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Loi binomiale : gestion de stock d’une boulangerie

Dans une boulangerie, on a observé que chaque client, indépendamment des autres, demande une baguette traditionnelle avec une probabilité de $ 0{,}15 $.

Un samedi matin, le boulanger reçoit $ 50 $ clients. On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients demandant une baguette traditionnelle.

  1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance et l'écart-type de $ X $. Arrondir l'écart-type à $ 10^{-2} $.
  3. Le boulanger a préparé $ 10 $ baguettes traditionnelles ce matin-là. À l'aide de la calculatrice, déterminer la probabilité qu'il puisse satisfaire tous les clients demandant ce type de baguette. Arrondir à $ 10^{-3} $.

  4. Le boulanger souhaite déterminer le nombre minimal $ k $ de baguettes traditionnelles à préparer pour que la probabilité de satisfaire tous les clients qui en demandent soit au moins égale à $ 0{,}95 $.

    1. Traduire la condition à respecter par une inégalité portant sur $ p\left(X \leqslant k\right) $.
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de $ k $.
  5. Avec ce stock minimal $ k $, quelle est la probabilité que le boulanger soit en rupture (au moins un client non satisfait) ? Arrondir à $ 10^{-3} $.

Corrigé

  1. On répète $ 50 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli à deux issues : « le client demande une baguette traditionnelle » (succès, de probabilité $ p = 0{,}15 $) et « le client n'en demande pas » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}85 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

    Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(50\ ;\ 0{,}15\right) $.

  2. L'espérance est $ E\left(X\right) = np $ :

    $ E\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 $ = $\mathbf{7{,}5}$.

    En moyenne, $ 7{,}5 $ clients sur $ 50 $ demandent une baguette traditionnelle.

    La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

    $ V\left(X\right) = 50 \times 0{,}15 \times 0{,}85 = 6{,}375 $.

    L'écart-type est donc :

    $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{6{,}375} \approx $ $\mathbf{2{,}52}$.

  3. Le boulanger satisfait tous les clients si, et seulement si, le nombre de demandes ne dépasse pas le stock disponible, c'est-à-dire $ X \leqslant 10 $.

    À l'aide de la calculatrice (fonction binomFRép ou binomcdf avec $ n = 50 $, $ p = 0{,}15 $, $ k = 10 $) :

    $ p\left(X \leqslant 10\right) \approx $ $\mathbf{0{,}880}$.

    La probabilité que le boulanger satisfasse tous les clients avec un stock de $ 10 $ baguettes est environ $ 0{,}880 $.

    1. Le boulanger satisfait tous les clients si $ X \leqslant k $. La condition s'écrit donc :

      $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $.

    2. À la calculatrice, on calcule $ p\left(X \leqslant k\right) $ pour différentes valeurs de $ k $ :

      $k$ $10$ $11$ $12$ $13$
      $p(X\leqslant k)$ $0{,}880$ $0{,}937$ $0{,}970$ $0{,}987$

      La plus petite valeur de $ k $ vérifiant $ p\left(X \leqslant k\right) \geqslant 0{,}95 $ est $\mathbf{k = 12}$.

      Le boulanger doit préparer au minimum $ 12 $ baguettes traditionnelles pour avoir au moins $ 95\% $ de chances de satisfaire tous les clients.

  5. Avec un stock de $ 12 $ baguettes, le boulanger est en rupture si $ X \geqslant 13 $. Or :

    $ p\left(X \geqslant 13\right) = 1 - p\left(X \leqslant 12\right) $

    $ p\left(X \geqslant 13\right) \approx 1 - 0{,}970 \approx $ $\mathbf{0{,}030}$.

    La probabilité de rupture avec ce stock est d'environ $ 3\% $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale

Loi binomiale : tirs au but au football

Lors d'une séance d'entraînement, un footballeur professionnel effectue $ 11 $ tirs au but indépendants les uns des autres. La probabilité qu'il marque sur un tir donné est de $ 0{,}7 $.

On note $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis sur les $ 11 $ tentatives.

  1. Justifier que $ X $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité que le joueur marque exactement $ 8 $ tirs au but. Arrondir à $ 10^{-3} $.
  3. Calculer l'espérance et l'écart-type de $ X $. Interpréter l'espérance dans le contexte de l'exercice.
  4. Calculer la probabilité que le joueur marque au moins $ 9 $ tirs au but. Arrondir à $ 10^{-3} $.

