[enonce]
Ce QCM porte sur les propriétés algébriques du logarithme népérien : transformations de produits, quotients, puissances et racines en sommes, différences ou multiples. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
L'expression $\ln(2) + \ln(3)$ est égale à :
[qcm]
[option]$\ln(5)$[/option]
[option correct="true"]$\ln(6)$[/option]
[option]$\ln(2) \times \ln(3)$[/option]
[option]$\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La propriété fondamentale donne $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$, donc $\ln(2) + \ln(3) = \ln(2 \times 3) = \ln(6)$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(5)$"]Non.
Une somme de logarithmes ne se traduit pas par une somme des arguments. La transformation à utiliser change l'addition en autre chose.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(2) \times \ln(3)$"]Non.
Une somme ne se transforme pas en produit. La propriété transforme la somme à l'extérieur des $\ln$ en une opération à l'intérieur d'un seul $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)$"]Non.
Le quotient $\dfrac{2}{3}$ correspondrait à une différence $\ln(2) - \ln(3)$, pas à une somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'expression $\ln(15) - \ln(3)$ est égale à :
[qcm]
[option]$\ln(12)$[/option]
[option]$\ln(18)$[/option]
[option correct="true"]$\ln(5)$[/option]
[option]$\ln(45)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La propriété donne $\ln(a) - \ln(b) = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)$, donc $\ln(15) - \ln(3) = \ln\!\left(\dfrac{15}{3}\right) = \ln(5)$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(12)$"]Non.
La différence $\ln(a) - \ln(b)$ ne donne pas $\ln(a - b)$. Comparer le calcul $15 - 3$ avec la transformation correcte de la différence en logarithme.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(18)$"]Non.
$15 + 3 = 18$ : on a additionné les arguments alors qu'il s'agit d'une différence. La transformation utilise l'opération inverse de l'addition.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(45)$"]Non.
$15 \times 3 = 45$ correspondrait à $\ln(15) + \ln(3)$, pas à une différence. Identifier l'opération qui transforme la différence en logarithme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété $\ln(a) - \ln(b) = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'expression $\ln(8)$ peut s'écrire en fonction de $\ln(2)$ sous la forme :
[qcm]
[option correct="true"]$3 \ln(2)$[/option]
[option]$4 \ln(2)$[/option]
[option]$(\ln 2)^3$[/option]
[option]$8 \ln(2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $8 = 2^3$, donc $\ln(8) = \ln(2^3) = 3 \ln(2)$ d'après la propriété $\ln(a^n) = n \ln(a)$.[/reponse]
[reponse motif="$4 \ln(2)$"]Non.
$8$ n'est pas $2^4$ : revoir la décomposition de $8$ en puissance de $2$.[/reponse]
[reponse motif="$(\ln 2)^3$"]Non.
La propriété fait passer l'exposant devant le $\ln$, en facteur multiplicatif. L'exposant ne reste pas sur le logarithme lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$8 \ln(2)$"]Non.
$8$ est l'argument du logarithme, pas l'exposant à utiliser. Décomposer $8$ comme une puissance de $2$ avant d'appliquer la propriété.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire d'abord $8$ comme une puissance de $2$, puis appliquer $\ln(a^n) = n \ln(a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'expression $\ln\!\left(\sqrt{7}\right)$ est égale à :
[qcm]
[option]$2 \ln(7)$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2} \ln(7)$[/option]
[option]$\sqrt{\ln(7)}$[/option]
[option]$\dfrac{\ln(7)}{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\sqrt{7} = 7^{1/2}$, donc $\ln\!\left(\sqrt{7}\right) = \ln\!\left(7^{1/2}\right) = \dfrac{1}{2} \ln(7)$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \ln(7)$"]Non.
L'exposant de $\sqrt{7}$ vaut $\dfrac{1}{2}$, pas $2$. Vérifier l'écriture de la racine carrée comme puissance fractionnaire.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{\ln(7)}$"]Non.
La racine s'applique à $7$, à l'intérieur du logarithme. La propriété déplace l'exposant devant le $\ln$, elle ne laisse pas la racine en dehors.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\ln(7)}{7}$"]Non.
Le facteur correct n'est pas $\dfrac{1}{7}$ : il dépend uniquement de l'exposant qui correspond à la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{1/2}$, puis appliquer $\ln(a^n) = n \ln(a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'expression $\ln\!\left(\dfrac{1}{5}\right)$ est égale à :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{\ln(5)}$[/option]
[option]$\ln(5) - 1$[/option]
[option correct="true"]$-\ln(5)$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On peut écrire $\dfrac{1}{5} = 5^{-1}$, donc $\ln\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = -\ln(5)$. On peut aussi obtenir le résultat avec $\ln\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = \ln(1) - \ln(5) = 0 - \ln(5)$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\ln(5)}$"]Non.
Le logarithme de l'inverse n'est pas l'inverse du logarithme. La propriété transforme l'inverse en quelque chose de plus simple lié à $\ln(5)$ par un signe.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(5) - 1$"]Non.
Le « $-1$ » de l'exposant ne se retranche pas tel quel à $\ln(5)$. La propriété $\ln(a^n) = n \ln(a)$ donne un résultat différent.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{5}$"]Non.
$\ln$ ne se contente pas de mettre un signe « moins » devant son argument. Réécrire $\dfrac{1}{5}$ avec un exposant négatif pour appliquer la bonne propriété.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $\dfrac{1}{a} = a^{-1}$, puis appliquer $\ln(a^n) = n \ln(a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On note $a = \ln(2)$. L'expression $\ln(32)$ s'écrit alors :
[qcm]
[option]$32 a$[/option]
[option correct="true"]$5 a$[/option]
[option]$a^5$[/option]
[option]$16 a$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On décompose $32 = 2^5$, donc $\ln(32) = \ln(2^5) = 5 \ln(2) = 5a$.[/reponse]
[reponse motif="$32 a$"]Non.
Le coefficient n'est pas l'argument du logarithme, mais l'exposant qui apparaît dans la décomposition de $32$ en puissance de $2$.[/reponse]
[reponse motif="$a^5$"]Non.
La propriété fait sortir l'exposant devant le $\ln$, en facteur multiplicatif. L'exposant ne reste pas sur le logarithme.[/reponse]
[reponse motif="$16 a$"]Non.
$32$ n'est pas $2^{16}$ : revoir le calcul $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer $32$ comme puissance de $2$, puis appliquer $\ln(2^n) = n \ln(2) = na$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On pose $A = \ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right) + \ln(3)$.

