Signe et intersection de deux fonctions affines
[enonce]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = 2x - 4$ et $g(x) = -x + 5$
On cherche à comparer ces deux fonctions et à résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$.
[/enonce]
[etape]
Déterminer le sens de variation de $f$ et de $g$.
[qcm]
[option]$f$ et $g$ sont toutes les deux croissantes[/option]
[option]$f$ et $g$ sont toutes les deux décroissantes[/option]
[option correct="true"]$f$ est croissante et $g$ est décroissante[/option]
[option]$f$ est décroissante et $g$ est croissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur de $f$ est $2 > 0$, donc $f$ est strictement croissante.
Le coefficient directeur de $g$ est $-1 < 0$, donc $g$ est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$f$ et $g$ sont toutes les deux croissantes"]Le coefficient directeur de $g$ est $-1$, qui est négatif.
Une fonction affine est croissante si et seulement si son coefficient directeur est positif.[/reponse]
[reponse motif="$f$ et $g$ sont toutes les deux décroissantes"]Le coefficient directeur de $f$ est $2$, qui est positif.
Revoir le lien entre le signe du coefficient directeur et le sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est décroissante et $g$ est croissante"]C'est l'inverse.
Le coefficient directeur de $f$ est $2 > 0$ (croissante) et celui de $g$ est $-1 < 0$ (décroissante).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifier le coefficient directeur de chaque fonction et examiner son signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer la racine de $f$ (la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 0$).
$x = $ [[rf]]
[math id="rf" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$.
La fonction $f$ s'annule en $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="-2"]Attention au signe.
$2x = 4$, donc $x = \dfrac{4}{2}$, qui est positif.[/reponse]
[reponse motif="4"]$4$ est l'ordonnée à l'origine changée de signe, mais il faut encore diviser par le coefficient directeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $2x - 4 = 0$ en isolant $x$.[/reponse]
[aide essai="2"]$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4$.[/aide]
[aide essai="3"]$2x = 4$, donc $x = \dfrac{4}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer la racine de $g$.
$x = $ [[rg]]
[math id="rg" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.
La fonction $g$ s'annule en $x = 5$.[/reponse]
[reponse motif="-5"]Attention au signe.
$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$ (positif).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $-x + 5 = 0$ en isolant $x$.[/reponse]
[aide essai="2"]$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.[/aide]
[aide essai="3"]Isoler $x$ : $-x = -5$, donc $x = 5$.[/aide]
[/math]
[solution]$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Résoudre $f(x) = g(x)$.
$x = $ [[inter]]
[math id="inter" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$2x - 4 = -x + 5$
$2x + x = 5 + 4$
$3x = 9$
$x = 3$
Les courbes de $f$ et $g$ se coupent au point d'abscisse $3$.[/reponse]
[reponse motif="9"]$9$ est le résultat de $5 + 4$, mais il reste à diviser par $3$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Vérifier : $f(1) = 2 - 4 = -2$ et $g(1) = -1 + 5 = 4$. Comme $-2 \neq 4$, ce n'est pas la solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $2x - 4 = -x + 5$ en regroupant les termes en $x$ d'un côté.[/reponse]
[aide essai="2"]$2x - 4 = -x + 5 \Leftrightarrow 2x + x = 5 + 4$.[/aide]
[aide essai="3"]$3x = 9$, donc $x = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$2x - 4 = -x + 5 \Leftrightarrow 3x = 9 \Leftrightarrow x = 3$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour $x > 3$, quelle fonction a les plus grandes valeurs ?
La fonction [[plus_grande]] a les plus grandes valeurs pour $x > 3$.
[select id="plus_grande"]
[option correct="true"]$f$[/option]
[option]$g$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f$ est croissante et $g$ est décroissante. Après leur point d'intersection ($x = 3$), $f$ « monte » tandis que $g$ « descend », donc $f(x) > g(x)$ pour tout $x > 3$.
Vérification : $f(4) = 4$ et $g(4) = 1$, on a bien $f(4) > g(4)$.[/reponse]
[reponse motif="$g$"]Après le point d'intersection, la fonction croissante prend des valeurs de plus en plus grandes tandis que la décroissante diminue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer les sens de variation : après le croisement, la fonction qui « monte » finit par dépasser celle qui « descend ».[/reponse]
[aide essai="2"]Au point d'intersection ($x = 3$), les deux fonctions sont égales. Après ce point, $f$ croît et $g$ décroît.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $f(4)$ et $g(4)$ pour vérifier laquelle est la plus grande.[/aide]
[/select]
[/etape]
Vidange d’une cuve et fonction affine
[enonce]
Une cuve se vide à débit constant. On mesure le volume d'eau restant à deux instants :
- Après $2$ heures : $30$ litres.
