Résoudre des équations avec les fonctions carré et cube

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

$x^2 = 49$
$x^2 = -3$
$x^2 = \dfrac{9}{16}$
$x^3 = -27$
$x^3 = \dfrac{8}{125}$

Corrigé

On a $49 > 0$, donc l'équation admet deux solutions :
$x = \sqrt{49}$ ou $x = -\sqrt{49}$, c'est-à-dire $x = 7$ ou $x = -7$.
On a $-3 < 0$. Or le carré d'un réel est toujours positif ou nul.
L'équation n'admet aucune solution.
On a $\dfrac{9}{16} > 0$, donc l'équation admet deux solutions :
$x = \sqrt{\dfrac{9}{16}}$ ou $x = -\sqrt{\dfrac{9}{16}}$, c'est-à-dire $x = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \dfrac{3}{4}$ ou $x = -\dfrac{3}{4}$.
Les solutions sont $x = \dfrac{3}{4}$ ou $x = -\dfrac{3}{4}$.
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc l'équation $x^3 = -27$ admet une unique solution.
On cherche le réel dont le cube vaut $-27$ : $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$.
La solution est $\mathbf{x = -3}$.
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc l'équation admet une unique solution.
On cherche le réel dont le cube vaut $\dfrac{8}{125}$ : $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}$.
La solution est $\mathbf{x = \dfrac{2}{5}}$.

→ Pour réviser : Résoudre une équation du type x² = a

Résoudre une inéquation avec la fonction carré

[enonce]
Un jardinier dispose d'un terrain carré de côté $6$ m. Il souhaite y inscrire un massif circulaire dont l'aire ne dépasse pas $20$ m$^2$.
On note $r$ le rayon du cercle, en mètres, avec $r > 0$.
On cherche à déterminer les valeurs possibles de $r$.
[/enonce]

[etape]
L'aire du massif circulaire vaut $\pi r^2$. La contrainte sur l'aire se traduit par l'inéquation :
[qcm]
[option]$\pi r^2 \geqslant 20$[/option]
[option correct="true"]$\pi r^2 \leqslant 20$[/option]
[option]$r^2 \leqslant 20$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'aire $\pi r^2$ ne doit pas dépasser $20$ m$^2$, ce qui se traduit par $\pi r^2 \leqslant 20$.[/reponse]
[reponse motif="$\pi r^2 \geqslant 20$"]Le massif ne doit pas dépasser $20$ m$^2$ : c'est une borne supérieure, pas inférieure.[/reponse]
[reponse motif="$r^2 \leqslant 20$"]Le sens de l'inégalité est correct, mais l'aire d'un disque n'est pas $r^2$. Il manque un facteur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'aire d'un disque de rayon $r$ est $\pi r^2$. Cette aire doit rester inférieure ou égale à $20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En divisant les deux membres par $\pi$, l'inéquation $\pi r^2 \leqslant 20$ devient $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$.
Donner une valeur approchée de $\dfrac{20}{\pi}$ arrondie au dixième.
$\dfrac{20}{\pi} \approx $ [[val]]
[math id="val" attendu="6.4"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\dfrac{20}{\pi} \approx 6{,}366...$ soit environ $6{,}4$ au dixième près.[/reponse]
[reponse motif="6.37"]Attention à l'arrondi : on demande au dixième, pas au centième.[/reponse]
[reponse motif="6.3"]L'arrondi au dixième de $6{,}366...$ est $6{,}4$ (le chiffre des centièmes est $6 \geqslant 5$, donc on arrondit au-dessus).[/reponse]
[reponse motif="3.2"]Ce serait la valeur de $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$, pas de $\dfrac{20}{\pi}$. On ne prend pas encore la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Diviser $20$ par $\pi \approx 3{,}14$ et arrondir au dixième.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{20}{\pi} = \dfrac{20}{3{,}14159...}$. Effectuer la division.[/aide]
[aide essai="3"]$20 \div 3{,}14159 \approx 6{,}366...$. Arrondir au dixième.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{20}{\pi} = \dfrac{20}{3{,}14159...} \approx 6{,}366... \approx 6{,}4$ au dixième.[/solution]
[/etape]

