Décomposition en facteurs premiers et partage

Un fleuriste dispose de $ 756 $ roses et de $ 1260 $ tulipes. Il souhaite réaliser des bouquets tous identiques, contenant chacun le même nombre de roses et le même nombre de tulipes, en utilisant toutes les fleurs sans en perdre aucune. Il veut réaliser le plus grand nombre possible de bouquets.

Partie A — Décomposition en facteurs premiers

Décomposer $ 756 $ en produit de facteurs premiers.
Décomposer $ 1260 $ en produit de facteurs premiers.
En déduire le PGCD de $ 756 $ et $ 1260 $.

Partie B — Résolution du problème

Quel est le nombre maximal de bouquets que le fleuriste peut réaliser ? Justifier.
Combien chaque bouquet contiendra-t-il de roses ? De tulipes ?
Le fleuriste reçoit en supplément $ 504 $ marguerites, qu'il veut également répartir équitablement dans ses bouquets (toujours sans en perdre). Est-ce possible ? Justifier en utilisant la décomposition en facteurs premiers de $ 504 $.

Corrigé

Partie A

On décompose $ 756 $ par divisions successives :

$ 756 = 2 \times 378 = 2 \times 2 \times 189 = 2^2 \times 189 $

$ 189 = 3 \times 63 = 3 \times 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 3^3 \times 7 $

Donc $\mathbf{756 = 2^2 \times 3^3 \times 7}$.
On décompose $ 1260 $ :

$ 1260 = 2 \times 630 = 2 \times 2 \times 315 = 2^2 \times 315 $

$ 315 = 3 \times 105 = 3 \times 3 \times 35 = 3^2 \times 5 \times 7 $

Donc $\mathbf{1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7}$.
Pour trouver le PGCD, on prend chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant :
- Facteur $ 2 $ : exposant $ \min(2, 2) = 2 $
- Facteur $ 3 $ : exposant $ \min(3, 2) = 2 $
- Facteur $ 5 $ : présent uniquement dans $ 1260 $, on ne le prend pas
- Facteur $ 7 $ : exposant $ \min(1, 1) = 1 $
$ \text{PGCD}(756 ; 1260) = 2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = \mathbf{252} $

Partie B

Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $ 756 $ (nombre de roses) et $ 1260 $ (nombre de tulipes), car chaque bouquet contient le même nombre de fleurs de chaque type.

Le plus grand nombre qui divise les deux est le PGCD.

Le fleuriste peut donc réaliser au maximum $ 252 $ bouquets.
Chaque bouquet contient :
- $ \dfrac{756}{252} = 3 $ roses
- $ \dfrac{1260}{252} = 5 $ tulipes
Chaque bouquet contient $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.
On décompose $ 504 $ en facteurs premiers :

$ 504 = 2 \times 252 = 2 \times 2^2 \times 3^2 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $

Donc $\mathbf{504 = 2^3 \times 3^2 \times 7}$.

Pour répartir équitablement les $ 504 $ marguerites dans les $ 252 $ bouquets, il faut que $ 252 $ divise $ 504 $.

On vérifie : $ \dfrac{504}{252} = 2 $.

C'est bien un entier, donc oui, c'est possible : chaque bouquet contiendra $ 2 $ marguerites en plus des $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.

On peut aussi le vérifier avec les décompositions : $ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 $ et $ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $. Chaque facteur premier de $ 252 $ apparaît dans $ 504 $ avec un exposant supérieur ou égal, donc $ 252 $ divise bien $ 504 $.