- Après $6$ heures : $20$ litres.
On note $V(t)$ le volume d'eau (en litres) dans la cuve au bout de $t$ heures. On admet que $V$ est une fonction affine.
On cherche à déterminer l'expression de $V$, puis à exploiter cette fonction.
[/enonce]
[etape]
Calculer le coefficient directeur de $V$.
$a = $ [[coeff]]
[math id="coeff" attendu="-\dfrac{5}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$a = \dfrac{V(6) - V(2)}{6 - 2} = \dfrac{20 - 30}{4} = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}$
La cuve perd $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ litres par heure.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut simplifier la fraction.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{5}{2}"]Attention au signe : le volume diminue, donc le coefficient directeur est négatif.[/reponse]
[reponse motif="5"]Ce n'est pas tout à fait ça.
Le coefficient directeur est un quotient : $a = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}$.[/reponse]
[reponse motif="-10"]$-10$ est la variation de volume, mais il faut la diviser par la variation de temps.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Appliquer la formule du coefficient directeur avec les deux points connus.
$a = \dfrac{V(6) - V(2)}{6 - 2}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ avec les points $(2~;~30)$ et $(6~;~20)$.[/aide]
[aide essai="3"]$a = \dfrac{20 - 30}{6 - 2} = \dfrac{-10}{4}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]$a = \dfrac{20 - 30}{6 - 2} = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer l'ordonnée à l'origine $b$ (volume initial de la cuve).
$b = $ [[ord]]
[math id="ord" attendu="35"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On utilise $V(2) = 30$ : $b = 30 - a \times 2 = 30 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) \times 2 = 30 + 5 = 35$.
La cuve contenait $35$ litres au départ.[/reponse]
[reponse motif="25"]Attention au signe de $a$ : on soustrait un nombre négatif, ce qui revient à additionner.[/reponse]
[reponse motif="30"]$30$ est le volume à $t = 2$, pas le volume initial.
Il faut remonter à $t = 0$ en utilisant $b = V(2) - a \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser la relation $b = y_1 - a \times x_1$ avec un des deux points connus.[/reponse]
[aide essai="2"]$b = V(2) - a \times 2 = 30 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) \times 2$.[/aide]
[aide essai="3"]$-\dfrac{5}{2} \times 2 = -5$, donc $b = 30 - (-5) = 30 + 5$.[/aide]
[/math]
[solution]$b = 30 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) \times 2 = 30 + 5 = 35$ litres.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer le volume d'eau restant après $10$ heures.
$V(10) = $ [[v10]] litres
[math id="v10" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$V(10) = -\dfrac{5}{2} \times 10 + 35 = -25 + 35 = 10$ litres.[/reponse]
[reponse motif="-25"]Il manque l'ordonnée à l'origine.
$V(10) = a \times 10 + b$, pas seulement $a \times 10$.[/reponse]
[reponse motif="60"]Attention au signe du coefficient directeur : la cuve se vide, donc $a$ est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplacer $t$ par $10$ dans l'expression $V(t) = -\dfrac{5}{2}t + 35$.[/reponse]
[aide essai="2"]$V(t) = -\dfrac{5}{2}t + 35$. Calculer $-\dfrac{5}{2} \times 10$.[/aide]
[aide essai="3"]$-\dfrac{5}{2} \times 10 = -25$, puis $-25 + 35 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$V(10) = -\dfrac{5}{2} \times 10 + 35 = -25 + 35 = 10$ litres.[/solution]
[/etape]
[etape]
Au bout de combien d'heures la cuve sera-t-elle vide ?
$t = $ [[tvide]] heures
[math id="tvide" attendu="14"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$V(t) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t + 35 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}t = 35 \Leftrightarrow t = 35 \times \dfrac{2}{5} = 14$.
La cuve sera vide après $14$ heures.[/reponse]
[reponse motif="35"]$35$ est le volume initial, pas le temps de vidange.
