[enonce]
On considère l'expression :

$ A = (2x - 3)^{2} + (x + 5)(3x - 2) - 5x^{2} $

Développer et réduire $ A $, puis calculer sa valeur pour deux valeurs de $ x $.
[/enonce]

[etape]
Développer $(2x - 3)^{2}$ : [[dev1]]
[math id="dev1" attendu="4x^2 - 12x + 9" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(2x-3)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 3 + 3^{2} = 4x^{2} - 12x + 9$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="4x^2 + 12x + 9"]Non.
Attention au signe du double produit dans $(a - b)^{2}$ : c'est $-2ab$, pas $+2ab$.[/reponse]
[reponse motif="4x^2 - 9"]Non.
C'est le résultat de $(2x-3)(2x+3)$, pas de $(2x-3)^{2}$.
Il faut appliquer $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="4x^2 - 6x + 9"]Non.
Ne pas oublier le facteur $2$ dans le double produit : c'est $2ab$, pas $ab$.
Recalculer $2 \times 2x \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = 2x$ et $b = 3$.[/reponse]
[aide essai="2"]Identité remarquable : $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$.
Ici $a = 2x$ et $b = 3$.[/aide]
[aide essai="3"]$(2x)^{2} = 4x^{2}$, $2 \times 2x \times 3 = 12x$ et $3^{2} = 9$.
Rassembler avec le bon signe.[/aide]
[/math]
[solution]$(2x-3)^{2} = 4x^{2} - 12x + 9$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Développer $(x + 5)(3x - 2)$ : [[dev2]]
[math id="dev2" attendu="3x^2 + 13x - 10" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+5)(3x-2) = 3x^{2} - 2x + 15x - 10 = 3x^{2} + 13x - 10$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="3x^2 - 13x - 10"]Non.
Vérifier le signe des termes croisés.
Calculer $5 \times 3x$ : est-ce positif ou négatif ?[/reponse]
[reponse motif="3x^2 + 13x + 10"]Non.
Attention au signe du dernier terme.
Calculer $5 \times (-2)$.[/reponse]
[reponse motif="3x^2 - 10"]Non.
Il manque les termes croisés.
Calculer les quatre produits de la double distributivité, puis regrouper les termes en $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la double distributivité : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.[/reponse]
[aide essai="2"]Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
Calculer les quatre produits puis réduire.[/aide]
[aide essai="3"]$x \times 3x = 3x^{2}$, $x \times (-2) = -2x$, $5 \times 3x = 15x$, $5 \times (-2) = -10$.
Regrouper les termes en $x$ : $-2x + 15x = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$(x+5)(3x-2) = 3x^{2} - 2x + 15x - 10 = 3x^{2} + 13x - 10$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Rassembler les résultats et réduire $A$ :