[etape]
On doit donc résoudre $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$ avec $\dfrac{20}{\pi} > 0$.
Comment résoudre cette inéquation ?
[qcm]
[option]Les solutions sont $r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$[/option]
[option correct="true"]Les solutions sont $-\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \leqslant r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$[/option]
[option]Les solutions sont $r \geqslant -\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $a > 0$, l'inéquation $r^2 \leqslant a$ a pour solutions $-\sqrt{a} \leqslant r \leqslant \sqrt{a}$, car la parabole est en dessous de la droite $y = a$ entre ces deux valeurs.[/reponse]
[reponse motif="Les solutions sont $r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$"]C'est incomplet. Il manque la borne inférieure. La parabole est aussi en dessous de $y = a$ pour les valeurs négatives proches de $0$.[/reponse]
[reponse motif="Les solutions sont $r \geqslant -\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$"]C'est incomplet. Il manque la borne supérieure. Pour les grandes valeurs de $r$, $r^2$ dépasse $\dfrac{20}{\pi}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le tableau de variations de la fonction carré et la représentation graphique pour déterminer où $r^2 \leqslant a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$ arrondie au centième.
$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx $ [[rac]]
[math id="rac" attendu="2.52"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} = \sqrt{6{,}366...} \approx 2{,}523...\approx 2{,}52$ au centième près.[/reponse]
[reponse motif="6.4"]Attention, il faut prendre la racine carrée de $\dfrac{20}{\pi}$, pas la valeur elle-même.[/reponse]
[reponse motif="2.5"]Préciser au centième : deux chiffres après la virgule sont nécessaires.[/reponse]
[reponse motif="2.53"]Vérifier l'arrondi : $\sqrt{6{,}366...} \approx 2{,}5231...$. Le chiffre des millièmes est $3 < 5$, donc on arrondit en dessous.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer d'abord $\dfrac{20}{\pi}$, puis en prendre la racine carrée. Arrondir au centième.[/reponse]
[aide essai="2"]On a trouvé $\dfrac{20}{\pi} \approx 6{,}366$. Il faut calculer $\sqrt{6{,}366}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\sqrt{6{,}366} \approx 2{,}523...$. Arrondir au centième.[/aide]
[/math]
[solution]$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} = \sqrt{6{,}3662...} \approx 2{,}5232... \approx 2{,}52$ au centième.[/solution]
[/etape]

[etape]
Les solutions de $r^2 \leqslant \dfrac{20}{\pi}$ sont $r \in \left[-\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}~;~\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}\right]$.
Mais $r$ est un rayon, donc $r > 0$. De plus, le massif doit tenir dans le terrain carré de côté $6$ m, donc $r \leqslant 3$.
En tenant compte de ces contraintes, donner la borne supérieure de l'intervalle des valeurs possibles de $r$, arrondie au centième.
$r \in \left]0~;~\right.$ [[bsup]] $\left.\right]$
[math id="bsup" attendu="2.52"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52 < 3$, donc c'est la contrainte d'aire qui est la plus restrictive.
Les valeurs possibles du rayon sont $r \in \left]0~;~2{,}52\right]$ (arrondi au centième par défaut).[/reponse]
[reponse motif="3"]La contrainte géométrique donne $r \leqslant 3$, mais la contrainte d'aire est plus restrictive. Comparer $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$ et $3$.[/reponse]
[reponse motif="6.4"]C'est la valeur de $\dfrac{20}{\pi}$, pas celle de $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}}$. Il faut prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52$ et $3$. La borne supérieure de $r$ est la plus petite des deux.[/reponse]
[aide essai="2"]Les deux contraintes sont : $r \leqslant \sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52$ (aire) et $r \leqslant 3$ (terrain). Laquelle est la plus restrictive ?[/aide]
[aide essai="3"]$2{,}52 < 3$, donc la contrainte d'aire l'emporte. La borne supérieure est $\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52$.[/aide]
[/math]
[solution]$\sqrt{\dfrac{20}{\pi}} \approx 2{,}52 < 3$, donc la contrainte d'aire est la plus forte.
Le rayon doit vérifier $0 < r \leqslant 2{,}52$ m (arrondi au centième par défaut).[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Fonctions carré et cube