Corrigé

  1. On répète $ 11 $ fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli ayant deux issues : « marquer » (succès, de probabilité $ p = 0{,}7 $) et « manquer » (échec, de probabilité $ 1 - p = 0{,}3 $). La variable $ X $ compte le nombre de succès.

    Donc $ X $ suit la loi binomiale $ \mathscr B \left(11\ ;\ 0{,}7\right) $.

  2. D'après la formule de la loi binomiale :

    $ p\left(X = 8\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 8 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{8} \times 0{,}3^{3} $

    $ p\left(X = 8\right) = 165 \times 0{,}05764801 \times 0{,}027 $

    $ p\left(X = 8\right) \approx $ $\mathbf{0{,}257}$.

    La probabilité que le joueur marque exactement $ 8 $ tirs est environ $ 0{,}257 $.

  3. L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi $ \mathscr B \left(n\ ;\ p\right) $ est $ E\left(X\right) = np $ :

    $ E\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 $ = $\mathbf{7{,}7}$.

    Interprétation : sur un grand nombre de séances de $ 11 $ tirs, le joueur marque en moyenne $ 7{,}7 $ tirs par séance.

    La variance est $ V\left(X\right) = np\left(1 - p\right) $ :

    $ V\left(X\right) = 11 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 2{,}31 $.

    L'écart-type est donc :

    $ \sigma\left(X\right) = \sqrt{2{,}31} \approx $ $\mathbf{1{,}52}$.

  4. On calcule :

    $ p\left(X \geqslant 9\right) = p\left(X = 9\right) + p\left(X = 10\right) + p\left(X = 11\right) $

    $ p\left(X = 9\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{9} \times 0{,}3^{2} = 55 \times 0{,}040353607 \times 0{,}09 \approx 0{,}1998 $

    $ p\left(X = 10\right) = \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \times 0{,}7^{10} \times 0{,}3^{1} = 11 \times 0{,}0282475 \times 0{,}3 \approx 0{,}0932 $

    $ p\left(X = 11\right) = 0{,}7^{11} \approx 0{,}0198 $

    D'où :

    $ p\left(X \geqslant 9\right) \approx 0{,}1998 + 0{,}0932 + 0{,}0198 \approx $ $\mathbf{0{,}313}$.

    La probabilité que le joueur marque au moins $ 9 $ tirs sur $ 11 $ est environ $ 0{,}313 $.

→ Pour réviser : Calculer et interpréter l'espérance d'une loi binomiale

Vrai/Faux : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le schéma de Bernoulli et la loi binomiale, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne peut avoir que deux issues, généralement appelées « succès » et « échec ».

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est précisément la définition donnée dans le cours. La probabilité du succès est notée $p$, et celle de l'échec vaut $1 - p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : par définition, une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues. Ce caractère binaire est ce qui la distingue d'autres expériences aléatoires (lancer de dé à $6$ faces, par exemple).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une épreuve de Bernoulli est par définition une expérience à deux issues : succès (de probabilité $p$) et échec (de probabilité $1 - p$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On tire successivement et sans remise $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes. La répétition de ces tirages constitue un schéma de Bernoulli.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Sans remise, la composition du jeu change après chaque tirage : les épreuves ne sont ni identiques, ni indépendantes. Une condition essentielle du schéma de Bernoulli n'est donc pas remplie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au mot « sans remise » : il signifie que la composition du jeu change après chaque tirage. Les épreuves ne sont alors pas identiques, ce qui exclut le schéma de Bernoulli.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sans remise, les tirages ne sont pas indépendants et leur loi change : ce n'est pas un schéma de Bernoulli.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On lance $7$ fois un dé équilibré à six faces. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient un $6$. Alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(7\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les $7$ lancers sont identiques et indépendants. À chaque lancer, le succès « obtenir un $6$ » a pour probabilité $\dfrac{1}{6}$. La variable $X$ compte les succès : elle suit bien $\mathcal{B}\left(7\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Vérifier les trois conditions : épreuves indépendantes (oui, lancers d'un dé), identiques (oui), à deux issues (succès « obtenir un $6$ », échec « ne pas l'obtenir »). Donc $X$ suit $\mathcal{B}\left(n\,;\,p\right)$ avec $n = 7$ et $p = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $n = 7$ épreuves indépendantes et identiques, avec $p = \dfrac{1}{6}$ pour chaque succès.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une variable aléatoire $X$ qui suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$ prend ses valeurs dans $\{1\,;\,2\,;\,\dots\,;\,20\}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ compte un nombre de succès parmi $n = 20$ épreuves : ce nombre peut très bien être nul. Les valeurs possibles sont $\{0\,;\,1\,;\,\dots\,;\,20\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La valeur $0$ est oubliée : le cas où aucune épreuve ne donne un succès est tout à fait possible. L'ensemble des valeurs possibles est $\{0\,;\,1\,;\,\dots\,;\,n\}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $X$ peut prendre la valeur $0$ (aucun succès). Les valeurs possibles sont $\{0\,;\,1\,;\,\dots\,;\,20\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules noires. On effectue $5$ tirages successifs avec remise.

