Vrai/Faux : Équations trigonométriques en Terminale
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les équations trigonométriques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Sur $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions de $\cos x = 0$ est $S = \left\{ \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi ~\middle|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\cos x = 0$ admet aussi $-\dfrac{\pi}{2}$ comme solution. L'ensemble correct est $S = \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi ~\middle|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$ (avec un pas de $\pi$, pas de $2\pi$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier que $\dfrac{\pi}{2}$ et $-\dfrac{\pi}{2}$ sont toutes les deux solutions, et qu'elles sont espacées de $\pi$ et non de $2\pi$.
L'ensemble des solutions s'écrit donc $S = \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi ~\middle|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les solutions sont $\dfrac{\pi}{2}$ et $-\dfrac{\pi}{2}$ (modulo $2\pi$), ce qui se rassemble en $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère l'équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$.
Affirmation : L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ est $S = \left\{ -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi ~;~ \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi ~\middle|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$, donc l'équation devient $\sin x = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$.
La deuxième famille est $\pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$ modulo $2\pi$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour $\sin x = \sin a$, les solutions sont $a + 2k\pi$ et $\pi - a + 2k\pi$.
Avec $a = -\dfrac{\pi}{6}$ on obtient $-\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ et $\pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $a = -\dfrac{\pi}{6}$, $\sin x = \sin a$ donne $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Sur $\mathbb{R}$, l'équation $\cos(2x) = \dfrac{1}{2}$ admet pour solutions $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$\cos(2x) = \dfrac{1}{2}$ donne $2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, donc $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi$ (et non $+ 2k\pi$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au changement d'argument : il faut diviser la période par $2$ aussi.
$\cos(2x) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$. En divisant par $2$ : $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le pas est $k\pi$ et non $2k\pi$ : $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$, l'équation $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ admet exactement deux solutions.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
Sur $[0~;~2\pi]$, les solutions sont $\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$ (les deux sont dans l'intervalle, les autres familles donnent des valeurs hors $[0~;~2\pi]$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une lecture du cercle trigonométrique aide : pour $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ avec $x \in [0~;~2\pi]$, deux points conviennent, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.
La troisième solution naturelle, $\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{4}$, sort de l'intervalle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les solutions dans $[0~;~2\pi]$ sont $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout réel $a$, l'équation $\cos x = a$ admet une infinité de solutions sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $a > 1$ ou $a < -1$, l'équation n'a aucune solution puisque $\cos x \in [-1~;~1]$ pour tout réel $x$.
L'affirmation n'est vraie que pour $a \in [-1~;~1]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il manque une condition sur $a$ : si $a$ est en dehors de $[-1~;~1]$, l'équation n'a aucune solution car $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$.
L'infinité de solutions n'apparaît que pour $a \in [-1~;~1]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $|a| > 1$, l'équation $\cos x = a$ n'a aucune solution. L'affirmation devrait être restreinte à $a \in [-1~;~1]$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de $\sin(3x) = \sin\dfrac{\pi}{4}$ est $\left\{ \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3} ~;~ \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2k\pi}{3} ~\middle|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\sin(3x) = \sin\dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $3x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$.
En divisant par $3$ : $x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2k\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut bien diviser toutes les sous-expressions par $3$, y compris le terme $2k\pi$ qui devient $\dfrac{2k\pi}{3}$.
On obtient bien $x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3}$ ou $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2k\pi}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Après division par $3$ des deux familles $3x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ et $3x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$, on obtient l'ensemble annoncé.
[/solution]
[/etape]