Affirmation : $A = \ln(2)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par la propriété $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est d'essayer de calculer $\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)$ séparément, au lieu d'appliquer directement $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$.
$\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right) + \ln(3) = \ln\!\left(\dfrac{2}{3} \times 3\right) = \ln(2)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ : $\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right) + \ln(3) = \ln\!\left(\dfrac{2}{3} \times 3\right) = \ln(2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\ln\!\left(\mathrm{e}^{2}\right) + \ln\!\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) = \dfrac{5}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\ln(\mathrm{e}^2) = 2$ et $\ln(\sqrt{\mathrm{e}}) = \dfrac{1}{2}$, donc :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : on oublie souvent que $\ln(\sqrt{\mathrm{e}}) = \ln(\mathrm{e}^{1/2}) = \dfrac{1}{2}$ et non $1$.
$\ln(\mathrm{e}^2) = 2\ln(\mathrm{e}) = 2$ et $\ln(\sqrt{\mathrm{e}}) = \dfrac{1}{2}\ln(\mathrm{e}) = \dfrac{1}{2}$, donc la somme vaut bien $\dfrac{5}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\ln(\mathrm{e}^2) = 2$ et $\ln(\sqrt{\mathrm{e}}) = \dfrac{1}{2}$, donc la somme est $\dfrac{5}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $f(x) = \ln(x^2\,\mathrm{e}^{x})$.

Affirmation : Pour tout réel $x > 0$, $f(x) = 2\ln(x) + 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

Le terme constant serait $1$ seulement si $x = 1$, mais pas en général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ avec $\ln(\mathrm{e}^x) = 1$, comme si l'exposant $x$ disparaissait.
$\ln(x^2\,\mathrm{e}^x) = \ln(x^2) + \ln(\mathrm{e}^x) = 2\ln(x) + x$.
Le résultat correct est $2\ln(x) + x$, et non $2\ln(x) + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$f(x) = \ln(x^2) + \ln(\mathrm{e}^x) = 2\ln(x) + x$ : le $+x$ n'est pas une constante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$ : $\ln(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}) = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il n'existe pas de formule pour $\ln(a + b)$.
Par exemple, pour $x = 0$ : $\ln(\mathrm{e}^0 + \mathrm{e}^{0}) = \ln(2) \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : on ne peut pas appliquer $\ln(\mathrm{e}^a) = a$ à une somme, cette règle ne vaut que pour un seul terme : $\ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b)$.
Il n'existe pas de formule simplificatrice pour $\ln(a+b)$.
Pour $x = 0$ : $\ln(1 + 1) = \ln(2) \neq 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Il n'y a pas de formule pour $\ln(a+b)$ : par exemple pour $x=0$, $\ln(2) \neq 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit le réel $A = \ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right) - \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

Affirmation : $A = -\ln(2)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à se tromper de signe en route : $\ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right) - \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \ln\!\left(\dfrac{1/4}{1/2}\right) = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.
$\ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = -\ln(4) = -2\ln(2)$ et $\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.
Donc $A = -2\ln(2) - (-\ln(2)) = -\ln(2)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$A = -\ln(4) - (-\ln(2)) = -2\ln(2) + \ln(2) = -\ln(2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x > 0$ : $\ln(2x^2) = 2\ln(x) + \ln(2)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Inutile de se méfier de l'ordre des termes ($2\ln(x) + \ln(2)$ au lieu de $\ln(2) + 2\ln(x)$) : l'addition est commutative, les deux écritures sont équivalentes.
$\ln(2x^2) = \ln(2) + \ln(x^2) = \ln(2) + 2\ln(x)$.
L'ordre des termes ne change pas l'égalité.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\ln(2x^2) = \ln(2) + \ln(x^2) = \ln(2) + 2\ln(x) = 2\ln(x) + \ln(2)$.
[/solution]
[/etape]

Simplifier les expressions suivantes :

1. $ A = \ln\left(4\right) - \ln\left(\sqrt{2}\right) $
2. $ B = \ln\left(2x\right) - \ln\left(x\right) $ pour $ x > 0 $
3. $ C = \ln\left(x^{2}\right) - \ln\left(x\right) $ pour $ x > 0 $
4. $ D = \ln\left(x^{2} - 1\right) - \ln\left(x - 1\right) $ pour $ x > 1 $