Affirmation : Les tirages sont indépendants, et la probabilité d'obtenir une rouge à un tirage donné vaut $0{,}4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec remise, la composition de l'urne reste la même après chaque tirage : les épreuves sont identiques (même probabilité $p = \dfrac{4}{4+6} = 0{,}4$) et indépendantes. C'est le cadre standard d'un schéma de Bernoulli.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Avec remise, la boule tirée est replacée : la composition de l'urne ne change pas. Les épreuves sont donc identiques et indépendantes, et $p = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le tirage avec remise garantit l'indépendance, et $p = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance $4$ fois une pièce truquée pour laquelle $P(\text{Pile}) = 0{,}7$.

Affirmation : La probabilité d'obtenir $4$ faces vaut $4 \times 0{,}3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Multiplier $4$ par $0{,}3$ donne $1{,}2$, qui est supérieur à $1$ : ce ne peut pas être une probabilité. Pour $4$ faces consécutives, on multiplie les probabilités : $P(4 \text{ faces}) = 0{,}3^{4} = 0{,}008\,1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : $4 \times 0{,}3 = 1{,}2 > 1$, ce qui est impossible pour une probabilité. Quand on impose $4$ événements indépendants successifs, on multiplie les probabilités : $P(4 \text{ faces}) = 0{,}3^{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité d'obtenir $4$ faces consécutives vaut $0{,}3^{4} = 0{,}008\,1$. Multiplier par $4$ donnerait une « probabilité » supérieure à $1$, ce qui est aberrant.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Loi binomiale et loi géométrique

