QCM Bilan : Second degré

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : inéquations, somme et produit des racines, paramètre et cas subtils. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 - 5x + 6 > 0$ ?
[qcm]
[option]$]2~;~3[$[/option]
[option]$[2~;~3]$[/option]
[option correct="true"]$]{-}\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$[/option]
[option]$]{-}\infty~;~2] \cup [3~;~+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\Delta = 25 - 24 = 1$, donc les racines sont $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$.
Avec $a = 1 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
L'inégalité est stricte, donc les bornes $2$ et $3$ sont exclues : $S = ]-\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$]2~;~3[$"]Non.
Entre les racines, le trinôme est du signe opposé à $a$. Avec $a > 0$, il est donc négatif entre $2$ et $3$ — ce n'est pas là qu'il est strictement positif.[/reponse]
[reponse motif="$[2~;~3]$"]Non.
Deux erreurs ici : on cherche la zone où le trinôme est positif (pas négatif), et les bornes ne doivent pas être incluses car l'inégalité est stricte.[/reponse]
[reponse motif="$]{-}\infty~;~2] \cup [3~;~+\infty[$"]Non.
La zone extérieure aux racines est bien correcte, mais l'inégalité est stricte : aux bornes, $f(2) = 0$ et $f(3) = 0$, donc $f > 0$ n'y est pas vérifié. Utiliser des crochets ouverts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver les racines, déterminer le signe du trinôme selon le signe de $a$, puis adapter les bornes à l'inégalité stricte ou large.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $1$ est une racine du trinôme $2x^2 - 5x + c$, où $c$ est un nombre réel. Que vaut $c$ ?
[qcm]
[option]$c = -3$[/option]
[option]$c = 5$[/option]
[option correct="true"]$c = 3$[/option]
[option]$c = 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dire que $1$ est une racine signifie que le trinôme s'annule en $1$ :
$2 \times 1^2 - 5 \times 1 + c = 0$, soit $2 - 5 + c = 0$, donc $c = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$c = -3$"]Non.
En remplaçant par $x = 1$, on obtient $2 - 5 + c = 0$, soit $-3 + c = 0$. On en déduit $c = +3$ (et non $-3$) : $c$ doit compenser $-3$, donc être positif.[/reponse]
[reponse motif="$c = 5$"]Non.
Il n'y a pas de raison de prendre $c$ égal au coefficient de $x$. Remplacer $x$ par $1$ dans le trinôme et écrire que le résultat vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$c = 7$"]Non.
Erreur de signe lors du remplacement : $2 \times 1^2 = 2$ (et non $-2$), et $-5 \times 1 = -5$. L'équation à résoudre est $2 - 5 + c = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition d'une racine : remplacer $x$ par la valeur donnée et écrire que le trinôme vaut $0$, puis résoudre en $c$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelles valeurs du réel $m$ le trinôme $x^2 + 2mx + 1$ n'admet-il aucune racine réelle ?
[qcm]
[option correct="true"]$m \in ]{-}1~;~1[$[/option]
[option]$m \in ]{-}\infty~;~-1[ \cup ]1~;~+\infty[$[/option]
[option]$m > 1$[/option]
[option]$m \neq 1$ et $m \neq -1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec $a = 1$, $b = 2m$ et $c = 1$, le discriminant vaut $\Delta = (2m)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4m^2 - 4$.
Aucune racine réelle signifie $\Delta < 0$, soit $4m^2 - 4 < 0$, donc $m^2 < 1$, ce qui équivaut à $-1 < m < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$m \in ]{-}\infty~;~-1[ \cup ]1~;~+\infty[$"]Non.
Signe inversé : on cherche $\Delta < 0$ (pas de racine), ce qui donne $m^2 < 1$. L'ensemble proposé correspond à $m^2 > 1$, soit le cas où le trinôme admet deux racines réelles.[/reponse]
[reponse motif="$m > 1$"]Non.
Il manque toute la partie négative de l'intervalle. L'inégalité $m^2 < 1$ est symétrique par rapport à $0$ et donne $-1 < m < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$m \neq 1$ et $m \neq -1$"]Non.
Exclure seulement les valeurs où $\Delta = 0$ (racine double) laisse passer les valeurs où $\Delta > 0$ (deux racines). Il faut chercher l'ensemble strict $\Delta < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta$ en fonction de $m$, puis résoudre l'inéquation $\Delta < 0$ pour trouver l'ensemble des $m$ qui conviennent.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $x_1$ et $x_2$ les deux racines du trinôme $x^2 - 3x + 1$. Que vaut la somme $x_1 + x_2$ ?