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : fonction carré, fonction cube et position relative des courbes. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]La fonction carré admet un maximum en $x = 0$[/option]
[option]La fonction cube admet un minimum en $x = 0$[/option]
[option correct="true"]La fonction carré admet un minimum en $x = 0$[/option]
[option]La fonction carré n'admet pas d'extremum[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction carré est décroissante puis croissante, avec un changement en $x = 0$. Elle admet donc un minimum en $x = 0$, et ce minimum vaut $0^2 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="La fonction carré admet un maximum en $x = 0$"]Non.
La fonction carré est décroissante puis croissante : elle forme un « creux » en $x = 0$, pas un « sommet ». C'est un minimum, pas un maximum.[/reponse]
[reponse motif="La fonction cube admet un minimum en $x = 0$"]Non.
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Elle n'admet pas d'extremum : elle n'a ni minimum ni maximum.[/reponse]
[reponse motif="La fonction carré n'admet pas d'extremum"]Non.
La fonction carré change de sens de variation en $x = 0$. Ce changement (décroissante puis croissante) correspond à un extremum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Observer les variations de chaque fonction et identifier si elles changent de sens de variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = 7$ a pour solutions :
[qcm]
[option]$x = \sqrt{7}$ uniquement[/option]
[option]$x = 3{,}5$[/option]
[option]$x = 49$[/option]
[option correct="true"]$x = \sqrt{7}$ ou $x = -\sqrt{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $7 > 0$, l'équation $x^2 = 7$ admet deux solutions :
$x = \sqrt{7}$ et $x = -\sqrt{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \sqrt{7}$ uniquement"]Non.
Il manque une solution. Vérifier : $(-\sqrt{7})^2 = 7$ aussi. Quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a toujours deux solutions.[/reponse]
[reponse motif="$x = 3{,}5$"]Non.
On cherche $x$ tel que $x \times x = 7$, pas $x$ tel que $2x = 7$. La racine carrée est l'opération inverse du carré, pas la division par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 49$"]Non.
On a calculé $7^2 = 49$ au lieu de résoudre $x^2 = 7$. La racine carrée est l'opération inverse : chercher $x$ tel que $x^2 = 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $-2 \leqslant x \leqslant 3$. Quel est le minimum de $x^2$ sur cet intervalle ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'intervalle $[-2\,;\,3]$ contient $0$. Comme $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$ et que $0^2 = 0$, le minimum de $x^2$ est $0$, atteint en $x = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$(-2)^2 = 4$ est le carré de la borne inférieure, mais ce n'est pas le minimum. L'intervalle contient $0$, et $0^2 = 0 < 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. $(-2)^2 = 4$, pas $-4$. Le minimum de $x^2$ ne peut pas être négatif.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$3^2 = 9$ est le maximum de $x^2$ sur cet intervalle, pas le minimum. Chercher la plus petite valeur que $x^2$ peut prendre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est atteint en $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $x = 3$, quelle est la position relative des courbes $y = x$, $y = x^2$ et $y = x^3$ ?
[qcm]
[option]$x^3 < x^2 < x$[/option]
[option]$x^2 < x < x^3$[/option]
[option correct="true"]$x < x^2 < x^3$[/option]
[option]$x = x^2 = x^3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour $x = 3 > 1$ : $x = 3$, $x^2 = 9$ et $x^3 = 27$.
On a bien $3 < 9 < 27$, soit $x < x^2 < x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x^3 < x^2 < x$"]Non.
Cet ordre est valable pour $0 < x < 1$, pas pour $x > 1$. Calculer : $3^2 = 9$ et $3^3 = 27$. Comparer avec $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2 < x < x^3$"]Non.
Calculer : $x = 3$, $x^2 = 9$ et $x^3 = 27$. Ranger les trois valeurs dans l'ordre croissant.[/reponse]
[reponse motif="$x = x^2 = x^3$"]Non.
L'égalité $x = x^2 = x^3$ n'est vraie que pour $x = 0$ et $x = 1$, pas pour $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $x > 1$, la règle est : $x < x^2 < x^3$. Vérifier en calculant $3$, $3^2$ et $3^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction $f : x \mapsto x^2$ vérifie $f(-x) = f(x)$. La fonction $g : x \mapsto x^3$ vérifie $g(-x) = -g(x)$. Quelles sont les symétries de leurs courbes ?
[qcm]
[option]$f$ : symétrie par rapport à l'origine ; $g$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option correct="true"]$f$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; $g$ : symétrie par rapport à l'origine[/option]
[option]Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option]Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'origine[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$f(-x) = f(x)$ signifie que $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$g(-x) = -g(x)$ signifie que $g$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$f$ : symétrie par rapport à l'origine ; $g$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
C'est l'inverse. $f(-x) = f(x)$ caractérise une fonction paire (symétrie / axe des ordonnées). $g(-x) = -g(x)$ caractérise une fonction impaire (symétrie / origine).[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
Seule la fonction paire ($f(-x) = f(x)$) a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction $g$ vérifie $g(-x) = -g(x)$ : c'est une autre symétrie.[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'origine"]Non.
Seule la fonction impaire ($g(-x) = -g(x)$) a une symétrie par rapport à l'origine. La fonction $f$ vérifie $f(-x) = f(x)$ : c'est une autre symétrie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir : $f(-x) = f(x)$ (paire) correspond à la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. $g(-x) = -g(x)$ (impaire) correspond à la symétrie par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $x = -2$, comparer les valeurs de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^3$.
[qcm]
[option]$f(-2) < g(-2)$[/option]
[option]$f(-2) = g(-2)$[/option]
[option]Les deux courbes se coupent en $x = -2$[/option]
[option correct="true"]$f(-2) > g(-2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ et $g(-2) = (-2)^3 = -8$.
Comme $4 > -8$, on a $f(-2) > g(-2)$. La parabole est au-dessus de la courbe cubique en $x = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(-2) < g(-2)$"]Non.
Calculer : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ (positif) et $g(-2) = (-2)^3 = -8$ (négatif). Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$f(-2) = g(-2)$"]Non.
Calculer : $(-2)^2 = 4$ et $(-2)^3 = -8$. Ces deux valeurs sont différentes.[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes se coupent en $x = -2$"]Non.
Les courbes se coupent quand $x^2 = x^3$, c'est-à-dire en $x = 0$ et $x = 1$ uniquement. En $x = -2$, les deux valeurs sont distinctes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $(-2)^2$ et $(-2)^3$, puis comparer les résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : La fonction carré