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : loi binomiale, loi géométrique, espérances et absence de mémoire. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces, jusqu'à obtenir un $6$. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le numéro du lancer où ce premier $6$ apparaît. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
[qcm]
[option]$\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$[/option]
[option correct="true"]La loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/option]
[option]La loi géométrique de paramètre $\dfrac{5}{6}$.[/option]
[option]$\mathcal{B}\left(\dfrac{1}{6}\,;\,6\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On répète une épreuve de Bernoulli (succès = obtenir un $6$, $p = \dfrac{1}{6}$) jusqu'au premier succès, et $X$ donne le rang de ce premier succès. Donc $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$"]Non.
La loi binomiale s'applique à un nombre fixé $n$ d'épreuves. Ici, on s'arrête au premier succès : le nombre d'épreuves est aléatoire, c'est la situation de la loi géométrique.[/reponse]
[reponse motif="La loi géométrique de paramètre $\dfrac{5}{6}$."]Non.
$\dfrac{5}{6}$ est la probabilité d'un échec (« ne pas obtenir un $6$ »). Le paramètre $p$ de la loi géométrique est la probabilité du succès (« obtenir un $6$ »).[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(\dfrac{1}{6}\,;\,6\right)$"]Non.
La loi binomiale ne convient pas (cf. plus haut) et, de plus, ses paramètres sont écrits dans le mauvais ordre : par convention, $n$ d'abord puis $p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand on attend le premier succès dans une répétition d'épreuves indépendantes, le rang du premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$. Calculer $P(X = 4)$.
[qcm]
[option]$0{,}0016$[/option]
[option]$0{,}2$[/option]
[option]$0{,}4096$[/option]
[option correct="true"]$0{,}1024$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule est $P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \times p$. Avec $k = 4$ et $p = 0{,}2$ : $P(X = 4) = 0{,}8^{3} \times 0{,}2 = 0{,}512 \times 0{,}2 = 0{,}1024$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}0016$"]Non.
$0{,}0016 = 0{,}2^{3} \times 0{,}8$ : confusion entre $p$ et $1-p$ dans la formule. La puissance porte sur $1 - p$, pas sur $p$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$"]Non.
$0{,}2 = p$ : c'est $P(X = 1)$, pas $P(X = 4)$. Pour $k = 4$, il faut tenir compte des $3$ échecs précédents.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}4096$"]Non.
$0{,}4096 = 0{,}8^{4}$ : la puissance est $k = 4$ au lieu de $k - 1 = 3$, et le facteur $\times p$ a été oublié.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} \times p$ : il y a $k - 1$ échecs avant le premier succès au $k$-ième essai.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}06)$. Quelle est l'espérance de $X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$2{,}82$[/option]
[option]$0{,}06$[/option]
[option]$50$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Pour la loi binomiale, $E(X) = np$. Ici $E(X) = 50 \times 0{,}06 = 3$. En moyenne, on attend $3$ succès sur $50$ épreuves.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}82$"]Non.
$2{,}82 = 50 \times 0{,}06 \times 0{,}94 = np(1-p)$ correspond à la variance de la loi binomiale, pas à son espérance.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}06$"]Non.
$0{,}06$ est le paramètre $p$. L'espérance d'une loi binomiale tient aussi compte du nombre d'épreuves $n$ : c'est $np$.[/reponse]
[reponse motif="$50$"]Non.
$50$ est le paramètre $n$ (nombre d'épreuves). L'espérance vaut $np$, pas $n$ seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, l'espérance est $E(X) = np$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}25$. Quelle est l'espérance de $X$ ?
[qcm]
[option]$0{,}25$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$0{,}75$[/option]
[option]$0{,}1875$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour la loi géométrique, $E(X) = \dfrac{1}{p}$. Ici $E(X) = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$. En moyenne, $4$ essais suffisent pour obtenir le premier succès.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$0{,}25 = p$ est la probabilité du succès, pas le nombre moyen d'essais nécessaires. Inverser plutôt que confondre.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75$"]Non.