[qcm]
[option]$-3$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ de discriminant strictement positif, la somme des racines vaut $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
Ici $a = 1$ et $b = -3$, donc $x_1 + x_2 = -\dfrac{-3}{1} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Le signe « moins » devant la fraction a été oublié : la formule est $-\dfrac{b}{a}$, donc $-\dfrac{-3}{1}$. Les deux signes se compensent.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Confusion avec la formule du produit : $-\dfrac{c}{a}$ n'est pas une formule standard. Le produit vaut $\dfrac{c}{a}$ et la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
C'est la valeur du produit des racines ($\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{1} = 1$), pas de leur somme. Utiliser la formule appropriée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule « somme des racines $= -\dfrac{b}{a}$ » en faisant attention au signe de $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On constate que $1$ est une racine évidente du trinôme $x^2 - 6x + 5$. Quelle est son autre racine ?
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le produit des racines vaut $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{1} = 5$.
Si $x_1 = 1$, alors $x_2 = \dfrac{5}{1} = 5$.
On peut aussi utiliser la somme : $x_1 + x_2 = -\dfrac{-6}{1} = 6$, donc $x_2 = 6 - 1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Attention : si $-1$ était racine, on aurait $(-1)^2 - 6 \times (-1) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12 \neq 0$. Utiliser plutôt le produit ou la somme des racines pour déterminer la seconde racine.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = 5$ (positif). Comme l'une des racines est $1$ (positif), l'autre doit aussi être positive.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ correspond à la somme des racines $-\dfrac{b}{a}$, pas à la seconde racine. Si $x_1 + x_2 = 6$ et $x_1 = 1$, alors $x_2 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les relations entre coefficients et racines : la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $\dfrac{c}{a}$. Connaissant une racine, on en déduit l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $3x^2 \geqslant 2x + 1$ ?
[qcm]
[option]$\left[-\dfrac{1}{3}~;~1\right]$[/option]
[option]$[1~;~+\infty[$[/option]
[option]$\left]{-}\infty~;~-1\right] \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$[/option]
[option correct="true"]$\left]{-}\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right] \cup [1~;~+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On réécrit l'inéquation sous la forme $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$.
$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$, donc $\sqrt{\Delta} = 4$.
Racines : $x_1 = \dfrac{2 - 4}{6} = -\dfrac{1}{3}$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{6} = 1$.
Comme $a = 3 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Avec l'inégalité large, les bornes sont incluses : $S = \left]-\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right] \cup [1~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$\left[-\dfrac{1}{3}~;~1\right]$"]Non.
C'est l'intervalle où le trinôme est négatif (entre les racines). On cherche ici où il est positif ou nul, c'est-à-dire à l'extérieur des racines.[/reponse]
[reponse motif="$[1~;~+\infty[$"]Non.
Il manque toute la partie à gauche de $-\dfrac{1}{3}$ : le trinôme est aussi positif pour $x$ petit. Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'extérieur des racines, c'est-à-dire à gauche et à droite.[/reponse]
[reponse motif="$\left]{-}\infty~;~-1\right] \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$"]Non.
Les racines ont été échangées ou mal calculées. Après avoir mis l'inéquation sous la forme $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$, calculer $\Delta$, puis les racines avec $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ramener tout d'un même côté pour obtenir $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$, calculer les racines, puis utiliser le fait que le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Équations du second degré

