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Résoudre des équations avec des fractions

Résoudre les équations suivantes.

  1. $ \dfrac{x}{4} = 9 $
  2. $ \dfrac{x - 3}{5} = 2 $
  3. $ \dfrac{2x + 1}{3} = x - 4 $
  4. $ \dfrac{x + 5}{2} = \dfrac{x - 1}{3} $

Corrigé

Pour faire disparaitre les fractions, on multiplie chaque membre par le dénominateur (ou par le produit des dénominateurs lorsqu'il y en a deux différents).

  1. On résout $ \dfrac{x}{4} = 9 $.
    On multiplie les deux membres par $ 4 $ :
    $ x = 9 \times 4 $
    $ x = 36 $
    La solution est $\mathbf{36}$.
  2. On résout $ \dfrac{x - 3}{5} = 2 $.
    On multiplie les deux membres par $ 5 $ :
    $ x - 3 = 2 \times 5 $
    $ x - 3 = 10 $
    On ajoute $ 3 $ aux deux membres :
    $ x = 13 $
    La solution est $\mathbf{13}$.

  3. On résout $ \dfrac{2x + 1}{3} = x - 4 $.
    On multiplie les deux membres par $ 3 $ :
    $ 2x + 1 = 3(x - 4) $
    On développe le membre de droite :
    $ 2x + 1 = 3x - 12 $
    On soustrait $ 2x $ aux deux membres :
    $ 1 = x - 12 $
    On ajoute $ 12 $ aux deux membres :
    $ x = 13 $
    La solution est $\mathbf{13}$.

    Vérification : $ \dfrac{2 \times 13 + 1}{3} = \dfrac{27}{3} = 9 $ et $ 13 - 4 = 9 $. C'est correct.

  4. On résout $ \dfrac{x + 5}{2} = \dfrac{x - 1}{3} $.
    On multiplie les deux membres par $ 6 $ (pour éliminer les deux dénominateurs) :
    $ \dfrac{6(x + 5)}{2} = \dfrac{6(x - 1)}{3} $
    $ 3(x + 5) = 2(x - 1) $
    On développe chaque membre :
    $ 3x + 15 = 2x - 2 $
    On soustrait $ 2x $ aux deux membres :
    $ x + 15 = -2 $
    On soustrait $ 15 $ aux deux membres :
    $ x = -17 $
    La solution est $\mathbf{-17}$.

Pour réviser : Résoudre une équation contenant des fractions

Vrai/Faux : Pièges des équations

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, repérer les pièges classiques (signes, distributivité, fractions) et indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : On a $3(x + 2) = 3x + 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La distribution doit porter sur les deux termes de la parenthèse : $3(x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique de la distributivité : il ne faut pas oublier de multiplier le second terme. $3(x + 2) = 3x + 6$ et non $3x + 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne distribution donne $3(x + 2) = 3x + 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On a $-(x - 5) = -x + 5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le signe $-$ devant la parenthèse change le signe de chacun des deux termes : $-(x - 5) = -x + 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le signe $-$ se distribue à chaque terme intérieur : $x$ devient $-x$ et $-5$ devient $+5$. On obtient bien $-x + 5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le signe $-$ change le signe de chaque terme : $-(x - 5) = -x + 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x + 7 = 3$ a pour solution $x = 4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On soustrait $7$ : $x = 3 - 7 = -4$. La solution est négative, pas $4$. Piège : $7$ qui passe à droite devient $-7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège fréquent : quand un nombre passe de l'autre côté du signe $=$, son signe change. $x = 3 - 7 = -4$, et non $4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x = 3 - 7 = -4$, et non $4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\dfrac{x}{2} = 5$, alors $x = \dfrac{5}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour isoler $x$, on multiplie les deux membres par $2$, ce qui donne $x = 10$. On a divisé au lieu de multiplier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion : $\dfrac{x}{2}$ signifie « $x$ divisé par $2$ ». Pour annuler cette division, on multiplie par $2$, on ne divise pas $5$ par $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x = 5 \times 2 = 10$, et non $\dfrac{5}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $-5x = 20$ a pour solution $x = -4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On divise par $-5$ : $x = \dfrac{20}{-5} = -4$. Vérification : $-5 \times (-4) = 20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Diviser un nombre positif ($20$) par un nombre négatif ($-5$) donne un nombre négatif. La solution est bien $x = -4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $x = \dfrac{20}{-5} = -4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On a $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{5x}{6}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec un dénominateur commun, $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} = \dfrac{5x}{6}$. L'égalité est correcte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En réduisant au même dénominateur $6$ : $\dfrac{x}{2} = \dfrac{3x}{6}$ et $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2x}{6}$, donc la somme vaut $\dfrac{5x}{6}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} = \dfrac{5x}{6}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Étapes de résolution