$0{,}75 = 1 - p$ est la probabilité d'un échec. L'espérance dépend autrement de $p$ : elle est égale à son inverse.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1875$"]Non.
$0{,}1875 = p \times (1 - p)$ ne correspond à aucune formule classique pour la loi géométrique. L'espérance se calcule autrement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la loi géométrique de paramètre $p$, $E(X) = \dfrac{1}{p}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}15$ jusqu'au premier succès. Soit $X$ le rang du premier succès. Quelle est la probabilité que le premier succès ait lieu après les $6$ premières épreuves (c'est-à-dire au $7$e essai ou plus tard), à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option]$0{,}623$[/option]
[option correct="true"]$0{,}377$[/option]
[option]$0{,}150$[/option]
[option]$0{,}520$[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}15$. On cherche $P(X > 6) = (1 - p)^{6} = 0{,}85^{6} \approx 0{,}377$. Cela revient à dire que les $6$ premières épreuves ont toutes échoué.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}623$"]Non.
$0{,}623 = 1 - 0{,}85^{6} = P(X \leqslant 6)$ : c'est la probabilité que le premier succès arrive au plus tard au $6$e essai. C'est l'événement contraire de ce qu'on cherche.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}150$"]Non.
$0{,}15 = p$ est la probabilité d'un succès à une épreuve donnée, pas la probabilité de devoir attendre plus de $6$ essais.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}520$"]Non.
$0{,}520 \approx 0{,}85^{4}$ : exposant erroné. Pour $P(X > k)$, l'exposant est $k$ (le nombre d'échecs initiaux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X > k) = (1 - p)^{k}$ pour la loi géométrique : c'est la probabilité que les $k$ premières épreuves échouent.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces $10$ fois et l'on note $X$ le nombre de fois où l'on obtient un $6$. On lance ensuite le même dé jusqu'à obtenir le premier $6$, et l'on note $Y$ le numéro du lancer où ce premier $6$ apparaît. Quelle affirmation est correcte ?
[qcm]
[option]$X$ et $Y$ suivent toutes deux $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$.[/option]
[option correct="true"]$X$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$ et $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/option]
[option]$X$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$ et $Y$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$.[/option]
[option]$X$ suit $\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{10}\right)$ et $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{10}$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X$ compte le nombre de succès sur un nombre fixé d'épreuves ($n = 10$) : c'est une loi binomiale $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$. $Y$ donne le rang du premier succès : c'est une loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$X$ et $Y$ suivent toutes deux $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$."]Non.
$Y$ peut prendre n'importe quelle valeur entière supérieure ou égale à $1$, sans borne. Or une loi binomiale est bornée par $n$. La loi binomiale ne peut pas convenir pour $Y$.[/reponse]
[reponse motif="$X$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$ et $Y$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$."]Non.
Les rôles de $X$ et $Y$ sont inversés. Identifier ce qui est compté ($X$ : nombre de succès) ou attendu ($Y$ : rang du premier succès).[/reponse]
[reponse motif="$X$ suit $\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{1}{10}\right)$ et $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{10}$."]Non.
Confusion entre le nombre de lancers ($n = 10$) et le nombre de faces du dé ($6$). $p = \dfrac{1}{6}$ vient des $6$ faces, pas de $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi binomiale = nombre de succès sur $n$ épreuves fixé. Loi géométrique = rang du premier succès.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Reconnaître un schéma de Bernoulli