[enonce]
Ce QCM porte sur la résolution des équations du second degré et le discriminant. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 1$ ?
[qcm]
[option]$\Delta = -3$[/option]
[option]$\Delta = 17$[/option]
[option correct="true"]$\Delta = 1$[/option]
[option]$\Delta = 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Avec $a = 2$, $b = -3$ et $c = 1$, on obtient :
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = -3$"]Non.
Confusion entre les coefficients : $b = -3$ est le coefficient de $x$, alors que le discriminant se calcule avec $b^2$. Le premier terme est donc $(-3)^2 = 9$, pas $-3$.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 17$"]Non.
La formule du discriminant est $b^2 - 4ac$, avec un signe moins devant $4ac$. Reprendre le calcul avec la bonne formule.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 5$"]Non.
Le calcul de $4ac$ n'inclut pas le facteur $a = 2$ : $4ac = 4 \times 2 \times 1 = 8$, et non $4 \times 1 = 4$. Ne pas oublier de multiplier par $a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $\Delta = b^2 - 4ac$ en identifiant précisément les trois coefficients $a$, $b$ et $c$, puis en respectant le signe « moins ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien de solutions réelles admet l'équation $x^2 + x + 1 = 0$ ?
[qcm]
[option]Deux solutions distinctes[/option]
[option]Une solution double[/option]
[option correct="true"]Aucune solution[/option]
[option]Une infinité de solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le discriminant vaut $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$.
Comme $\Delta < 0$, l'équation n'admet aucune solution réelle.[/reponse]
[reponse motif="Deux solutions distinctes"]Non.
Deux solutions distinctes n'apparaissent que si $\Delta > 0$. Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ pour vérifier son signe avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="Une solution double"]Non.
Une solution double correspond au cas $\Delta = 0$. Vérifier la valeur du discriminant ici.[/reponse]
[reponse motif="Une infinité de solutions"]Non.
Une équation du second degré a au plus deux solutions réelles. Calculer le discriminant pour déterminer leur nombre exact.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$. Le signe de $\Delta$ donne le nombre de solutions : $\Delta > 0$ (deux), $\Delta = 0$ (une double), $\Delta < 0$ (aucune).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ ?
[qcm]
[option]$\{-2~;~-3\}$[/option]
[option]$\{1~;~6\}$[/option]
[option correct="true"]$\{2~;~3\}$[/option]
[option]$\{2~;~-3\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$, donc $\Delta > 0$.
Les deux solutions sont $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$.
L'ensemble des solutions est donc $\{2~;~3\}$.[/reponse]
[reponse motif="$\{-2~;~-3\}$"]Non.
Les valeurs absolues sont correctes, mais les signes sont faux. Dans la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, comme $b = -5$, on a $-b = +5$, donc les solutions sont positives.[/reponse]
[reponse motif="$\{1~;~6\}$"]Non.
On ne lit pas les solutions directement sur les coefficients. Il faut calculer le discriminant puis appliquer la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.[/reponse]
[reponse motif="$\{2~;~-3\}$"]Non.
Dans la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, les deux racines se calculent avec $-b$ (pas $+b$) : ici $-b = 5$, donc les deux racines s'obtiennent à partir de $\dfrac{5 \pm 1}{2}$, toutes deux positives.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta$, puis appliquer la formule $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Attention aux signes de $b$ et de $\sqrt{\Delta}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 + 2x - 15 = 0$ ?
[qcm]
[option]$\{-3~;~-5\}$[/option]
[option correct="true"]$\{3~;~-5\}$[/option]
[option]$\{3~;~5\}$[/option]
[option]$\{-3~;~5\}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 4 + 60 = 64$, donc $\sqrt{\Delta} = 8$.
$x_1 = \dfrac{-2 - 8}{2} = -5$ et $x_2 = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3$.
Les solutions sont $3$ et $-5$.[/reponse]
[reponse motif="$\{-3~;~-5\}$"]Non.
Seule une des deux racines est négative. Dans la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, le $\pm$ fournit une solution plus grande que $-\dfrac{b}{2a}$ et une plus petite : elles ne peuvent pas être toutes deux du même côté.[/reponse]
[reponse motif="$\{3~;~5\}$"]Non.
Une des deux racines doit être négative ici. Pour le vérifier rapidement : le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = -15$, donc les deux racines sont de signes opposés.[/reponse]
[reponse motif="$\{-3~;~5\}$"]Non.
Attention au calcul de $-4ac$ : avec $c = -15$, on a $-4 \times 1 \times (-15) = +60$, donc $\Delta = 4 + 60 = 64$ (et non $-56$). Reprendre le calcul du discriminant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta$ en faisant attention au signe de $c = -15$, puis appliquer la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $2x^2 - 8x = 0$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\{0~;~4\}$[/option]
[option]$\{4\}$[/option]
[option]$\{0~;~-4\}$[/option]
[option]$\{2~;~4\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On factorise : $2x^2 - 8x = 2x(x - 4) = 0$.
Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est, donc $2x = 0$ (soit $x = 0$) ou $x - 4 = 0$ (soit $x = 4$).
Les solutions sont $0$ et $4$.[/reponse]
[reponse motif="$\{4\}$"]Non.
En divisant les deux membres par $x$ (pour obtenir $2x - 8 = 0$), on risque de perdre la solution $x = 0$. Il vaut mieux factoriser par $x$ pour garder les deux solutions.[/reponse]
[reponse motif="$\{0~;~-4\}$"]Non.
En factorisant $2x^2 - 8x = 2x(x - 4)$, la parenthèse donne $x - 4 = 0$, soit $x = +4$ (et non $-4$).[/reponse]
[reponse motif="$\{2~;~4\}$"]Non.
Erreur de factorisation : $2x^2 - 8x = 2x(x - 4)$, et non $2(x - 2)(x - 4)$ (qui donnerait un terme constant non nul).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Factoriser par le facteur commun $2x$ pour obtenir $2x(x - 4) = 0$, puis appliquer la règle du produit nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur du réel $m$ l'équation $x^2 + 4x + m = 0$ admet-elle une solution double ?
[qcm]
[option]$m = -4$[/option]
[option]$m = 16$[/option]
[option]$m = 2$[/option]
[option correct="true"]$m = 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'équation admet une solution double si et seulement si $\Delta = 0$.
Ici, $\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times m = 16 - 4m$.
On résout $16 - 4m = 0$, soit $4m = 16$, donc $m = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$m = -4$"]Non.
Erreur de signe lors de la résolution. De $16 - 4m = 0$, on tire $4m = 16$, donc $m$ est positif.[/reponse]
[reponse motif="$m = 16$"]Non.
Après avoir posé $\Delta = 0$, il faut encore diviser par le coefficient de $m$ : $16 - 4m = 0$ équivaut à $m = \dfrac{16}{4}$, pas à $m = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$m = 2$"]Non.
Attention à la formule du discriminant : c'est $b^2 - 4ac$, donc $b^2 = 4^2 = 16$, pas $4$. Reprendre l'équation $\Delta = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une solution double correspond à $\Delta = 0$. Exprimer $\Delta$ en fonction de $m$, puis résoudre l'équation obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Second degré – cas limites et paramètres