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur des étapes de résolution, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : À partir de $3x + 4 = 19$, on peut écrire $3x = 15$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On soustrait $4$ aux deux membres : $3x + 4 - 4 = 19 - 4$, soit $3x = 15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour isoler $3x$, on retire $4$ aux deux membres : on obtient $3x = 19 - 4 = 15$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En soustrayant $4$, on obtient $3x = 15$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : À partir de $2x = 14$, on peut conclure que $x = 12$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour isoler $x$, on divise les deux membres par $2$ : $x = \dfrac{14}{2} = 7$, et non $12$. Le piège : on ne soustrait pas $2$, on divise par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le coefficient de $x$ est $2$ : on isole $x$ en divisant par $2$, ce qui donne $x = 7$, et non $12$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On divise par $2$ : $x = \dfrac{14}{2} = 7$, et non $12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : À partir de $5x - 3 = 2x + 9$, on obtient $3x = 6$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En regroupant : $5x - 2x = 9 + 3$, soit $3x = 12$ et non $3x = 6$. Le piège : $-3$ qui passe à droite devient $+3$, donc on calcule $9 + 3 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand un terme passe d'un membre à l'autre, son signe change. Ici, on doit calculer $9 + 3 = 12$ et non $9 - 3 = 6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le bon regroupement donne $3x = 12$, et non $3x = 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : À partir de $-4x = 12$, on en déduit $x = 3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On divise par $-4$ : $x = \dfrac{12}{-4} = -3$. Diviser par un nombre négatif change le signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le coefficient de $x$ est négatif. Diviser par $-4$ donne $x = -3$, pas $3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x = \dfrac{12}{-4} = -3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : À partir de $\dfrac{x}{4} = 3$, on en déduit $x = 12$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie les deux membres par $4$ : $x = 3 \times 4 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour faire disparaître la division par $4$, on multiplie les deux membres par $4$ : $x = 12$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $x = 3 \times 4 = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les équations $5x + 2 = 17$ et $5x = 15$ ont les mêmes solutions.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On passe de la première à la seconde en soustrayant $2$ aux deux membres. Cette opération conserve la solution : les deux équations ont $x = 3$ comme solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Soustraire le même nombre aux deux membres conserve les solutions. Les deux équations sont équivalentes : leur solution commune est $x = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux équations sont équivalentes : leur solution est $x = 3$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Équations avec des fractions