Il faut résoudre $V(t) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="7"]Vérifier le calcul : $V(7) = -\dfrac{5}{2} \times 7 + 35 = -17{,}5 + 35 = 17{,}5 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $V(t) = 0$, c'est-à-dire $-\dfrac{5}{2}t + 35 = 0$.[/reponse]
[aide essai="2"]$-\dfrac{5}{2}t + 35 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}t = 35$.[/aide]
[aide essai="3"]$t = 35 \div \dfrac{5}{2} = 35 \times \dfrac{2}{5}$. Calculer ce produit.[/aide]
[/math]
[solution]$-\dfrac{5}{2}t + 35 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}t = 35 \Leftrightarrow t = 35 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{70}{5} = 14$ heures.[/solution]
[/etape]
[etape]
Au bout de combien d'heures la cuve est-elle à moitié pleine ?
$t = $ [[tmoitie]] heures
[math id="tmoitie" attendu="7"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La moitié du volume initial est $\dfrac{35}{2} = 17{,}5$ litres.
$V(t) = 17{,}5 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t + 35 = 17{,}5 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t = -17{,}5 \Leftrightarrow t = 17{,}5 \times \dfrac{2}{5} = 7$.
La cuve est à moitié pleine au bout de $7$ heures.[/reponse]
[reponse motif="14"]$14$ heures correspond à une cuve vide, pas à moitié pleine.[/reponse]
[reponse motif="17.5"]$17{,}5$ est le volume à mi-remplissage, pas le temps correspondant.
Il faut résoudre $V(t) = 17{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer d'abord la moitié du volume initial, puis résoudre $V(t) = \dfrac{35}{2}$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le volume initial est $35$ litres, donc la moitié vaut $17{,}5$ litres. Résoudre $-\dfrac{5}{2}t + 35 = 17{,}5$.[/aide]
[aide essai="3"]$-\dfrac{5}{2}t = 17{,}5 - 35 = -17{,}5$, donc $t = \dfrac{17{,}5}{5/2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$V(t) = \dfrac{35}{2} \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t + 35 = 17{,}5 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t = -17{,}5 \Leftrightarrow t = 7$ heures.[/solution]
[/etape]
Tarifs de location et fonctions affines
[enonce]
Deux magasins proposent la location de vélos à la journée :
- Magasin A : $15$ € de frais fixes + $3$ € par heure de location.
- Magasin B : $5$ € de frais fixes + $5$ € par heure de location.
On note $x$ le nombre d'heures de location, $f(x)$ le coût total au Magasin A et $g(x)$ le coût total au Magasin B.
On cherche à déterminer quelle offre est la plus avantageuse selon le nombre d'heures.
[/enonce]
[etape]
Exprimer $f(x)$ (coût au Magasin A) en fonction de $x$.
$f(x) = $ [[fa]]
[math id="fa" attendu="3x+15"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le Magasin A facture $15$ € fixes + $3$ € par heure, donc $f(x) = 3x + 15$.
C'est une fonction affine de coefficient directeur $3$ et d'ordonnée à l'origine $15$.[/reponse]
[reponse motif="15x+3"]Attention à ne pas inverser le prix par heure et les frais fixes.
Le coût par heure ($3$ €) multiplie $x$, les frais fixes ($15$ €) forment la constante.[/reponse]
[reponse motif="3x"]Il manque les frais fixes.
Même sans rouler ($x = 0$), on paie $15$ €.[/reponse]
[reponse motif="18x"]Les $15$ € et les $3$ € ne jouent pas le même rôle : l'un est fixe, l'autre dépend du nombre d'heures.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le coût total est la somme d'une partie fixe et d'une partie variable.
Identifier le montant fixe et le montant par heure dans l'énoncé.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coût est composé de deux parties : un fixe (indépendant de $x$) et un variable (proportionnel à $x$).[/aide]
[aide essai="3"]$f(x) = \text{coût par heure} \times x + \text{frais fixes}$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = 3x + 15$ (coefficient directeur $3$, ordonnée à l'origine $15$).[/solution]
[/etape]
[etape]
Exprimer $g(x)$ (coût au Magasin B) en fonction de $x$.