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, qui combine plusieurs propriétés du trinôme du second degré, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si un trinôme $ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) admet $0$ comme racine, alors nécessairement $c = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $0$ est racine, alors $a \times 0^2 + b \times 0 + c = 0$, ce qui donne $c = 0$.
Réciproquement, un trinôme sans terme constant admet toujours $0$ comme racine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $x_0$ est racine signifie $f(x_0) = 0$.
En remplaçant $x$ par $0$ dans $ax^2 + bx + c$, tous les termes dépendant de $x$ s'annulent, il ne reste que $c$. Donc $c = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f(0) = c$, donc si $0$ est racine alors $c = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une fonction polynôme $f$ du second degré dont la courbe représentative passe par les points $A(1~;~0)$ et $B(5~;~0)$.

Affirmation : L'axe de symétrie de la parabole a pour équation $x = 3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les points $A$ et $B$ correspondent aux racines de $f$ (ordonnée $0$). L'axe de symétrie d'une parabole passe par le milieu de ses racines.
$x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ : l'axe est bien $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'essayer de calculer $-\dfrac{b}{2a}$ sans utiliser une propriété plus directe : l'axe de symétrie d'une parabole passe par le milieu de ses racines.
Milieu de $1$ et $5$ : $\dfrac{1 + 5}{2} = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $A$ et $B$ étant les points où la courbe coupe l'axe des abscisses, l'axe de symétrie passe par leur milieu : $x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $m$ non nul, l'équation $mx^2 + 2x + 1 = 0$ admet au moins une solution réelle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le discriminant vaut $\Delta = 4 - 4m$. Si $m > 1$, alors $\Delta < 0$, donc l'équation n'a aucune solution réelle.
Par exemple, pour $m = 2$ : $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : l'existence de solutions dépend du signe du discriminant, pas seulement de la non-nullité de $a$.
Ici $\Delta = 4 - 4m$, qui devient strictement négatif dès que $m > 1$. Dans ce cas, aucune solution réelle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\Delta = 4 - 4m$ : pour $m > 1$, $\Delta < 0$ et l'équation n'a aucune solution réelle (contre-exemple : $m = 2$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $f(x) = x^2 + bx + c$. Si $b^2 < 4c$, alors $f(x) > 0$ pour tout réel $x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La condition $b^2 < 4c$ équivaut à $\Delta = b^2 - 4c < 0$ : le trinôme n'a aucune racine réelle.
Il garde donc un signe constant, celui de $a = 1 > 0$. Conclusion : $f(x) > 0$ pour tout $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $b^2 < 4c$ signifie exactement $\Delta < 0$. Sans racine, le trinôme garde le signe de son coefficient dominant.
Ici $a = 1 > 0$, donc $f$ est strictement positif partout.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $b^2 < 4c$ équivaut à $\Delta < 0$. Comme $a = 1 > 0$, $f$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux fonctions polynômes du second degré qui ont le même discriminant ont nécessairement les mêmes racines.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Le discriminant ne suffit pas à déterminer les racines : celles-ci s'expriment par $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ et dépendent aussi de $a$ et $b$.
Contre-exemple : $x^2 - 4$ et $x^2 + 4x$ ont tous deux pour discriminant $\Delta = 16$, mais les racines sont $\pm 2$ d'un côté et $0~;~-4$ de l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « même discriminant » et « mêmes racines » : les racines dépendent aussi des coefficients $a$ et $b$, pas seulement de $\Delta$.
Contre-exemple : $x^2 - 4$ (racines $\pm 2$) et $x^2 + 4x$ (racines $0$ et $-4$) ont le même $\Delta = 16$ mais pas les mêmes racines.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les racines dépendent de $a$, $b$ et $\Delta$. Contre-exemple : $x^2 - 4$ et $x^2 + 4x$ ont le même $\Delta = 16$ mais des racines différentes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un trinôme dont la somme des racines vaut $4$ et le produit vaut $4$ admet $2$ comme racine double.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un trinôme unitaire avec somme $S = 4$ et produit $P = 4$ s'écrit $x^2 - Sx + P = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Son unique racine (double) est donc bien $2$. On vérifie : $\Delta = 16 - 16 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $x_1$ et $x_2$ sont les racines (éventuellement confondues) d'un trinôme unitaire, alors le trinôme se factorise en $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - Sx + P$ avec $S = x_1 + x_2$ et $P = x_1 x_2$.
Avec $S = 4$ et $P = 4$ : $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$, racine double $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le trinôme $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ admet bien $2$ comme racine double ($\Delta = 0$).
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Équations du second degré