[enonce]
Ce QCM porte sur la fonction carré. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'image de $-4$ par la fonction carré ?
[qcm]
[option]$-16$[/option]
[option]$-8$[/option]
[option correct="true"]$16$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction carré associe à $x$ le nombre $x^2$. On calcule :
$(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Attention, $(-4)^2$ n'est pas la même chose que $-4^2$. L'écriture $(-4)^2$ signifie $(-4) \times (-4)$, et le produit de deux nombres négatifs est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
La fonction carré élève au carré, elle ne multiplie pas par $2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
La fonction carré élève au carré, elle ne multiplie pas par $2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction carré associe à $x$ le nombre $x^2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles sont les variations de la fonction carré ?
[qcm]
[option]Croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[option]Décroissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Elle admet un minimum en $x = 0$.[/reponse]
[reponse motif="Croissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier. Observer que $(-3)^2 = 9 > 4 = (-2)^2$ alors que $-3 < -2$ : l'ordre n'est pas conservé pour les négatifs.[/reponse]
[reponse motif="Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$"]Non.
C'est l'inverse. La fonction carré descend quand $x$ va de $-\infty$ vers $0$, puis remonte quand $x$ va de $0$ vers $+\infty$. Penser à la forme de la parabole.[/reponse]
[reponse motif="Décroissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier. Observer que $2^2 = 4 < 9 = 3^2$ alors que $2 < 3$ : l'ordre est conservé pour les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la forme de la parabole : elle descend puis remonte, avec un minimum en $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = 25$ a pour solutions :
[qcm]
[option]$x = 5$[/option]
[option correct="true"]$x = 5$ ou $x = -5$[/option]
[option]$x = 12{,}5$[/option]
[option]$x = 625$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $25 > 0$, l'équation $x^2 = 25$ admet deux solutions :
$x = \sqrt{25} = 5$ et $x = -\sqrt{25} = -5$[/reponse]
[reponse motif="$x = 5$"]Non.
Il manque une solution. Quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. Vérifier que $(-5)^2 = 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 12{,}5$"]Non.
L'équation demande quel nombre élevé au carré donne $25$, pas quel nombre multiplié par $2$ donne $25$. Chercher $x$ tel que $x \times x = 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 625$"]Non.
On cherche $x$ tel que $x^2 = 25$, pas $25^2$. La racine carrée est l'opération inverse du carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = -4$ admet :
[qcm]
[option correct="true"]aucune solution[/option]
[option]deux solutions $x = 2$ et $x = -2$[/option]
[option]une seule solution $x = -2$[/option]
[option]une infinité de solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un carré est toujours positif ou nul : pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$.
L'équation $x^2 = -4$ n'a donc aucune solution car $-4 < 0$.[/reponse]
[reponse motif="deux solutions $x = 2$ et $x = -2$"]Non.
Vérifier : $2^2 = 4$ et $(-2)^2 = 4$, ce sont les solutions de $x^2 = 4$, pas de $x^2 = -4$. Attention au signe du membre de droite.[/reponse]
[reponse motif="une seule solution $x = -2$"]Non.
Vérifier : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$, pas $-4$. Un carré est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="une infinité de solutions"]Non.
L'équation $x^2 = -4$ n'a pas de solution du tout. Un carré ne peut jamais être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. Vérifier le signe du membre de droite avant de résoudre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport :
[qcm]
[option]à l'origine du repère[/option]
[option]à l'axe des abscisses[/option]
[option correct="true"]à l'axe des ordonnées[/option]
[option]à la droite $y = x$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction carré est paire : $(-x)^2 = x^2$ pour tout réel $x$. Sa courbe, la parabole, est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="à l'origine du repère"]Non.
La symétrie par rapport à l'origine caractérise les fonctions impaires (comme la fonction cube). La fonction carré est paire, ce qui correspond à un autre axe de symétrie.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des abscisses"]Non.
Une courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses ne représente pas une fonction (deux images pour un même $x$). Observer la parabole : elle est symétrique par rapport à un axe vertical.[/reponse]
[reponse motif="à la droite $y = x$"]Non.
La droite $y = x$ est l'axe de symétrie entre une fonction et sa réciproque. Observer la parabole : elle est symétrique par rapport à un axe vertical passant par son sommet.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction carré vérifie $(-x)^2 = x^2$ : c'est une fonction paire. Identifier l'axe de symétrie correspondant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $0 < a < b$. Que peut-on dire de $a^2$ et $b^2$ ?
[qcm]
[option]$a^2 > b^2$[/option]
[option]$a^2 = b^2$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[option correct="true"]$a^2 < b^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme $a$ et $b$ sont positifs avec $a < b$, et que la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, l'ordre est conservé : $a^2 < b^2$.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 > b^2$"]Non.
Attention, la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, pas décroissante. L'ordre est donc conservé pour les nombres positifs.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 = b^2$"]Non.
Si $a < b$ et les deux sont positifs, leurs carrés sont distincts. La fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
On sait que $a$ et $b$ sont positifs : la fonction carré est croissante sur cet intervalle, ce qui permet bien de comparer les carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les variations de la fonction carré sur $[0\,;\,+\infty[$ : elle y est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Fonction carré — propriétés et variations