$g(x) = $ [[fb]]
[math id="fb" attendu="5x+5"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le Magasin B facture $5$ € fixes + $5$ € par heure, donc $g(x) = 5x + 5$.[/reponse]
[reponse motif="5x"]Il manque les frais fixes de $5$ €.[/reponse]
[reponse motif="10x"]Les $5$ € de frais fixes et les $5$ € par heure ne jouent pas le même rôle : l'un est constant, l'autre dépend de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même raisonnement que pour le Magasin A : coût fixe + coût par heure $\times$ nombre d'heures.[/reponse]
[aide essai="2"]$g(x) = \text{coût par heure} \times x + \text{frais fixes}$.[/aide]
[aide essai="3"]Le coût par heure est $5$ € et les frais fixes sont $5$ €.[/aide]
[/math]
[solution]$g(x) = 5x + 5$ (coefficient directeur $5$, ordonnée à l'origine $5$).[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour combien d'heures les deux magasins proposent-ils le même prix ?
$x = $ [[egal]] heures
[math id="egal" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$3x + 15 = 5x + 5$
$15 - 5 = 5x - 3x$
$10 = 2x$
$x = 5$
Les deux magasins coûtent le même prix pour $5$ heures de location.[/reponse]
[reponse motif="10"]$10$ est la différence des frais fixes, mais il reste une étape de calcul.[/reponse]
[reponse motif="2"]$2$ est le coefficient obtenu en regroupant les termes en $x$, pas la solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $3x + 15 = 5x + 5$.
Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[aide essai="2"]$3x + 15 = 5x + 5$ donne $15 - 5 = 5x - 3x$, soit $10 = 2x$.[/aide]
[aide essai="3"]$2x = 10$, donc $x = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$3x + 15 = 5x + 5 \Leftrightarrow 10 = 2x \Leftrightarrow x = 5$ heures.[/solution]
[/etape]
[etape]
La fonction $h(x) = f(x) - g(x)$ représente la différence de coût entre les deux magasins.
La fonction $h$ est [[nature]].
[select id="nature"]
[option correct="true"]décroissante[/option]
[option]croissante[/option]
[option]constante[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$h(x) = f(x) - g(x) = (3x + 15) - (5x + 5) = -2x + 10$.
Le coefficient directeur de $h$ est $-2 < 0$, donc $h$ est décroissante.[/reponse]
[reponse motif="croissante"]Le coefficient directeur de $h$ est négatif.
Calculer $h(x) = f(x) - g(x)$ et identifier le signe du coefficient directeur.[/reponse]
[reponse motif="constante"]$h$ n'est pas constante car les coefficients directeurs de $f$ et $g$ sont différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer $h(x) = f(x) - g(x)$, puis identifier le signe de son coefficient directeur.[/reponse]
[aide essai="2"]$h(x) = (3x + 15) - (5x + 5)$. Développer et simplifier pour obtenir une expression de la forme $ax + b$.[/aide]
[aide essai="3"]$h(x) = -2x + 10$. Le coefficient directeur est $-2$. Quel est son signe ?[/aide]
[/select]
[/etape]
[etape]
Pour $8$ heures de location, quel magasin est le moins cher ?
[qcm]
[option correct="true"]Le Magasin A[/option]
[option]Le Magasin B[/option]
[option]Les deux sont au même prix[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(8) = 3 \times 8 + 15 = 39$ € et $g(8) = 5 \times 8 + 5 = 45$ €.
Comme $8 > 5$ (seuil d'égalité), $h(8) = f(8) - g(8) = -2 \times 8 + 10 = -6 < 0$, donc $f(8) < g(8)$ : le Magasin A est le moins cher.[/reponse]
[reponse motif="Le Magasin B"]Pour $x > 5$, la différence $h(x) = f(x) - g(x)$ est négative.
Cela signifie que $f(x) < g(x)$, donc le Magasin A coûte moins cher.[/reponse]
[reponse motif="Les deux sont au même prix"]Les deux magasins ne sont au même prix que pour $x = 5$ heures, or $8 \neq 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le signe de $h(x) = f(x) - g(x)$ pour $x = 8$.
Comme $8 > 5$, déterminer le signe de $h(8)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM Bilan : Fonctions linéaires et affines
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : fonctions linéaires, coefficient directeur et ordonnée à l'origine, sens de variation et signe. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle n'est ni linéaire ni affine ?