Pour réviser : Calculer le PGCD par décomposition en facteurs premiers

QCM : Problèmes de partage avec le PGCD

[enonce]
Dans ce QCM, chaque question met en jeu le PGCD dans des situations de partage ou de simplification. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Un fleuriste dispose de $72$ roses et de $48$ tulipes. Il veut former le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs (sans mélanger les espèces). Combien peut-il former de bouquets ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$24$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre maximum de bouquets identiques est $PGCD(72, 48)$.
$72 = 2^3 \times 3^2$ et $48 = 2^4 \times 3$, donc $PGCD(72, 48) = 2^3 \times 3 = 24$.
Chaque bouquet contiendra $72 \div 24 = 3$ roses et $48 \div 24 = 2$ tulipes.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ divise bien $72$ et $48$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(72, 48) = 24$ : on peut former $24$ bouquets, chacun avec $3$ roses et $2$ tulipes.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ est un diviseur commun de $72$ et $48$, mais pas le plus grand.
$PGCD(72, 48) = 24$ : on peut faire davantage que $12$ bouquets.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ divise bien $72$ ($72 \div 8 = 9$) et $48$ ($48 \div 8 = 6$), mais $8$ n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(72, 48) = 24$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre maximum de bouquets est le $PGCD(72, 48)$.
$72 = 2^3 \times 3^2$ et $48 = 2^4 \times 3$ : on prend chaque facteur commun avec le plus petit exposant, donc $PGCD(72, 48) = 2^3 \times 3 = 24$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $PGCD(120, 84)$ ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$24$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$, donc $PGCD(120, 84) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ divise bien $120$ et $84$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ : $PGCD(120, 84) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24$ ne divise pas $84$ exactement : $84 \div 24 = 3{,}5$, qui n'est pas un entier.
$PGCD(120, 84) = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est bien un diviseur commun de $120$ et $84$, mais ce n'est pas le plus grand.
$PGCD(120, 84) = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$, donc $PGCD(120, 84) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une institutrice répartit $90$ stylos rouges et $60$ stylos bleus en trousses identiques. Elle veut le plus grand nombre possible de trousses et utilise tous les stylos. Combien y a-t-il de stylos en tout dans chaque trousse ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, donc $PGCD(90, 60) = 2 \times 3 \times 5 = 30$.
On peut former $30$ trousses : chacune contient $90 \div 30 = 3$ stylos rouges et $60 \div 30 = 2$ stylos bleus, soit $3 + 2 = 5$ stylos au total.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est le nombre de stylos rouges par trousse, pas le total.
Chaque trousse contient $3$ stylos rouges et $60 \div 30 = 2$ stylos bleus, soit $5$ stylos en tout.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
L'erreur fréquente est de diviser le total ($90 + 60 = 150$) par le nombre de trousses sans calculer le bon PGCD.
$PGCD(90, 60) = 30$ trousses, et chaque trousse contient $3 + 2 = 5$ stylos.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
En réalité, $6$ n'est pas le nombre de stylos par trousse : chaque trousse contient $3+2=5$ stylos (3 rouges et 2 bleus).
La bonne réponse est $5$ ($3$ rouges $+ 2$ bleus).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$PGCD(90, 60) = 30$ : on peut former $30$ trousses.
Chacune contient $90 \div 30 = 3$ stylos rouges et $60 \div 30 = 2$ stylos bleus, soit $5$ stylos au total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$PGCD(a, b) = 1$ signifie que :
[qcm]
[option]$a$ et $b$ sont tous les deux des nombres premiers[/option]
[option correct="true"]$a$ et $b$ sont premiers entre eux[/option]
[option]$a = b$[/option]
[option]$a \times b = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsque $PGCD(a, b) = 1$, on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Cela signifie qu'ils n'ont aucun diviseur commun autre que $1$, mais ni $a$ ni $b$ n'est forcément un nombre premier.
Exemple : $PGCD(8, 9) = 1$ mais $8$ et $9$ ne sont pas premiers.[/reponse]
[reponse motif="$a$ et $b$ sont tous les deux des nombres premiers"]Non.
Cette confusion est fréquente : $PGCD(a, b) = 1$ signifie que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, pas que chacun est un nombre premier.
Exemple : $PGCD(8, 9) = 1$, or $8$ et $9$ ne sont pas des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$a = b$"]Non.
Si $a = b$, alors $PGCD(a, b) = a = b$, qui vaut $1$ uniquement si $a = b = 1$.
$PGCD(a, b) = 1$ signifie que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (sans diviseur commun autre que $1$).[/reponse]
[reponse motif="$a \times b = 1$"]Non.
$a \times b = 1$ impliquerait que $a = b = 1$ pour des entiers positifs.
$PGCD(a, b) = 1$ signifie seulement que $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun supérieur à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$PGCD(a, b) = 1$ signifie que $a$ et $b$ sont premiers entre eux : ils n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.
Exemple : $PGCD(8, 9) = 1$ mais ni $8$ ni $9$ n'est un nombre premier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On veut écrire la fraction $\dfrac{126}{90}$ sous forme irréductible. Quel est son numérateur après simplification ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$63$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.
Les facteurs communs sont $2$ et $3^2$, donc $PGCD(126, 90) = 2 \times 3^2 = 18$.
$\dfrac{126}{90} = \dfrac{126 \div 18}{90 \div 18} = \dfrac{7}{5}$ : le numérateur est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
L'erreur fréquente est de diviser uniquement par $2$ ou par $9$ sans calculer le vrai PGCD.
$PGCD(126, 90) = 18$, donc $\dfrac{126}{90} = \dfrac{7}{5}$ : le numérateur est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
Si vous avez divisé par $9$, vous obtenez $\dfrac{14}{10}$, mais cette fraction n'est pas encore irréductible ($PGCD(14, 10) = 2$).
$PGCD(126, 90) = 18$ : $\dfrac{126}{90} = \dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$63$"]Non.
Si vous avez divisé par $2$, vous obtenez $\dfrac{63}{45}$, mais cette fraction n'est pas encore irréductible ($PGCD(63, 45) = 9$).
Il faut diviser par le PGCD en entier : $PGCD(126, 90) = 18$, ce qui donne $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ : les facteurs communs sont $2$ et $3^2$, donc $PGCD(126, 90) = 2 \times 3^2 = 18$.
$\dfrac{126}{90} = \dfrac{7}{5}$ : le numérateur est $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une directrice répartit $84$ filles et $56$ garçons en groupes mixtes identiques, en utilisant tous les élèves. Elle veut le maximum de groupes possible. Combien peut-elle former de groupes ?
[qcm]
[option]$7$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$28$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre maximum de groupes est $PGCD(84, 56)$.
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$, donc $PGCD(84, 56) = 2^2 \times 7 = 28$.
Chaque groupe comprendra $84 \div 28 = 3$ filles et $56 \div 28 = 2$ garçons.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ divise bien $84$ et $56$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(84, 56) = 28$ : on peut former $28$ groupes, chacun avec $3$ filles et $2$ garçons.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14$ est un diviseur commun de $84$ et $56$ ($84 = 14 \times 6$, $56 = 14 \times 4$), mais il n'est pas le plus grand.
$PGCD(84, 56) = 28$ : on peut former $28$ groupes.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ divise bien $84$ ($84 \div 4 = 21$) et $56$ ($56 \div 4 = 14$), mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$PGCD(84, 56) = 28$ : on peut former $28$ groupes, bien plus que $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre maximum de groupes est le $PGCD(84, 56)$.
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$ : les facteurs communs sont $2^2$ et $7$, donc $PGCD(84, 56) = 2^2 \times 7 = 28$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Bouquets de fleurs : calculer un PGCD