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les équations du second degré, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les solutions de l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont $2$ et $3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le discriminant vaut $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$.
Les solutions sont $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe de $b$ dans la formule : ici $b = -5$, et $-b = 5$ apparaît au numérateur.
On obtient $\Delta = 1$ et $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$, soit $2$ et $3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\Delta = 25 - 24 = 1$, donc les solutions sont $\dfrac{5 \pm 1}{2}$, c'est-à-dire $2$ et $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 + 4 = 0$ admet $-2$ et $2$ comme solutions.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'équation équivaut à $x^2 = -4$. Un carré ne peut pas être négatif : aucun réel ne convient.
Le discriminant confirme : $\Delta = 0^2 - 4 \times 1 \times 4 = -16 < 0$, donc aucune solution réelle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $x^2 + 4 = 0$ et $x^2 - 4 = 0$ : le signe du terme constant change tout.
Ici $x^2 = -4$ n'a pas de solution réelle puisqu'un carré est toujours positif ou nul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 = -4$ n'a aucune solution réelle car un carré est positif ou nul. Le discriminant vaut $\Delta = -16 < 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $(x - 3)(x + 5) = 0$ a pour solutions $3$ et $-5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
$x - 3 = 0$ donne $x = 3$, et $x + 5 = 0$ donne $x = -5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'oublier de changer de signe en résolvant $x + 5 = 0$ : on obtient bien $x = -5$ et non $x = 5$.
De même, $x - 3 = 0$ donne $x = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La règle du produit nul donne $x - 3 = 0$ ou $x + 5 = 0$, d'où les solutions $3$ et $-5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le discriminant d'un trinôme est nul, alors l'équation associée n'admet aucune solution.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand $\Delta = 0$, l'équation admet une unique solution, appelée racine double : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
C'est lorsque $\Delta < 0$ que l'équation n'admet aucune solution réelle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « $\Delta = 0$ » (une racine double) et « $\Delta < 0$ » (aucune racine réelle).
Quand $\Delta = 0$, l'équation admet bien une solution unique, $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Quand $\Delta = 0$, l'équation admet une solution double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. C'est $\Delta < 0$ qui conduit à l'absence de solution réelle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = 9$ admet une seule solution, $x = 3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'équation $x^2 = 9$ se réécrit $x^2 - 9 = 0$, soit $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Elle admet donc deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'appliquer la racine carrée en oubliant la solution négative : $(-3)^2 = 9$ aussi.
L'équation $x^2 = 9$ possède donc deux solutions, $3$ et $-3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 = 9$ équivaut à $(x - 3)(x + 3) = 0$, d'où deux solutions : $3$ et $-3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $2x^2 - 3x - 2 = 0$ admet $2$ comme solution.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On vérifie par substitution : $2 \times 2^2 - 3 \times 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$.
$2$ est donc bien une solution de l'équation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour vérifier qu'un nombre est solution, il suffit de le remplacer dans l'équation et de vérifier que le résultat vaut $0$.
Ici : $2 \times 4 - 3 \times 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$, donc $2$ est bien solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En remplaçant $x$ par $2$ : $2 \times 4 - 6 - 2 = 0$. $2$ est donc solution de l'équation.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Polynômes du second degré

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x + 2$.

Affirmation : Le discriminant de $f$ est strictement négatif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0$.
$\Delta$ est bien strictement négatif : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe : la formule du discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$ (avec un moins devant le produit $4ac$), pas $b^2 + 4ac$.
On obtient bien $\Delta = 4 - 8 = -4$, qui est strictement négatif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0$, donc la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Affirmation : Le sommet de la parabole représentant $f$ a pour coordonnées $(2~;~1)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
L'abscisse du sommet est $x_S = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2} = 2$, correct.
Mais l'ordonnée vaut $f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$, et non $1$.
Le vrai sommet est donc $(2~;~-1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de calculer $f(2)$ en oubliant un signe : $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$, pas $1$.
L'ordonnée annoncée ne correspond donc pas à celle du sommet.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'abscisse du sommet est bien $x_S = 2$, mais $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ : le sommet est en réalité $(2~;~-1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$.