[qcm]
[option]$f(x) = 3 - \dfrac{x}{2}$[/option]
[option]$g(x) = 7x$[/option]
[option correct="true"]$h(x) = x^2 + 3x$[/option]
[option]$k(x) = -4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction $h(x) = x^2 + 3x$ contient un terme en $x^2$ : ce n'est pas une fonction de la forme $ax + b$. Elle n'est donc ni linéaire ni affine.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3 - \dfrac{x}{2}$"]Non.
En réécrivant $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 3$, on reconnaît une fonction affine avec $a = -\dfrac{1}{2}$ et $b = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = 7x$"]Non.
La fonction $g(x) = 7x$ est de la forme $ax$ avec $a = 7$ : c'est une fonction linéaire (cas particulier d'affine avec $b = 0$).[/reponse]
[reponse motif="$k(x) = -4$"]Non.
La fonction $k(x) = -4$ est une fonction constante, c'est-à-dire une fonction affine particulière avec $a = 0$ et $b = -4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fonction est affine si elle s'écrit sous la forme $f(x) = ax + b$. Vérifier quelle expression ne correspond pas à cette forme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 4$. Calculer $f(-6)$.
[qcm]
[option]$-5$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$-13$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(-6) = -\dfrac{3}{2} \times (-6) + 4 = \dfrac{18}{2} + 4 = 9 + 4 = 13$
Le produit de deux nombres négatifs est positif : $-\dfrac{3}{2} \times (-6) = +9$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as sans doute calculé $-\dfrac{3}{2} \times (-6) = -9$ en oubliant la règle des signes. Le produit de deux nombres négatifs est positif, donc $-\dfrac{3}{2} \times (-6) = +9$.[/reponse]
[reponse motif="$-13$"]Non.
La valeur absolue $13$ est correcte, mais le signe est positif. En effet, $-\dfrac{3}{2} \times (-6)$ est un produit de deux négatifs, donc positif.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as probablement calculé $9 - 4 = 5$ au lieu de $9 + 4$. L'ordonnée à l'origine est $b = +4$, donc on ajoute $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $-6$ dans $-\dfrac{3}{2}x + 4$. Attention à la règle des signes pour le produit $-\dfrac{3}{2} \times (-6)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(-1) = 5$ et $f(2) = -4$. Calculer le coefficient directeur de $f$.
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$-9$[/option]
[option correct="true"]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$a = \dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \dfrac{-4 - 5}{2 + 1} = \dfrac{-9}{3} = -3$[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le signe est négatif. Au numérateur, $f(2) - f(-1) = -4 - 5 = -9$, ce qui donne un coefficient négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{3}$"]Non.
Tu as inversé le numérateur et le dénominateur. Le coefficient directeur est $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ : la variation des images au numérateur et la variation des $x$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$-9$"]Non.
Tu as calculé $f(2) - f(-1) = -9$ mais tu as oublié de diviser par $2 - (-1) = 3$. Le coefficient directeur est le rapport $\dfrac{-9}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $a = \dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)}$. Attention au signe de $2 - (-1) = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Les droites représentant $f(x) = 2x - 3$ et $g(x) = -x + 6$ se coupent en un point. Quelles sont ses coordonnées ?
[qcm]
[option]$(1\,;\,-1)$[/option]
[option]$(9\,;\,15)$[/option]
[option correct="true"]$(3\,;\,3)$[/option]
[option]$(-3\,;\,-9)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On résout $f(x) = g(x)$ :
$2x - 3 = -x + 6$
$2x + x = 6 + 3$
$3x = 9$
$x = 3$
Puis $f(3) = 2 \times 3 - 3 = 3$. Le point d'intersection est $(3\,;\,3)$.[/reponse]
[reponse motif="$(1\,;\,-1)$"]Non.
Vérification : $f(1) = 2 - 3 = -1$ et $g(1) = -1 + 6 = 5$. Comme $-1 \neq 5$, ce point n'est pas l'intersection. Reprendre la résolution de $2x - 3 = -x + 6$.[/reponse]
[reponse motif="$(9\,;\,15)$"]Non.
Tu as trouvé $3x = 9$ mais tu n'as pas divisé par $3$ : tu as pris $x = 9$. La dernière étape est $x = \dfrac{9}{3} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$(-3\,;\,-9)$"]Non.
Tu as probablement fait une erreur de signe en transposant le $-x$. Le terme $-x$ passe à gauche en $+x$, ce qui donne $2x + x = 3x$ et non $2x - x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $2x - 3 = -x + 6$ en regroupant les $x$ d'un côté, puis calculer l'ordonnée avec $f(x)$ ou $g(x)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = -2x + 6$. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x) \leqslant 0$ ?
