[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'équation $\cos x = 1$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'équation $\cos x = 1$ possède une infinité de solutions sur $\mathbb{R}$.
Ces solutions sont les réels de la forme $x = 2k\pi$ où $k \in \mathbb{Z}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre l'unicité de la solution sur $[0~;~2\pi[$ (où $x = 0$ est la seule solution) avec l'absence d'unicité sur $\mathbb{R}$.
L'équation $\cos x = 1$ possède une infinité de solutions : $x = 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est **fausse**. $\cos x = 1$ admet une infinité de solutions sur $\mathbb{R}$ : toutes les valeurs de la forme $x = 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'équation :

Affirmation : Sur $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est :

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'ensemble des solutions de $(E)$ est :

La deuxième famille de solutions est $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$, et non $-\dfrac{\pi}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre la formule du sinus avec celle du cosinus : pour $\cos x = a$, la deuxième famille est $-\alpha + 2k\pi$ ; pour $\sin x = a$, c'est $\pi - \alpha + 2k\pi$.
L'ensemble des solutions est $S = \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi ~;~ \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi ~\middle|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$.
La deuxième famille vaut $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$, pas $-\dfrac{\pi}{6}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est **fausse**. Pour $\sin x = \dfrac{1}{2}$, la deuxième famille de solutions est $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ (et non $-\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$, qui correspondrait à une équation en cosinus).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit un réel $\alpha$ tel que $\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$ et $\alpha \in [0~;~\pi]$.

Affirmation : Alors $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En effet, $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
Sur $\mathbb{R}$, les solutions de $\cos \alpha = \cos \dfrac{\pi}{3}$ sont :

Parmi ces solutions, seule $\dfrac{\pi}{3}$ appartient à $[0~;~\pi]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $-\dfrac{\pi}{3}$ est aussi une solution dans $[0~;~\pi]$, en oubliant que $-\dfrac{\pi}{3} < 0$.
$\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, et c'est la seule solution dans $[0~;~\pi]$ (l'autre solution $-\dfrac{\pi}{3}$ n'appartient pas à cet intervalle).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est **vraie**. $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, et dans $[0~;~\pi]$ la fonction cosinus est bijective, donc $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ est l'unique solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~\pi]$, $\dfrac{3\pi}{4}$ est l'unique solution de $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Sur $\mathbb{R}$ il y en aurait une infinité, mais sur $[0~;~\pi]$ le cosinus est bijectif : une seule solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre le nombre de solutions sur $\mathbb{R}$ (une infinité) avec le nombre de solutions sur $[0~;~\pi]$ (une seule, car le cosinus y est strictement monotone).
Sur $[0~;~\pi]$, le cosinus est bijectif, donc il y a exactement une solution : $x = \dfrac{3\pi}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est **vraie**. Sur $[0~;~\pi]$, le cosinus est strictement décroissant et bijectif : l'unique solution est $x = \dfrac{3\pi}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $x \in [0~;~\pi]$ tel que $\cos x = -\dfrac{1}{2}$.

Affirmation : Alors $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Sur $[0~;~\pi]$, l'unique solution de $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ est $x = \dfrac{2\pi}{3}$.
Or $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (le sinus est positif sur $[0~;~\pi]$).
Donc $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et non $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier que le sinus est toujours positif sur $]0~;~\pi[$, et donc de lui attribuer un signe négatif par analogie avec le cosinus.
Sur $[0~;~\pi]$, $x = \dfrac{2\pi}{3}$, et $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (positif car le sinus est positif sur $]0~;~\pi[$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est **fausse**. Sur $[0~;~\pi]$, le sinus est positif. Pour $x = \dfrac{2\pi}{3}$, on a $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} > 0$, et non $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'équation $\sin 2x = 1$.

Affirmation : Sur $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions est :

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier de diviser par $2$ la période : $\sin 2x = 1$ donne $2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, soit $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ (et non $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$).
$\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$, donc $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
L'ensemble des solutions est bien $\left\{ \dfrac{\pi}{4} + k\pi ~\middle|~ k \in \mathbb{Z} \right\}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est **vraie**. $\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
[/solution]
[/etape]

Résoudre dans l'intervalle $ \left] - \pi ;\pi \right] $ l'équation $ \cos\left(4x\right)= - \dfrac{1}{2} $.

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

Corrigé

L'équation à résoudre est $\cos(4x) = -\dfrac{1}{2}$.

On remarque que $-\dfrac{1}{2} = \cos \left( \dfrac{2\pi}{3} \right)$. L'équation $\cos(4x) = -\dfrac{1}{2}$ est donc équivalente à :

$\cos(4x) = \cos \left( \dfrac{2\pi}{3} \right)$

Ce qui équivaut à :

$4x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $4x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$)

En divisant par $4$, on obtient les solutions générales :

$x = \dfrac{2\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{4} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$

On cherche maintenant toutes les solutions appartenant à l'intervalle $\left] -\pi ; \pi \right]$ en résolvant la double inégalité $-\pi < x \le \pi$ pour chaque cas.

1er cas : $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$

$-\pi < \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2} \le \pi$

En divisant par $\pi$ :

$-1 < \dfrac{1}{6} + \dfrac{k}{2} \le 1$

$-1 - \dfrac{1}{6} < \dfrac{k}{2} \le 1 - \dfrac{1}{6}$

$-\dfrac{7}{6} < \dfrac{k}{2} \le \dfrac{5}{6}$

En multipliant par $2$ :

$-\dfrac{7}{3} < k \le \dfrac{5}{3}$

Comme $k$ est un entier, les valeurs possibles sont $k \in \{ -2 ; -1 ; 0 ; 1 \}$.
On obtient les solutions : $x_1 = -\dfrac{5\pi}{6}$, $x_2 = -\dfrac{\pi}{3}$, $x_3 = \dfrac{\pi}{6}$ et $x_4 = \dfrac{2\pi}{3}$.

2ème cas : $x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$

$-\pi < -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2} \le \pi$

En divisant par $\pi$ :

$-1 < -\dfrac{1}{6} + \dfrac{k}{2} \le 1$

$-1 + \dfrac{1}{6} < \dfrac{k}{2} \le 1 + \dfrac{1}{6}$

$-\dfrac{5}{6} < \dfrac{k}{2} \le \dfrac{7}{6}$

En multipliant par $2$ :

$-\dfrac{5}{3} < k \le \dfrac{7}{3}$

Comme $k$ est un entier, les valeurs possibles sont $k \in \{ -1 ; 0 ; 1 ; 2 \}$.
On obtient les solutions : $x_5 = -\dfrac{2\pi}{3}$, $x_6 = -\dfrac{\pi}{6}$, $x_7 = \dfrac{\pi}{3}$ et $x_8 = \dfrac{5\pi}{6}$.

L'ensemble des solutions dans $\left] -\pi ; \pi \right]$ est donc :

$\mathbf{\mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{5\pi}{6} ; -\dfrac{2\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{3} ; -\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{6} \right\}}$

Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique :

Pour réviser : Résoudre une équation cos(x) = k ou sin(x) = k

1. Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ 2x^{2}+5x - 3=0 $
   En déduire les solutions de l'équation $ \cos\left(2x\right)+5\cos\left(x\right) - 2=0 $ sur $ \mathbb{R} $.