Affirmation : L'axe de symétrie de la parabole représentant $f$ est la droite d'équation $x = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'axe de symétrie d'une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ est la droite $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Ici : $x = -\dfrac{-4}{2 \times 2} = \dfrac{4}{4} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre $-\dfrac{b}{a}$ et $-\dfrac{b}{2a}$ : c'est bien $2a$ au dénominateur, pas $a$.
L'axe de symétrie est donc $x = -\dfrac{-4}{4} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'axe de symétrie est $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{4} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Parabole tournée vers le bas coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3

Affirmation : Le discriminant de $f$ est strictement positif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ($x = -1$ et $x = 3$), donc l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions : $\Delta > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le signe du discriminant se lit sur le nombre de points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, et non sur l'orientation de la parabole.
Deux intersections $\Longleftrightarrow$ $\Delta > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ($x = -1$ et $x = 3$), ce qui implique $\Delta > 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x + 5$.

Affirmation : La forme canonique de $f$ est $f(x) = (x+1)^2 + 5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
En développant $(x+1)^2 + 5$, on obtient $x^2 + 2x + 1 + 5 = x^2 + 2x + 6$, ce qui est différent de $f(x) = x^2 + 2x + 5$.
La bonne forme canonique est $(x+1)^2 + 4$ (car il faut retrancher $1^2 = 1$ pour compenser le développement).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : quand on écrit $x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$, il faut bien retrancher $1^2 = 1$. La forme proposée oublie cette compensation.
Le développement donne donc un polynôme différent de $f$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En développant : $(x+1)^2 + 5 = x^2 + 2x + 6 \neq f(x)$. La bonne forme canonique est $(x+1)^2 + 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -3x^2 + 4x - 1$.

Affirmation : $f$ possède un minimum sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient $a = -3 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas.
$f$ possède un maximum (et non un minimum) sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de conclure sans vérifier le signe du coefficient $a$.
Quand $a < 0$ la parabole est ouverte vers le bas : on a alors un maximum, pas un minimum.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient $a = -3 < 0$ signifie que la parabole est ouverte vers le bas : $f$ admet un maximum, et non un minimum.
[/solution]
[/etape]

Recherche du coût minimum

Le coût total, en euros, pour la fabrication d'un produit est donné par :

$ C\left(x\right)=0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 $ avec $ x \in \left[0;100\right] $

où $ x $ est la quantité produite.

On se limite a une production de moins de 100 produits.

Le prix de vente unitaire est de 1{,}15 euros

Montrer que la fonction coût est croissante sur $ \left[0;100\right] $.

Pour quelle quantité le coût de production dépasse les 86 euros ?
Exprimer en fonction de la quantité $ x $,
1. la fonction recette $ R\left(x\right) $
2. la fonction bénéfice $ B\left(x\right) $
Étudier le sens de la variation de la fonction $ B $. En déduire la ou les quantités à produire pour réaliser un bénéfice maximal.
Étudier le signe de $ B\left(x\right) $. Pour quelles quantités produites est-on bénéficiaire ?
Le but de cette question est de montrer que le coût moyen minimum est atteint pour une production de 30 objets.
1. Calculer $ C\left(30\right) $, en déduire le coût moyen de production pour cette quantité.
2. Étudier le signe de $ C\left(x\right) - x $. En déduire que $ C\left(x\right) \geqslant x $ et résoudre l'équation : $ C\left(x\right)=x $
3. Quel est le coût moyen de production minimum ?

Corrigé

Le coefficient de $ x^{2} $ dans le polynôme $ C $ est $ a=0{,}01 > 0 $. $ C $ admet donc un minimum pour

$ x_{0}= - \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{0{,}4}{2\times 0{,}01}= - 20 $.

La fonction $ x \mapsto 0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 $ est donc strictement croissante sur $ \left[ - 20 ; +\infty \right[ $ et par conséquent elle est strictement croissante sur $ \left[0 ; 100\right] $. Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque :

$ 0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 > 86 $

$ 0{,}01x^{2}+0{,}4x - 77 > 0 $

$ \Delta = b^{2} - 4ac = 0{,}4^{2} - 4\times 0{,}01\times \left( - 77\right) = 3{,}24 $

$ \sqrt{\Delta }=1{,}8 $

$ x_{1} = \dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}4+1{,}8}{2\times 0{,}01} = 70 $

$ x_{2} = \dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}4 - 1{,}8}{2\times 0{,}01} = - 110 $

Donc $ 0{,}01x^{2}+0{,}4x - 77 > 0 $ si et seulement si $ x > 70 $ (ou $ x < - 110 $ mais ici cette condition n'a pas de sens car $ x $ est une quantité positive) Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque la quantité produite est supérieure à 70.
1. La recette est de 1{,}15 euros par produit vendu. Donc :
  
  $ R\left(x\right)=1{,}15x $
2. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication :
  
  $ B\left(x\right)=1{,}15x - \left(0{,}01x^{2}+0{,}4x+9\right)= - 0{,}01x^{2}+0{,}75x - 9 $
La fonction $ B $ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $ x^{2} $ est strictement négatif. $ B $ admet donc un maximum pour $ x=\dfrac{ - b}{2a}=37{,}5 $ . $ B $ est croissante pour $ x < 37{,}5 $ et décroissante pour $ x > 37{,}5 $ Le bénéfice est maximum pour une quantité produite égale à 37 ou 38 unités.
Recherchons les racines de $ B $ :