[qcm]
[option]$x \leqslant 3$[/option]
[option correct="true"]$x \geqslant 3$[/option]
[option]$x \geqslant -3$[/option]
[option]$x \leqslant -3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La racine de $f$ est $x_0 = \dfrac{6}{2} = 3$.
Comme $a = -2 < 0$, la fonction est décroissante : elle est positive avant la racine et négative après.
Donc $f(x) \leqslant 0$ pour $x \geqslant 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x \leqslant 3$"]Non.
Pour $x \leqslant 3$, la fonction est positive (ou nulle), pas négative. Comme $a < 0$, $f$ est décroissante : elle passe de valeurs positives à des valeurs négatives en traversant la racine.[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant -3$"]Non.
La racine est $x_0 = 3$ (et non $-3$). Résoudre $-2x + 6 = 0$ donne $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x \leqslant -3$"]Non.
La racine de $f$ est $x_0 = 3$ (pas $-3$) et le sens de l'inégalité est inversé. Recalculer la racine puis utiliser la décroissance de $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver la racine ($f(x) = 0$) puis utiliser le signe du coefficient directeur pour déterminer où $f$ est négative.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La fonction $f$ est définie par $f(x) = 4x + b$ avec $b$ inconnu. On sait que $f(3) = 5$. Calculer $f(-1)$.
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option correct="true"]$-11$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On détermine d'abord $b$ : $f(3) = 4 \times 3 + b = 12 + b = 5$, donc $b = 5 - 12 = -7$.
La fonction est $f(x) = 4x - 7$.
Puis $f(-1) = 4 \times (-1) - 7 = -4 - 7 = -11$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as pris $b = 5$ directement (la valeur de $f(3)$) sans résoudre l'équation. Il faut d'abord calculer $b$ à partir de $f(3) = 12 + b = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as calculé $f(1)$ au lieu de $f(-1)$. Attention au signe : $f(-1) = 4 \times (-1) + b$ et non $4 \times 1 + b$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu as probablement utilisé $+7$ au lieu de $-7$ pour $b$. Vérifier que $12 + b = 5$ donne bien $b = -7$ (et non $+7$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commencer par trouver $b$ en résolvant $f(3) = 4 \times 3 + b = 5$, puis calculer $f(-1)$ avec l'expression complète.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Variation et signe d’une fonction affine
[enonce]
Ce QCM porte sur le sens de variation et le signe d'une fonction affine. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est strictement décroissante ?
[qcm]
[option]$f(x) = 2x - 1$[/option]
[option]$g(x) = -5$[/option]
[option]$h(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$[/option]
[option correct="true"]$k(x) = -\dfrac{3}{4}x + 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur de $k$ est $a = -\dfrac{3}{4} < 0$, donc $k$ est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 2x - 1$"]Non.
Le coefficient directeur de $f$ est $a = 2 > 0$, donc $f$ est strictement croissante. Pour qu'une fonction affine soit décroissante, son coefficient directeur doit être strictement négatif.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = -5$"]Non.
La fonction $g(x) = -5$ est une fonction constante ($a = 0$). Elle n'est ni croissante ni décroissante. Le signe du nombre $-5$ n'est pas le signe du coefficient directeur.[/reponse]
[reponse motif="$h(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$"]Non.
Le coefficient directeur de $h$ est $a = \dfrac{1}{2} > 0$, donc $h$ est strictement croissante. Un coefficient directeur positif donne une fonction croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fonction affine $f(x) = ax + b$ est strictement décroissante si et seulement si $a < 0$. Identifier le signe du coefficient directeur de chaque fonction.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = 4x - 12$. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ s'annule-t-elle ?
[qcm]
[option correct="true"]$x = 3$[/option]
[option]$x = -3$[/option]
[option]$x = 8$[/option]
[option]$x = 48$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On résout $f(x) = 0$ :
$4x - 12 = 0$
$4x = 12$
$x = \dfrac{12}{4} = 3$[/reponse]
[reponse motif="$x = -3$"]Non.
Tu as un problème de signe. L'équation $4x - 12 = 0$ donne $4x = 12$ (on ajoute $12$), puis $x = 3$. Le résultat est positif.[/reponse]
[reponse motif="$x = 8$"]Non.
