Équations et inéquations avec la racine carrée
[enonce]
On cherche à résoudre l'équation $\sqrt{x} = 3$, puis l'inéquation $\sqrt{x} \leqslant 3$.
On s'intéresse ensuite au cas où le second membre est négatif.
[/enonce]
[etape]
L'équation $\sqrt{x} = 3$ a-t-elle des solutions ?
[select id="exist"]
[option correct="true"]Oui, car $3 \geqslant 0$ et la racine carrée peut prendre toute valeur positive[/option]
[option]Non, car la racine carrée n'est définie que pour $x \geqslant 0$[/option]
[option]Oui, pour tout réel $x$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction racine carrée prend toutes les valeurs de $[0~;~+\infty[$. Comme $3 \geqslant 0$, il existe bien un $x$ tel que $\sqrt{x} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car la racine carrée n'est définie que pour $x \geqslant 0$"]Le domaine de définition ($x \geqslant 0$) est une condition sur $x$, pas sur la valeur de $\sqrt{x}$. Ici on cherche si $3$ est une valeur atteinte par $\sqrt{x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La racine carrée d'un nombre positif est toujours positive ou nulle. Vérifier si $3$ appartient à l'ensemble des valeurs prises par $\sqrt{x}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\sqrt{x} \geqslant 0$ pour tout $x$ du domaine. La question est : $3$ est-il positif ?[/aide]
[aide essai="3"]$3 \geqslant 0$, donc $3$ est bien une valeur que $\sqrt{x}$ peut atteindre.[/aide]
[/select]
[/etape]
[etape]
Résoudre l'équation $\sqrt{x} = 3$.
$x = $ [[sol1]]
[math id="sol1" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $\sqrt{x} = 3$, alors $x = 3^2 = 9$. On vérifie : $\sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Il faut élever au carré, pas recopier le nombre. Si $\sqrt{x} = 3$, alors $x = 3^2$.[/reponse]
[reponse motif="\sqrt{3}"]Ce n'est pas la bonne opération. Pour « annuler » la racine carrée, on élève au carré : $x = 3^2$.[/reponse]
[reponse motif="-9"]$x$ doit être positif pour que $\sqrt{x}$ existe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Pour résoudre $\sqrt{x} = 3$, élever les deux membres au carré.[/reponse]
[aide essai="2"]Si $\sqrt{x} = 3$, alors $(\sqrt{x})^2 = 3^2$, donc $x = ?$[/aide]
[aide essai="3"]$3^2 = 9$.[/aide]
[/math]
[solution]$\sqrt{x} = 3 \Leftrightarrow x = 3^2 = 9$. Vérification : $\sqrt{9} = 3$.[/solution]
[/etape]
[etape]
L'équation $\sqrt{x} = -2$ admet-elle des solutions ?
[qcm]
[option correct="true"]Non, car $\sqrt{x} \geqslant 0$ pour tout $x$ du domaine[/option]
[option]Oui, $x = 4$[/option]
[option]Oui, $x = -4$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition, $\sqrt{x} \geqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$. La racine carrée ne peut jamais être égale à un nombre strictement négatif. L'équation n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse motif="Oui, $x = 4$"]$\sqrt{4} = 2 \neq -2$. La racine carrée est toujours positive ou nulle, elle ne peut pas valoir $-2$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, $x = -4$"]$\sqrt{-4}$ n'existe pas : la racine carrée n'est définie que pour $x \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$\sqrt{x}$ est toujours positif ou nul. Peut-il être égal à un nombre négatif ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On cherche maintenant les solutions de l'inéquation $\sqrt{x} \leqslant 3$.
L'ensemble des solutions est :
[qcm]
[option]$\left]-\infty~;~9\right]$[/option]
[option correct="true"]$\left[0~;~9\right]$[/option]
[option]$\left[9~;~+\infty\right[$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\sqrt{x} \leqslant 3$ équivaut à $x \leqslant 9$ (car la fonction racine carrée est croissante), avec la condition $x \geqslant 0$ (domaine de définition). L'ensemble des solutions est donc $[0~;~9]$.[/reponse]
[reponse motif="$\left]-\infty~;~9\right]$"]Attention au domaine de définition ! $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geqslant 0$. Il faut intersecter avec $[0~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$\left[9~;~+\infty\right[$"]Le sens est inversé. La racine carrée est croissante : si $\sqrt{x} \leqslant 3$, alors $x$ est inférieur à $9$, pas supérieur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Élever au carré en conservant le sens (la racine carrée est croissante), puis tenir compte du domaine $x \geqslant 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Résoudre l'inéquation $\sqrt{x} > 5$.
Les solutions sont les réels $x$ tels que $x > $ [[sol2]]
[math id="sol2" attendu="25"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\sqrt{x} > 5$ équivaut à $x > 25$ (car la racine carrée est croissante). L'ensemble des solutions est $\left]25~;~+\infty\right[$.[/reponse]
[reponse motif="5"]Il faut élever au carré : $5^2 = 25$, pas $5$.[/reponse]
[reponse motif="\sqrt{5}"]Ce n'est pas la bonne opération. Élever $5$ au carré, comme pour l'équation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode que pour l'équation : élever au carré en conservant le sens de l'inégalité.[/reponse]
[aide essai="2"]La racine carrée est croissante. $\sqrt{x} > 5$ donne $x > 5^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$5^2 = 25$.[/aide]
[/math]
[solution]$\sqrt{x} > 5 \Leftrightarrow x > 5^2 = 25$.
L'ensemble des solutions est $\left]25~;~+\infty\right[$.[/solution]
[/etape]