Le discriminant vaut :

$ \Delta =b^{2} - 4ac = 0{,}75^{2} - 4 \times \left( - 0{,}01\right) \times \left( - 9\right) = 0{,}2025 $

$ \sqrt{\Delta } = \sqrt{0{,}2025} = 0{,}45 $

Les racines sont :

$ x_{1} = \dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}75+0{,}45}{2\times \left( - 0{,}01\right)} = 15 $

$ x_{2} = \dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}75 - 0{,}45}{2\times \left( - 0{,}01\right)} = 60 $

Le coefficient de $ x^{2} $ étant strictement négatif, $ B $ est positif (du signe opposé de a) entre les racines, c'est à dire qu'on est bénéficiaire lorsque la quantité produite est comprise entre 15 et 60 unités.
1. Le coût moyen est défini par :
  
  $ C_{m}=\dfrac{C\left(x\right)}{x} $ pour $\mathbf{x > 0}$.
  
  Calculons d'abord le coût total pour une production de 30 objets :
  
  $ C\left(30\right)=0{,}01\times 30^{2}+0{,}4\times 30+9= 30 $
  
  donc :
  
  $ C_{m}\left(30\right)=\dfrac{30}{30}=1 $
2. $ C\left(x\right) - x=0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 - x=0{,}01x^{2} - 0{,}6x+9 $
  
  On utilise l'identité remarquable $ a^{2} - 2ab+b^{2}=\left(a - b\right)^{2} $ :
  
  $ C\left(x\right) - x=\left(0{,}1x - 3\right)^{2} $
  
  $ C\left(x\right) - x $ est un carré il est donc positif ou nul pour tout réel $ x $.
  
  $ C\left(x\right) - x\geqslant 0 $ entraine $ C\left(x\right)\geqslant x $ pour tout $ x $.
  
  $ C\left(x\right) - x=0 \Leftrightarrow \left(0{,}1x - 3\right)^{2}=0 \Leftrightarrow 0{,}1x - 3=0 \Leftrightarrow x=30 $
3. En divisant chaque membre de l'inégalité $ C\left(x\right)\geqslant x $ par $ x $ (qui est strictement positif) on obtient :
  
  $ \dfrac{C\left(x\right)}{x}\geqslant 1 $
  
  Le coût moyen de production est donc supérieur ou égal à 1 euro, quelque soit $ x $. D'après la question a., ce coût est égal à 1 euro pour $ x=30 $. On obtient donc un coût minimum de 1 euro pour une production de 30 unités.

Équation du second degré avec paramètre

On considère l'équation (E) d'inconnue $ x $ :

$ x^{2} - mx+\dfrac{1}{4}=0 $

où $ m $ est réel ( $ m $ est appelé paramètre )

Discuter du nombre de solution(s) de (E) selon les valeurs de $ m $.

Corrigé

Le discriminant du polynôme $ x^{2} - mx+\dfrac{1}{4}=0 $ est

$ \Delta =\left( - m\right)^{2} - 4\times 1\times \dfrac{1}{4} $

$ \Delta =m^{2} - 1 $

$ \Delta =\left(m - 1\right)\left(m+1\right) $

$ \Delta $ est un polynôme du second degré en $ m $. Ses racines sont $ - 1 $ et $ 1 $.

$ \Delta $ est strictement positif ( « du signe de $ a $ » ) sur $ \left] - \infty ; - 1\right[ $ et sur $ \left]1;+\infty \right[ $

$ \Delta $ est strictement négatif ( « du signe opposé de $ a $ » ) sur $ \left] - 1;1\right[ $

Donc :

si $ m < - 1 $ ou $ m > 1 $ : l'équation (E) possède deux solutions :

$ x_{1}=\dfrac{m+\sqrt{m^{2} - 1}}{2} $ et $ x_{2}=\dfrac{m - \sqrt{m^{2} - 1}}{2} $
si $ - 1 < m < 1 $ : l'équation (E) ne possède aucune solution
si $ m= - 1 $ ou $ m=1 $ : l'équation (E) admet une unique solution :

$ x_{0}=\dfrac{m}{2} $

Résolution d’inéquations du second degré à l’aide d’un graphique

Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right) = - x^{2} + 3x + 2 $

Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=4 $
Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=2 $
A l'aide d'un graphique, trouver l'ensemble des valeurs de $ x $ telles que $ 2\leqslant f\left(x\right)\leqslant 4 $

Corrigé

$ - x^{2} + 3x + 2 = 4 $ équivaut à $ - x^{2} + 3x - 2 = 0 $.

Le discriminant vaut $ \Delta =3^{2} - 4\times \left( - 1\right)\times \left( - 2\right)=9 - 8=1 $, donc l'équation admet deux solutions :

$ x_{1}=\dfrac{ - 3+1}{ - 2}=1 $ et $ x_{2}=\dfrac{ - 3 - 1}{ - 2}=2 $.