Tu as calculé $12 - 4 = 8$ au lieu de diviser. L'équation $4x = 12$ se résout en divisant les deux membres par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 48$"]Non.
Tu as multiplié $12 \times 4 = 48$ au lieu de diviser. L'équation $4x = 12$ se résout en divisant par $4$, pas en multipliant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $4x - 12 = 0$ en isolant $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = 3x - 6$. Sur quel intervalle $f(x)$ est-elle strictement négative ?
[qcm]
[option]$]2\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$]-\infty\,;\,-2[$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty\,;\,2[$[/option]
[option]$]-2\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La racine de $f$ est $x_0 = \dfrac{6}{3} = 2$.
Comme $a = 3 > 0$, la fonction est croissante : $f(x) < 0$ pour $x < 2$, c'est-à-dire sur $]-\infty\,;\,2[$.[/reponse]
[reponse motif="$]2\,;\,+\infty[$"]Non.
Sur cet intervalle, $f$ est strictement positive (et non négative). Quand $a > 0$, la fonction est croissante : elle est négative avant la racine et positive après.[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty\,;\,-2[$"]Non.
La racine de $f$ est $x_0 = \dfrac{6}{3} = 2$ (et non $-2$). Attention, $x_0 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{3} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$]-2\,;\,+\infty[$"]Non.
Deux erreurs se sont glissées : la racine est $x_0 = 2$ (pas $-2$) et le sens de l'intervalle est inversé. Recalculer la racine et utiliser le signe de $a$ pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver d'abord la racine en résolvant $3x - 6 = 0$, puis utiliser le signe du coefficient directeur pour déterminer où $f$ est négative.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = -2x + 8$. Résoudre $f(x) \geqslant 0$.
[qcm]
[option]$x \geqslant 4$[/option]
[option]$x \leqslant -4$[/option]
[option correct="true"]$x \leqslant 4$[/option]
[option]$x \geqslant -4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(x) \geqslant 0 \iff -2x + 8 \geqslant 0 \iff -2x \geqslant -8 \iff x \leqslant 4$
On divise par $-2$ en changeant le sens de l'inégalité.
On peut aussi raisonner avec le tableau de signes : $f$ s'annule en $x_0 = 4$ et $a < 0$, donc $f(x) \geqslant 0$ pour $x \leqslant 4$.[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant 4$"]Non.
Tu as oublié de changer le sens de l'inégalité en divisant par $-2$. Quand on divise (ou multiplie) par un nombre négatif, l'inégalité s'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$x \leqslant -4$"]Non.
La racine est $x_0 = \dfrac{8}{2} = 4$ (et non $-4$). Attention au signe : $-2x + 8 = 0$ donne $x = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant -4$"]Non.
Deux erreurs se sont glissées : la racine est $4$ (pas $-4$) et le sens de l'inégalité est inversé. Résoudre d'abord $-2x + 8 = 0$, puis raisonner sur le signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $-2x + 8 \geqslant 0$ en isolant $x$. Attention : diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = -x + 3$ et $g(x) = 2x - 6$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x) = g(x)$ ?
[qcm]
[option]$x = 1$[/option]
[option correct="true"]$x = 3$[/option]
[option]$x = -1$[/option]
[option]$x = 9$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $-x + 3 = 2x - 6$ :
$3 + 6 = 2x + x$
$9 = 3x$
$x = 3$
Vérification : $f(3) = -3 + 3 = 0$ et $g(3) = 6 - 6 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$"]Non.
Vérifions : $f(1) = -1 + 3 = 2$ et $g(1) = 2 - 6 = -4$. Ces valeurs sont différentes. Reprendre la résolution de $-x + 3 = 2x - 6$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$"]Non.
Tu as probablement fait une erreur de signe en regroupant les termes en $x$. Dans $-x + 3 = 2x - 6$, on obtient $-x - 2x = -6 - 3$, soit $-3x = -9$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 9$"]Non.
Tu as trouvé $3x = 9$ mais tu as oublié de diviser par $3$. La dernière étape est $x = \dfrac{9}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $-x + 3 = 2x - 6$ en regroupant les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = 2x - 10$ et $g(x) = -x + 5$. Résoudre $f(x) > g(x)$.