[enonce]
Une fleuriste dispose de $60$ roses et $84$ tulipes.
Elle veut réaliser le maximum de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
Chaque bouquet doit contenir le même nombre de roses et le même nombre de tulipes.

Suivez les étapes pour résoudre ce problème.
[/enonce]

[etape]
Pour trouver le nombre maximum de bouquets identiques, quelle valeur faut-il calculer ?
[qcm]
[option correct="true"]$PGCD(60 ; 84)$[/option]
[option]$60 + 84$[/option]
[option]$60 \times 84$[/option]
[option]$84 - 60$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $60$ et $84$ sans reste : c'est un diviseur commun.
Pour avoir le maximum de bouquets, on cherche le plus grand de ces diviseurs communs, c'est-à-dire le $PGCD$.[/reponse]
[reponse motif="$60 + 84$"]Non.
Additionner les deux quantités ne permet pas de trouver le nombre de bouquets possibles.[/reponse]
[reponse motif="$60 \times 84$"]Non.
Multiplier les deux quantités n'a pas de sens ici.[/reponse]
[reponse motif="$84 - 60$"]Non.
La différence entre les deux quantités ne donne pas le nombre de bouquets.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le nombre de bouquets doit diviser exactement chaque quantité.
Pour avoir le plus grand nombre de bouquets possible, on calcule le PGCD.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Commençons par décomposer $60$ en produit de facteurs premiers.

On a $60 = 2^2 \times 3 \times$ [[a]]. Quel est le facteur premier manquant ?
[input id="a" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$60 = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 15 = 60$ : on retombe bien sur $60$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a déjà $2^2 \times 3 = 12$ dans la décomposition. Quel facteur premier manque-t-il pour obtenir $60$ ?
Indice : $60 \div 12 = ?$[/reponse]
[aide essai="2"]Rappel : $60 \div 4 = 15$ et $15 = 3 \times \ldots$[/aide]
[/input]
[solution]Le facteur manquant est $5$ : on a $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Décomposons maintenant $84$ en produit de facteurs premiers.