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S=\left\{1~;~2\right\}}$.
$ - x^{2} + 3x + 2 = 2 $ équivaut à $ - x^{2} + 3x = 0 $ soit $ x\left( - x+3\right)=0 $.

C'est une équation « produit nul » qui a pour ensemble de solutions $\mathbf{S=\left\{0~;~3\right\}}$.
À l'aide du graphique ci-dessous et des questions précédentes, on trouve $\mathbf{S=\left[0~;~1\right] \cup \left[2~;~3\right]}$.

Les intervalles sont fermés car l'inégalité est « large » ( $ \leqslant $ ).

Une équation du troisième degré

Soit la fonction polynôme $ f $ définie par :

$ f\left(x\right)=x^{3} - 4x+3 $

Calculer $ f\left(1\right) $.
Déterminer les réels $ a $ et $ b $ tels que, pour tout réel $ x $ : $ f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right) $
En déduire les racines de $ f $.

Corrigé

$ f\left(1\right)=1^{3} - 4\times 1+3=1 - 4+3=0 $
$ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2}+bx - x^{2} - ax - b $

On regroupe suivant les puissances de $ x $ :

$ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2} - x^{2}+bx - ax - b=x^{3}+\left(a - 1\right)x^{2}+\left(b - a\right)x - b $

Ce polynôme est identique au polynôme $ f $ si et seulement si il a les mêmes coefficients, c'est à dire :

$ \left\{ \begin{matrix} a - 1=0 \\ b - a= - 4 \\ - b=3 \end{matrix}\right. $

ce qui donne $ b= - 3 $ et $ a=1 $

On a donc $ f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right) $
Trouver les racines de $ f $, c'est résoudre l'équation $ f\left(x\right)=0 $.

$ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 $ est une équation « produit nul » :

$ \left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 \Leftrightarrow x - 1=0 $ ou $ x^{2}+x - 3=0 $

La première équation a pour solution $ x=1 $ (ce qui confirme la réponse de la question 1.). Pour la seconde, on calcule le discriminant :

$ \Delta =1^{2} - 4\times 1\times \left( - 3\right)=1+12=13 $

Comme $ \Delta > 0 $, l'équation $ x^{2}+x - 3=0 $ admet deux solutions réelles distinctes :

$ x_{1} = \dfrac{ - 1+\sqrt{13}}{2} $ et $ x_{2} = \dfrac{ - 1 - \sqrt{13}}{2} $

$ f $ admet donc trois racines : $ 1 $, $ \dfrac{ - 1+\sqrt{13}}{2} $ et $ \dfrac{ - 1 - \sqrt{13}}{2} $.

Équations du second degré

Résoudre les équations :

$ x^{2} - x - 6=0 $
$ x^{2}+x+1=0 $
$ - x^{2}+6x - 9=0 $
$ 2x^{2}+x - 4=0 $

Corrigé

$ x^{2} - x - 6 = 0 $

Il s'agit d'une équation du second degré du type $ ax^{2} + bx + c = 0 $ avec $ a = 1 $, $ b = -1 $ et $ c = -6 $.

Calculons le discriminant :

$ \Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 $

Le discriminant est positif ($ \Delta > 0 $), l'équation admet donc deux solutions réelles distinctes :

$ x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 - \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2 $

$ x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 + \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 $

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S = \{-2~;~3\}}$.
$ x^{2} + x + 1 = 0 $

Ici, $ a = 1 $, $ b = 1 $ et $ c = 1 $.

Calculons le discriminant :

$ \Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 $

Le discriminant est négatif ($ \Delta < 0 $), l'équation n'admet donc aucune solution réelle.

L'ensemble des solutions est vide : $\mathbf{S = \emptyset}$.
$ -x^{2} + 6x - 9 = 0 $

Ici, $ a = -1 $, $ b = 6 $ et $ c = -9 $.

Calculons le discriminant :

$ \Delta = b^{2} - 4ac = 6^{2} - 4 \times (-1) \times (-9) = 36 - 36 = 0 $

Le discriminant est nul ($ \Delta = 0 $), l'équation admet donc une unique solution réelle double :

$ x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-6}{2 \times (-1)} = \dfrac{-6}{-2} = 3 $

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S = \{3\}}$.
$ 2x^{2} + x - 4 = 0 $

Ici, $ a = 2 $, $ b = 1 $ et $ c = -4 $.

Calculons le discriminant :

$ \Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \times 2 \times (-4) = 1 + 32 = 33 $

Le discriminant est positif ($ \Delta > 0 $), l'équation admet donc deux solutions réelles distinctes :

$ x_{1} = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4} $

$ x_{2} = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4} $

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S = \left\{ \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4}~;~\dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4} \right\}}$.