[qcm]
[option]$x > -5$[/option]
[option]$x < 5$[/option]
[option correct="true"]$x > 5$[/option]
[option]$x > 15$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f(x) > g(x) \iff 2x - 10 > -x + 5 \iff 2x + x > 5 + 10 \iff 3x > 15 \iff x > 5$[/reponse]
[reponse motif="$x > -5$"]Non.
Tu as soustrait les constantes au lieu de les additionner en transposant : le $-10$ passe à droite en $+10$, donc on obtient $3x > 5 + 10 = 15$, et non $5 - 10 = -5$.[/reponse]
[reponse motif="$x < 5$"]Non.
La valeur $5$ est correcte, mais le sens de l'inégalité est inversé. Ici on ne divise pas par un nombre négatif ($3 > 0$), donc l'inégalité est conservée : $3x > 15$ donne $x > 5$.[/reponse]
[reponse motif="$x > 15$"]Non.
Tu as trouvé $3x > 15$ mais tu as oublié de diviser par $3$. La dernière étape est $x > \dfrac{15}{3} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'inéquation $2x - 10 > -x + 5$ en regroupant les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Vrai/Faux : Variation et signe d’une fonction affine
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les variations et le signe des fonctions affines, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : La fonction $f(x) = -3x + 9$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur est $a = -3 < 0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. La valeur de $b = 9$ n'influence pas le sens de variation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le sens de variation ne dépend que du signe du coefficient directeur $a$. Ici $a = -3 < 0$, donc $f$ est strictement décroissante, indépendamment de la valeur de $b = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $a = -3 < 0$, la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La fonction $g(x) = 4 - 2x$ est croissante car $4 > 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
En réécrivant $g(x) = -2x + 4$, on lit $a = -2 < 0$ : la fonction est décroissante. Le nombre $4$ est l'ordonnée à l'origine, pas le coefficient directeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'ordonnée à l'origine avec le coefficient directeur. En écrivant $g(x) = -2x + 4$, on identifie $a = -2$ et $b = 4$. Le sens de variation dépend du signe de $a = -2 < 0$ : la fonction est décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient directeur est $a = -2 < 0$, donc $g$ est décroissante. Le $4$ est l'ordonnée à l'origine.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La fonction $f(x) = 3x - 6$ est négative pour $x < -2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La racine de $f$ est $x = \dfrac{6}{3} = 2$ (et non $-2$). Comme $a = 3 > 0$, $f(x) < 0$ pour $x < 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au calcul de la racine. On résout $3x - 6 = 0$, soit $x = \dfrac{6}{3} = 2$. La valeur $-2$ est une erreur de signe. Comme $a > 0$, $f(x) < 0$ pour $x < 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La racine est $x = 2$ (pas $-2$), et $f$ est négative pour $x < 2$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La fonction $h(x) = -x + 4$ s'annule pour $x = 4$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $-x + 4 = 0$, soit $x = 4$. On vérifie : $h(4) = -4 + 4 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En résolvant $-x + 4 = 0$, on obtient $x = 4$. On peut aussi appliquer la formule $x_0 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{-1} = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $h(4) = -4 + 4 = 0$, donc $h$ s'annule bien pour $x = 4$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $f(x) = -2x + 6$, alors $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La racine de $f$ est $x = 3$. Comme $a = -2 < 0$, $f$ est décroissante : $f(x) > 0$ pour $x < 3$ et $f(x) < 0$ pour $x > 3$. Par exemple $f(4) = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'ordonnée à l'origine positive ($b = 6$) ne garantit pas que $f$ reste positive pour tout $x > 0$. La racine est $x = 3$, et comme $a < 0$, $f$ devient négative pour $x > 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction s'annule en $x = 3$ et devient négative après : $f(4) = -2 < 0$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $a < 0$, la fonction $f(x) = ax + b$ est négative pour $x > -\dfrac{b}{a}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Quand $a < 0$, $f$ est décroissante. Elle s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$, donc elle est positive avant $x_0$ et négative après.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : quand $a < 0$, la fonction est décroissante. Elle passe de valeurs positives à des valeurs négatives en traversant sa racine $x_0 = -\dfrac{b}{a}$. Pour $x > x_0$, on a $f(x) < 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Quand $a < 0$, $f$ est décroissante et $f(x) < 0$ pour $x > -\dfrac{b}{a}$.
[/solution]
[/etape]