[enonce]
Ce QCM porte sur la résolution d'équations comportant des fractions. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Résoudre $\dfrac{x}{2} = 3$.
[qcm]
[option]$x = \dfrac{3}{2}$[/option]
[option correct="true"]$x = 6$[/option]
[option]$x = 1{,}5$[/option]
[option]$x = \dfrac{2}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On multiplie les deux membres par $2$ :
$x = 3 \times 2 = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{3}{2}$"]Non.
On divise $3$ par $2$ alors qu'il faut multiplier : la division est déjà du côté de $x$, on l'annule en multipliant.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ vaut $\dfrac{3}{2}$ : c'est le même type d'erreur, on a divisé au lieu de multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{2}{3}$"]Non.
On confond multiplier et inverser. Pour passer de $\dfrac{x}{2}$ à $x$, on multiplie par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On multiplie par $2$ : $x = 3 \times 2 = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $\dfrac{x}{5} + 1 = 4$.
[qcm]
[option]$x = 3$[/option]
[option]$x = 25$[/option]
[option correct="true"]$x = 15$[/option]
[option]$x = -15$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On soustrait $1$ aux deux membres puis on multiplie par $5$ :
$\dfrac{x}{5} = 4 - 1 = 3$
$x = 3 \times 5 = 15$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 3$"]Non.
On a bien $\dfrac{x}{5} = 3$, mais il reste à multiplier par $5$ pour obtenir $x$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 25$"]Non.
On a $\dfrac{x}{5} = 3$ (et non $5$). Multiplier par $5$ donne $x = 15$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -15$"]Non.
Le signe est incorrect : $4 - 1 = 3$ est positif, donc $x$ aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{x}{5} = 3$, donc $x = 3 \times 5 = 15$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $\dfrac{2x}{3} = 4$.
[qcm]
[option correct="true"]$x = 6$[/option]
[option]$x = 12$[/option]
[option]$x = \dfrac{8}{3}$[/option]
[option]$x = 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie les deux membres par $3$ puis on divise par $2$ :
$2x = 4 \times 3 = 12$
$x = \dfrac{12}{2} = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 12$"]Non.
On a $2x = 12$, mais il reste à diviser par $2$ pour obtenir $x$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{8}{3}$"]Non.
On a multiplié $4$ par $2$ au lieu de $3$. Pour faire disparaître le dénominateur $3$, on multiplie par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2$"]Non.
On obtient $2x = 12$, et $\dfrac{12}{2} = 6$, et non $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$2x = 12$, donc $x = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $\dfrac{x - 1}{12} = \dfrac{1}{4}$.
[qcm]
[option]$x = 3$[/option]
[option correct="true"]$x = 4$[/option]
[option]$x = 13$[/option]
[option]$x = \dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On multiplie les deux membres par $12$ :
$x - 1 = \dfrac{12}{4} = 3$
$x = 3 + 1 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 3$"]Non.
On a obtenu $x - 1 = 3$, mais il reste à ajouter $1$ pour isoler $x$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 13$"]Non.
On multiplie $\dfrac{1}{4}$ par $12$ : on obtient $3$, et non $12$. Reprendre cette étape.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{1}{3}$"]Non.
On a confondu : $\dfrac{12}{4} = 3$ et non $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$. Multiplier par $12$ donne le numérateur $\times 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$x - 1 = 3$, donc $x = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $\dfrac{x + 2}{3} = 5$.
[qcm]
[option]$x = 17$[/option]
[option]$x = 1$[/option]
[option]$x = \dfrac{7}{3}$[/option]
[option correct="true"]$x = 13$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie les deux membres par $3$ :
$x + 2 = 5 \times 3 = 15$
$x = 15 - 2 = 13$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 17$"]Non.
On ajoute $2$ au lieu de soustraire : $x = 15 - 2 = 13$, et non $15 + 2$. Quand un nombre passe de l'autre côté, son signe change.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$"]Non.
On divise au lieu de multiplier. Pour faire disparaître le dénominateur $3$, on multiplie les deux membres par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{7}{3}$"]Non.
On a négligé d'effectuer $5 \times 3$. La bonne première étape est : $x + 2 = 15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$x + 2 = 15$, donc $x = 13$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$.
[qcm]
[option]$x = 1$[/option]
[option]$x = \dfrac{5}{6}$[/option]
[option]$x = 30$[/option]
[option correct="true"]$x = 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On multiplie les deux membres par $6$ (un dénominateur commun de $2$ et $3$) :
$\dfrac{6x}{2} + \dfrac{6x}{3} = 5 \times 6$
$3x + 2x = 30$
$5x = 30$
$x = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$"]Non.
On ne peut pas simplement additionner les dénominateurs : $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \neq \dfrac{x}{5}$. Il faut un dénominateur commun.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{5}{6}$"]Non.
On confond avec la somme des fractions $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$. Ici, l'inconnue $x$ doit être isolée d'un seul côté.[/reponse]
[reponse motif="$x = 30$"]Non.
Après multiplication par $6$, on obtient $5x = 30$ et non $x = 30$. Il reste à diviser par $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
En multipliant par $6$, l'équation devient $5x = 30$, donc $x = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]