On a $84 = 2^2 \times$ [[b1]] $\times 7$. Quel est le facteur premier manquant ?
[input id="b1" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$84 = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84$ : on retombe bien sur $84$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a déjà $2^2 \times 7 = 28$ dans la décomposition. Quel facteur premier manque-t-il pour obtenir $84$ ?
Indice : $84 \div 28 = ?$[/reponse]
[aide essai="2"]Rappel : $84 \div 4 = 21$ et $21 = \ldots \times 7$[/aide]
[/input]
[solution]Le facteur manquant est $3$ : on a $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a obtenu : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.

Pour calculer le $PGCD$ à partir des décompositions en facteurs premiers, quelle est la bonne méthode ?
[qcm]
[option correct="true"]Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus petit exposant, puis on multiplie les résultats.[/option]
[option]Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus grand exposant, puis on multiplie les résultats.[/option]
[option]On retient les facteurs premiers communs aux deux décompositions sans tenir compte des exposants, puis on les multiplie.[/option]
[option]On retient tous les facteurs premiers présents dans au moins une des deux décompositions, avec leur plus grand exposant, puis on les multiplie.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est bien la méthode pour le $PGCD$ : on prend chaque facteur commun avec le plus petit de ses exposants.
Par exemple, $2$ apparaît avec l'exposant $2$ dans les deux décompositions, et $3$ avec l'exposant $1$ : on retient donc $2^2$ et $3^1$.[/reponse]
[reponse motif="Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus grand exposant, puis on multiplie les résultats."]Non.
Retenir le plus grand exposant donne le $PPCM$ (plus petit commun multiple), pas le $PGCD$.
Pour le $PGCD$, on retient le plus petit exposant.[/reponse]
[reponse motif="On retient les facteurs premiers communs aux deux décompositions sans tenir compte des exposants, puis on les multiplie."]Non.
Il ne faut pas oublier les exposants !
Ici, $2$ apparaît avec l'exposant $2$ dans les deux décompositions : on retient $2^2 = 4$, pas seulement $2$.[/reponse]
[reponse motif="On retient tous les facteurs premiers présents dans au moins une des deux décompositions, avec leur plus grand exposant, puis on les multiplie."]Non.
Cette méthode donne le $PPCM$ (plus petit commun multiple), pas le $PGCD$.
Pour le $PGCD$, on ne retient que les facteurs communs aux deux décompositions, avec le plus petit exposant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer le $PGCD$, on identifie les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, et on retient chacun avec le plus petit de ses exposants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3$.

Calculez $PGCD(60 ; 84) = $ [[pgcd]].
[input id="pgcd" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$PGCD(60 ; 84) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
La fleuriste peut donc réaliser au maximum 12 bouquets.[/reponse]
[reponse motif="4"]Vous avez calculé $2^2 = 4$, mais il faut aussi multiplier par le facteur $3$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Vous avez trouvé la contribution de $3$, mais il faut aussi multiplier par $2^2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les facteurs communs sont $2^2$ et $3^1$. Multipliez-les pour obtenir le PGCD.[/reponse]
[aide essai="2"]Multiplier les facteurs communs : $2^2 \times 3 = ?$[/aide]
[/input]
[solution]$PGCD(60 ; 84) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.[/solution]
[/etape]

[etape]
La fleuriste peut donc réaliser $12$ bouquets. Quelle est la composition de chaque bouquet ?
[qcm]
[option correct="true"]$5$ roses et $7$ tulipes[/option]
[option]$12$ roses et $12$ tulipes[/option]
[option]$7$ roses et $5$ tulipes[/option]
[option]$5$ roses et $84$ tulipes[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Chaque bouquet contient $60 \div 12 = 5$ roses et $84 \div 12 = 7$ tulipes.
Vérification : $12 \times 5 = 60$ roses et $12 \times 7 = 84$ tulipes, c'est bien le compte[/reponse]
[reponse motif="$12$ roses et $12$ tulipes"]Non.
Le nombre $12$ est le nombre de bouquets, pas la quantité de fleurs dans chaque bouquet.
Pour trouver la composition, il faut diviser chaque quantité par $12$ : $60 \div 12 = ?$ et $84 \div 12 = ?$[/reponse]
[reponse motif="$7$ roses et $5$ tulipes"]Non.
Attention à ne pas inverser les fleurs.
Il y a $60$ roses et $84$ tulipes : recalculer $60 \div 12$ et $84 \div 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver la composition de chaque bouquet, on divise chaque quantité par le PGCD :
$60 \div 12 = ?$ roses et $84 \div 12 = ?$ tulipes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Problèmes de partage avec le PGCD

