes de f(x)=exp(-x) et g(x)=exp(-2x) avec aire entre les deux sur [0; ln 2]](/assets/svg/aire-entre-deux-exponentielles-tc-graph-bb-63.svg?v=1780824259)
- Étudier la position relative des courbes $ \mathcal{C}_f $ et $ \mathcal{C}_g $ sur l'intervalle $ [0\,;+\infty[ $.
- Déterminer une primitive sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ f - g $.
- Calculer l'aire $ \mathcal{A} $, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les courbes $ \mathcal{C}_f $, $ \mathcal{C}_g $ et les droites d'équations $ x = 0 $ et $ x = \ln 2 $. En déduire l'aire en cm².
Pour tout réel $ a > 0 $, on pose :
$ \mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{0}^{a} \left(f(x) - g(x)\right)\,dx $- Exprimer $ \mathcal{A}(a) $ en fonction de $ a $.
- Déterminer la limite de $ \mathcal{A}(a) $ lorsque $ a $ tend vers $ +\infty $. Interpréter géométriquement le résultat.
Corrigé
Pour tout réel $ x $, on calcule :
$ f(x) - g(x) = e^{-x} - e^{-2x} = e^{-x}\left(1 - e^{-x}\right) $Pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, on a $ -x \leqslant 0 $ donc $ e^{-x} \leqslant 1 $, ce qui donne $ 1 - e^{-x} \geqslant 0 $.
De plus, $ e^{-x} > 0 $. Le produit est donc positif :$ f(x) - g(x) \geqslant 0 \text{ sur } [0\,;+\infty[ $La courbe $ \mathcal{C}_f $ est donc au-dessus de la courbe $ \mathcal{C}_g $ sur $ [0\,;+\infty[ $, avec contact uniquement en $ x = 0 $.
La fonction $ f - g $ est continue sur $ \mathbb{R} $, elle admet donc des primitives.
On rappelle qu'une primitive de $ x \mapsto e^{-x} $ est $ x \mapsto -e^{-x} $, et qu'une primitive de $ x \mapsto e^{-2x} $ est $ x \mapsto -\dfrac{1}{2}e^{-2x} $.Par linéarité, une primitive de $ f - g $ sur $ \mathbb{R} $ est :
$\mathbf{H(x) = -e^{-x} + \dfrac{1}{2}e^{-2x}}$Vérification : $ H^{\prime}(x) = e^{-x} + \dfrac{1}{2} \times (-2)e^{-2x} = e^{-x} - e^{-2x} = f(x) - g(x) $.
Comme $ f \geqslant g $ sur $ [0\,;\ln 2] $, l'aire cherchée est :
$ \mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \left(f(x) - g(x)\right)\,dx = \left[H(x)\right]_{0}^{\ln 2} $On utilise $ e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2} $ et $ e^{-2\ln 2} = \left(e^{-\ln 2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} $ :
$ H(\ln 2) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{3}{8} $$ H(0) = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} $D'où :
$ \mathcal{A} = -\dfrac{3}{8} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{8} $L'aire vaut donc $ \dfrac{1}{8} $ u.a.
L'unité graphique étant 1 cm, l'unité d'aire vaut $ 1 \times 1 = 1 $ cm². L'aire est donc $ \dfrac{1}{8} $ cm² = $ 0{,}125 $ cm².
Pour $ a > 0 $ :
$ \mathcal{A}(a) = \left[H(x)\right]_{0}^{a} = \left(-e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a}\right) - \left(-1 + \dfrac{1}{2}\right) $$ \mathcal{A}(a) = -e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a} + \dfrac{1}{2} $soit $\mathbf{\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2} - e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a}}$.
On a $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} e^{-a} = 0 $ et $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} e^{-2a} = 0 $. Par somme :
$ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2} - 0 + 0 = \dfrac{1}{2} $Interprétation : lorsque $ a $ devient très grand, l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $ x = 0 $ et $ x = a $ tend vers une limite finie égale à $ \dfrac{1}{2} $ u.a. L'aire totale entre les deux courbes sur $ [0\,;+\infty[ $ est donc finie, bien que le domaine soit non borné.
→ Pour réviser : Calculer une aire entre deux courbes