$A = (4x^{2} - 12x + 9) + (3x^{2} + 13x - 10) - 5x^{2}$

Donner la forme réduite de $A$ : [[red]]
[math id="red" attendu="2x^2 + x - 1" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = 4x^{2} + 3x^{2} - 5x^{2} - 12x + 13x + 9 - 10 = 2x^{2} + x - 1$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être réduite.[/reponse]
[reponse motif="2x^2 - x - 1"]Non.
Vérifier le signe des termes en $x$ : calculer $-12 + 13$.[/reponse]
[reponse motif="2x^2 + x + 1"]Non.
Vérifier le signe des constantes : calculer $9 + (-10)$.[/reponse]
[reponse motif="12x^2 + x - 1"]Non.
Vérifier les termes en $x^{2}$ : calculer $4 + 3 - 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Regrouper séparément les termes en $x^{2}$, les termes en $x$, puis les constantes.[/reponse]
[aide essai="2"]Termes en $x^{2}$ : $4 + 3 - 5 = ?$
Termes en $x$ : $-12 + 13 = ?$
Constantes : $9 - 10 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]On trouve $2$ pour les $x^{2}$, $+1$ pour les $x$, $-1$ pour les constantes.
Rassembler ces trois termes.[/aide]
[/math]
[solution]$A = 4x^{2} + 3x^{2} - 5x^{2} - 12x + 13x + 9 - 10 = 2x^{2} + x - 1$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $A$ pour $x = 3$ : [[val1]]
[math id="val1" attendu="20"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = 2 \times 3^{2} + 3 - 1 = 18 + 3 - 1 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="22"]Non.
Attention : $3^{2} = 9$, pas $10$.
Recalculer $2 \times 9$, puis ajouter $3$ et retrancher $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $3$ dans $2x^{2} + x - 1$ : $2 \times 9 + 3 - 1$.[/reponse]
[aide essai="2"]$A = 2x^{2} + x - 1$. Remplacer $x$ par $3$ :
$2 \times 3^{2} + 3 - 1 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]$2 \times 9 = 18$. Puis $18 + 3 - 1 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$A = 2 \times 9 + 3 - 1 = 18 + 3 - 1 = 20$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $A$ pour $x = \dfrac{1}{2}$ :
$A=$[[val2]]
[math id="val2" attendu="0"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = 2 \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
Attention : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \neq \dfrac{1}{2}$.
Calculer d'abord $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$, puis multiplier par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $\dfrac{1}{2}$ dans $2x^{2} + x - 1$ et calculer chaque terme.[/reponse]
[aide essai="2"]$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}$, donc $2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.
Calculer $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$, puis $1 - 1 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$A = 2 \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = 0$.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Soit $A = x(x+5) - (x+1)(x-2)$.
La forme développée et réduite de $A$ est $A = 4x-2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant : $A = x^2+5x-(x^2-x-2) = x^2+5x-x^2+x+2 = 6x+2$, et non $4x-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de mal distribuer le signe moins devant $(x+1)(x-2)$ : il faut d'abord développer le produit, puis changer tous les signes.
En développant : $A = x^2+5x-(x^2-x-2) = 6x+2 \neq 4x-2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En développant correctement : $A = x^2+5x-(x^2-x-2) = x^2+5x-x^2+x+2 = 6x+2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $a(b+1) - b(a+1) = a-b$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant : $a(b+1)-b(a+1) = ab+a-ab-b = a-b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier de développer l'un des deux produits avant de réduire les termes semblables.
En développant : $ab+a-ab-b = a-b$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En développant : $a(b+1) - b(a+1) = ab+a-ab-b = a-b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $A = (x+2)^2 - 1$.
La forme développée de $A$ est $(x+1)(x+3)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+1)(x+3)$ est la forme factorisée de $A$, pas sa forme développée. La forme développée est $x^2+4x+3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre forme développée et forme factorisée : $(x+1)(x+3)$ est bien une écriture de $A$, mais c'est sa forme factorisée, pas développée.
La forme développée est $(x+2)^2-1 = x^2+4x+4-1 = x^2+4x+3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(x+1)(x+3)$ est la forme factorisée de $A$, pas développée. La forme développée est $A = x^2+4x+3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $A = (x-4)^2 + (x+4)^2$.
La forme développée est $A = 2x^2+16x$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x-4)^2 = x^2-8x+16$ et $(x+4)^2 = x^2+8x+16$, donc $A = 2x^2+32 \neq 2x^2+16x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'additionner les termes $-8x$ et $+8x$ en croyant obtenir $16x$, alors qu'ils s'annulent mutuellement.
$(x-4)^2+(x+4)^2 = x^2-8x+16+x^2+8x+16 = 2x^2+32$, les termes en $x$ s'annulent.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(x-4)^2 + (x+4)^2 = (x^2-8x+16)+(x^2+8x+16) = 2x^2+32$. Les termes en $x$ s'annulent, il n'y a pas de terme en $x$ dans le résultat.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $A = (x+5)(x-5) + 2x(x-1)$.
La forme développée et réduite est $A = 3x^2-2x-25$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+5)(x-5) = x^2-25$ et $2x(x-1) = 2x^2-2x$, donc $A = 3x^2-2x-25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de mal appliquer l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ pour le premier produit.
$(x+5)(x-5) = x^2-25$ et $2x(x-1) = 2x^2-2x$, donc $A = x^2-25+2x^2-2x = 3x^2-2x-25$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(x+5)(x-5) = x^2-25$ (identité remarquable) et $2x(x-1) = 2x^2-2x$, donc $A = 3x^2-2x-25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $C = (x-1)(x^2+x+1)$.
La forme développée et réduite de $C$ est $C = x^3-1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant : $C = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas distribuer correctement chaque terme de $(x-1)$ sur les trois termes du trinôme.
En développant : $(x-1)(x^2+x+1) = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En développant : $(x-1)(x^2+x+1) = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$. On le vérifie en distribuant chaque terme de $(x-1)$ sur les trois termes du trinôme.
[/solution]
[/etape]