[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Le nombre $91$ est un nombre premier.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$91$ admet un diviseur autre que $1$ et $91$ : on peut vérifier que $91 = 7 \times 13$. Comme $91$ a au moins quatre diviseurs ($1$, $7$, $13$ et $91$), il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$91$ ne se laisse pas attraper par les critères classiques (par $2$, $3$, $5$), mais il faut aussi tester $7$. Poser la division : $91 \div 7$ tombe juste.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $91 = 7 \times 13$, donc $91$ admet $7$ et $13$ comme diviseurs autres que $1$ et lui-même. Il n'est pas premier.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre premier.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Contre-exemple : $3$ et $5$ sont premiers, mais $3 + 5 = 8$ n'est pas premier ($8 = 2^3$). De même, $5 + 7 = 12$, $7 + 11 = 18$, ... ne sont pas premiers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour réfuter une affirmation universelle, il suffit d'un contre-exemple. Choisir deux nombres premiers et calculer leur somme. Vérifier ensuite si la somme est premier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $3 + 5 = 8$, qui n'est pas premier. La somme de deux nombres premiers est généralement paire (sauf si l'un des deux vaut $2$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La décomposition en facteurs premiers de $360$ est $2^3 \times 3^2 \times 5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On vérifie : $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360$. La décomposition est bien correcte. On peut aussi la retrouver en divisant successivement par $2$, $2$, $2$, $3$, $3$ et $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer le produit pour vérifier : $2^3 = 8$, $3^2 = 9$, et $8 \times 9 \times 5 = 360$. La décomposition est correcte.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$, et $2$, $3$, $5$ sont bien des nombres premiers.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'écriture $48 = 4 \times 12$ est la décomposition en facteurs premiers de $48$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. Or ni $4$ ni $12$ ne sont premiers ($4 = 2^2$, $12 = 2^2 \times 3$). La vraie décomposition est $48 = 2^4 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier la nature des facteurs : ils doivent tous être des nombres premiers. Ici, $4$ et $12$ ne sont pas premiers. Continuer la décomposition.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. La vraie décomposition de $48$ est $2^4 \times 3$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Tout entier naturel supérieur ou égal à $2$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est une propriété fondamentale du chapitre : tout entier $n \geqslant 2$ admet une décomposition en produit de facteurs premiers. Si $n$ est lui-même premier, le « produit » se réduit à $n$ tout seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une propriété centrale du cours. Même un nombre premier comme $7$ s'écrit comme un produit avec un seul facteur ($7$ lui-même). Et tout autre entier se décompose en plusieurs facteurs premiers.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème fondamental sur lequel repose la décomposition en facteurs premiers : il est valable pour tout entier supérieur ou égal à $2$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{42}{105}$ se simplifie en $\dfrac{2}{5}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On décompose : $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$. On simplifie par les facteurs communs $3$ et $7$ : $\dfrac{42}{105} = \dfrac{2 \times 3 \times 7}{3 \times 5 \times 7} = \dfrac{2}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier les facteurs communs. Vérifier le calcul : $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Après décomposition $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$, la simplification par $3 \times 7 = 21$ donne $\dfrac{2}{5}$.
[/solution]
[/etape]