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la fonction carré, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $(-5)^2 = -25$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $(-5)^2$ et $-5^2$. Avec les parenthèses, c'est le nombre $-5$ tout entier qui est élevé au carré : $(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$.
Sans parenthèses, $-5^2 = -(5^2) = -25$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$, et non $-25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction carré est paire : pour tout réel $x$, $(-x)^2 = x^2$. Sa courbe, la parabole, est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fonction carré vérifie $f(-x) = f(x)$ pour tout réel $x$ : c'est une fonction paire. Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, pas par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction carré est paire, donc sa courbe (la parabole) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction carré est croissante sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Elle n'est donc pas croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il suffit d'un contre-exemple : $-3 < -1$ mais $(-3)^2 = 9 > 1 = (-1)^2$. La fonction carré décroît sur $]-\infty\,;\,0]$ avant de croître sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, elle n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = 9$ admet exactement deux solutions : $3$ et $-3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$9 > 0$ donc l'équation $x^2 = 9$ admet deux solutions : $\sqrt{9} = 3$ et $-\sqrt{9} = -3$.
On vérifie : $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ admet toujours deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
Ici $\sqrt{9} = 3$ et $-\sqrt{9} = -3$ : les deux fonctionnent bien.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'équation $x^2 = 9$ admet deux solutions : $3$ et $-3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = -4$ admet deux solutions.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$. L'équation $x^2 = -4$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'appliquer mécaniquement la règle « deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ » sans vérifier que $a \geqslant 0$.
Or $-4 < 0$ et un carré ne peut jamais être négatif : aucune solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$, donc $x^2 = -4$ n'a aucune solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $0 < a < b$ alors $a^2 < b^2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur $[0\,;\,+\infty[$, la fonction carré est strictement croissante. Donc si $0 < a < b$, en appliquant la fonction carré on conserve l'ordre : $a^2 < b^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : l'ordre n'est inversé que pour les nombres négatifs. Ici $a$ et $b$ sont strictement positifs, et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : l'ordre est conservé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $0 < a < b$ implique $a^2 < b^2$.
[/solution]
[/etape]