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans un problème de partage, le PGCD des quantités donne le nombre maximal de lots identiques qu'on peut former sans reste.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre de lots doit diviser chaque quantité sans reste : c'est donc un diviseur commun à toutes les quantités.
Pour avoir le plus grand nombre de lots possible, on prend le plus grand de ces diviseurs communs.
C'est précisément le PGCD.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre le PGCD (nombre de lots) avec la valeur obtenue en divisant chaque quantité par le PGCD (taille des lots).
Le nombre de lots doit diviser chaque quantité sans reste : c'est donc un diviseur commun à toutes les quantités.
Pour avoir le plus grand nombre de lots possible, on prend le plus grand de ces diviseurs communs.
C'est précisément le PGCD.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le nombre de lots doit diviser toutes les quantités sans reste : c'est un diviseur commun. Le plus grand nombre de lots possibles correspond donc au PGCD des quantités.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un problème de répartition, le PGCD de deux quantités indique la taille de chaque lot.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le PGCD donne le nombre de lots, pas leur taille.
La taille de chaque lot s'obtient ensuite en divisant chaque quantité par le PGCD.
Exemple : avec $48$ roses et $36$ tulipes, $PGCD(48 ; 36) = 12$ indique qu'on peut faire $12$ bouquets.
Chaque bouquet contient $48 \div 12 = 4$ roses et $36 \div 12 = 3$ tulipes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'interpréter le PGCD comme la taille d'un lot, alors qu'il donne le nombre maximal de lots.
Le PGCD donne le nombre maximal de lots, pas leur taille.
La taille de chaque lot s'obtient ensuite en divisant chaque quantité par le PGCD.
Exemple : avec $48$ roses et $36$ tulipes, $PGCD(48 ; 36) = 12$ signifie qu'on forme $12$ lots.
Chaque lot contient $48 \div 12 = 4$ roses et $36 \div 12 = 3$ tulipes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le PGCD donne le nombre maximal de lots, pas leur taille. La taille de chaque lot s'obtient en divisant chaque quantité par le PGCD. Exemple : $PGCD(48 ; 36) = 12$ lots de $4$ roses et $3$ tulipes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un jardinier dispose de $60$ plants de tomates et $45$ plants de salades. Il peut les répartir en exactement $15$ rangées identiques sans aucun reste.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On décompose : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $45 = 3^2 \times 5$.
Le PGCD est $3 \times 5 = 15$ : le jardinier peut bien former $15$ rangées identiques.
Chaque rangée contiendra $60 \div 15 = 4$ plants de tomates et $45 \div 15 = 3$ plants de salades, sans aucun reste.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas vérifier que $15$ divise bien les deux quantités avant de conclure.
On décompose : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $45 = 3^2 \times 5$.
Le PGCD est $3 \times 5 = 15$ : le jardinier peut bien former $15$ rangées identiques.
Chaque rangée contiendra $60 \div 15 = 4$ plants de tomates et $45 \div 15 = 3$ plants de salades, sans aucun reste.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule : $PGCD(60 ; 45) = 15$, donc le jardinier peut former exactement $15$ rangées identiques, chacune avec $4$ plants de tomates et $3$ plants de salades.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $PGCD(a ; b) = 1$, on peut former exactement $2$ lots identiques avec $a$ objets d'un type et $b$ objets d'un autre.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $PGCD(a ; b) = 1$, le seul diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$.
Le seul nombre de lots possible est donc $1$ : on ne peut pas diviser en plusieurs lots identiques sans avoir de reste.
Exemple : $PGCD(7 ; 9) = 1$, il est impossible de répartir $7$ et $9$ objets en $2$ lots identiques (ni $3$, ni davantage).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de penser que l'on peut toujours former au moins $2$ lots — mais si $PGCD(a ; b) = 1$, les deux quantités n'ont pas de diviseur commun supérieur à $1$.
Si $PGCD(a ; b) = 1$, le seul diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$.
Le seul nombre de lots possible est donc $1$ : on ne peut pas diviser en plusieurs lots identiques sans avoir de reste.
Exemple : $PGCD(7 ; 9) = 1$, il est impossible de répartir $7$ et $9$ objets en $2$ lots identiques.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $PGCD(a ; b) = 1$, le seul diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$, donc on ne peut former qu'un seul lot (pas de partage en plusieurs lots identiques). Exemple : $PGCD(7 ; 9) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un libraire veut répartir $18$ romans et $30$ bandes dessinées en piles identiques. Le nombre maximal de piles est $6$, et chacune contient $6$ romans et $10$ bandes dessinées.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$PGCD(18 ; 30) = 6$ : le nombre maximal de piles est bien $6$.
Mais le contenu de chaque pile est faux : chaque pile contient $18 \div 6 = 3$ romans et $30 \div 6 = 5$ bandes dessinées, et non $6$ romans et $10$ bandes dessinées.
Attention : c'est le nombre de piles qui vaut $6$, pas le nombre d'objets dans chaque pile ![/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre le nombre de piles (donné par le PGCD) avec le contenu de chaque pile (obtenu en divisant les quantités par le PGCD).
$PGCD(18 ; 30) = 6$ : le nombre maximal de piles est bien $6$.
Mais chaque pile contient $18 \div 6 = 3$ romans et $30 \div 6 = 5$ bandes dessinées, et non $6$ romans et $10$ bandes dessinées.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre maximal de piles est bien $PGCD(18 ; 30) = 6$, mais chaque pile contient $18 \div 6 = 3$ romans et $30 \div 6 = 5$ bandes dessinées (pas $6$ et $10$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour répartir $12$ crayons rouges, $18$ crayons bleus et $8$ crayons verts en lots identiques, le nombre maximal de lots est $6$, car $PGCD(12 ; 18) = 6$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On ne peut pas ignorer la troisième quantité.
Il faut calculer le PGCD des trois valeurs : d'abord $PGCD(12 ; 18) = 6$, puis $PGCD(6 ; 8) = 2$.
Donc $PGCD(12 ; 18 ; 8) = 2$ : le nombre maximal de lots est $2$, et non $6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier l'une des quantités et de ne calculer le PGCD que sur deux d'entre elles — ici, la troisième quantité ($8$ crayons verts) est ignorée.
Il faut calculer le PGCD des trois valeurs : d'abord $PGCD(12 ; 18) = 6$, puis $PGCD(6 ; 8) = 2$.
Donc $PGCD(12 ; 18 ; 8) = 2$ : le nombre maximal de lots est $2$, et non $6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut prendre en compte les trois quantités : $PGCD(12 ; 18) = 6$, puis $PGCD(6 ; 8) = 2$. Le nombre maximal de lots est donc $2$, pas $6$.
[/solution]
[/etape]

PGCD – Décompte de carreaux (Brevet Besançon 2005)

(Brevet Besançon 2005)

Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
1. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
2. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

Corrigé

Les décompositions en produit de facteurs premiers de 135 et 210 sont :

$210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$
$135 = 3^3 \times 5$

En recherchant les facteurs communs on trouve :
$\text{PGCD}(210, 135) = 3 \times 5 = 15$
1. Comme on souhaite mettre un nombre entier de carreaux, on cherche à ce que la taille du côté de celui-ci soit un diviseur de la largeur mais aussi la hauteur du mur. Comme on cherche également des carreaux de plus grand côté possible cela revient à chercher le PGCD des dimensions du mur qui est 15 cm comme nous avons pu le calculer dans la première question.
2. Il faudra alors $\dfrac{210}{15} \times \dfrac{135}{15} = 14 \times 9 = 126$ carreaux.

Problème de partage (Brevet Nord 2006)

(Brevet Groupement Nord 2006)
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Étant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis.

Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.

Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes) ?

Expliquer votre raisonnement.
Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?

Corrigé

Pour qu'un partage équitable soit possible, il faut que le nombre de personnes divise le nombre de sucettes et le nombre de bonbons.

Au maximum, ce nombre sera donc égal au PGCD de 84 et 147.

La décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est :

$ 84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 $

La décomposition de 147 est :

$ 147 = 3 \times 7 \times 7 $

Le PGCD de 147 et 84 est donc $ 3 \times 7 = 21 $ .

21 personnes au maximum pourront donc bénéficier de ces friandises.
$ 84 \div 21 = 4 $

$ 147 \div 21 = 7 $

Chacune des 21 personnes aura alors 4 sucettes et 7 bonbons.