[enonce]
Ce QCM porte sur la reconnaissance d'un schéma de Bernoulli et l'identification des paramètres $n$ et $p$ d'une loi binomiale. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les expériences aléatoires suivantes, laquelle est une épreuve de Bernoulli ?
[qcm]
[option]Lancer un dé équilibré à six faces et noter le numéro obtenu.[/option]
[option correct="true"]Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes et noter si elle est rouge ou noire.[/option]
[option]Lancer dix fois une pièce équilibrée et compter le nombre de Pile.[/option]
[option]Choisir au hasard un entier entre 1 et 100.[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à exactement deux issues : succès et échec. Tirer une carte d'un jeu et observer sa couleur (rouge ou noire) en est un exemple typique, avec ici $p = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="Lancer un dé équilibré à six faces et noter le numéro obtenu."]Non.
Le résultat possède six issues différentes (1, 2, 3, 4, 5, 6), pas deux. Il faudrait préciser un événement à deux issues, par exemple « obtenir un 6 ou non ».[/reponse]
[reponse motif="Lancer dix fois une pièce équilibrée et compter le nombre de Pile."]Non.
Cette expérience est en fait un schéma de Bernoulli (répétition de 10 épreuves), pas une épreuve élémentaire. Une épreuve de Bernoulli ne se réalise qu'une seule fois.[/reponse]
[reponse motif="Choisir au hasard un entier entre 1 et 100."]Non.
Le tirage possède 100 issues différentes, pas deux. Il faudrait définir un événement binaire pour obtenir une épreuve de Bernoulli.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à exactement deux issues : succès et échec.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces. On considère la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ si l'on obtient un multiple de $3$, et $0$ sinon. Quel est le paramètre $p$ de cette loi de Bernoulli ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les multiples de $3$ entre $1$ et $6$ sont $3$ et $6$, soit $2$ issues favorables sur $6$. Donc $p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
$\dfrac{1}{6}$ correspondrait à une seule face favorable. Or il y a deux multiples de $3$ entre $1$ et $6$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ correspondrait à $3$ faces favorables sur $6$. Recompter le nombre de multiples de $3$ entre $1$ et $6$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
Il s'agit du quotient inverse : c'est $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ qui correspond à la probabilité d'échec (ne pas obtenir un multiple de $3$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter d'abord le nombre d'issues favorables, puis diviser par le nombre total d'issues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire successivement et sans remise $5$ boules d'une urne contenant $7$ boules rouges et $3$ boules noires. La répétition de ces tirages forme-t-elle un schéma de Bernoulli ?
[qcm]
[option]Oui, avec $n = 5$ et $p = \dfrac{7}{10}$.[/option]
[option]Oui, avec $n = 5$ et $p = \dfrac{3}{10}$.[/option]
[option correct="true"]Non, car les tirages ne sont pas indépendants.[/option]
[option]Non, car il y a plus de deux issues possibles à chaque tirage.[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
Sans remise, la composition de l'urne change entre deux tirages : les épreuves ne sont ni identiques, ni indépendantes. La condition d'un schéma de Bernoulli n'est donc pas remplie.[/reponse]
[reponse motif="Oui, avec $n = 5$ et $p = \dfrac{7}{10}$."]Non.
La probabilité $\dfrac{7}{10}$ ne vaut que pour le premier tirage : sans remise, la probabilité d'obtenir une rouge change après chaque tirage. Vérifier la condition d'indépendance.[/reponse]
[reponse motif="Oui, avec $n = 5$ et $p = \dfrac{3}{10}$."]Non.
Mêmes objections : sans remise, l'indépendance n'est pas garantie. De plus, $\dfrac{3}{10}$ correspond aux noires, pas aux rouges (à préciser selon le succès choisi).[/reponse]
[reponse motif="Non, car il y a plus de deux issues possibles à chaque tirage."]Non.
À chaque tirage, on observe la couleur de la boule : il n'y a que deux issues possibles (rouge ou noire). Le problème vient d'ailleurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un schéma de Bernoulli, les épreuves doivent être identiques et indépendantes. Étudier ce qui change entre deux tirages sans remise.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient $8$ boules rouges et $12$ boules vertes. On tire au hasard, avec remise, $6$ boules. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouges obtenues. Quels sont les paramètres de la loi suivie par $X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)$[/option]
[option]$\mathcal{B}(6\,;\,0{,}6)$[/option]
[option]$\mathcal{B}(20\,;\,0{,}4)$[/option]
[option]$\mathcal{B}(6\,;\,8)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Avec remise, les $6$ tirages sont identiques et indépendants. Le succès est « obtenir une rouge », de probabilité $p = \dfrac{8}{8+12} = \dfrac{8}{20} = 0{,}4$. Donc $X$ suit $\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}(6\,;\,0{,}6)$"]Non.
$0{,}6 = \dfrac{12}{20}$ est la probabilité d'obtenir une boule verte, pas une rouge. Identifier soigneusement le succès.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}(20\,;\,0{,}4)$"]Non.
$n$ est le nombre d'épreuves répétées, pas le nombre total de boules dans l'urne. Ici, on effectue $6$ tirages.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}(6\,;\,8)$"]Non.
Le second paramètre est une probabilité : il doit être compris entre $0$ et $1$. Ce n'est pas le nombre de boules rouges dans l'urne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès lors d'une épreuve) avant de répondre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance $10$ fois un dé équilibré à six faces. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on n'obtient PAS un $6$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
[qcm]
[option]$\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$[/option]
[option correct="true"]$\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{5}{6}\right)$[/option]
[option]$\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{5}{10}\right)$[/option]
[option]$\mathcal{B}\left(10\,;\,6\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les lancers sont identiques et indépendants. Le succès est « ne pas obtenir un $6$ », de probabilité $p = \dfrac{5}{6}$ (car $5$ faces sur $6$ ne sont pas un $6$). Donc $X$ suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{5}{6}\right)$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$"]Non.
$\dfrac{1}{6}$ est la probabilité d'obtenir un $6$. Ici, le succès est l'événement contraire : « ne pas obtenir un $6$ ».[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(6\,;\,\dfrac{5}{10}\right)$"]Non.
Les paramètres $n$ et $p$ sont inversés. Ici $n = 10$ (nombre de lancers) et $p$ doit être une probabilité, à calculer avec les six faces du dé.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(10\,;\,6\right)$"]Non.
Le second paramètre $p$ est une probabilité, donc compris entre $0$ et $1$. La valeur $6$ correspond au nombre de faces du dé, pas à une probabilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier soigneusement le « succès » : ici, il s'agit de ne pas obtenir un $6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un test de dépistage donne un résultat positif avec probabilité $0{,}02$ lorsqu'il est appliqué à une personne saine (faux positif). On teste indépendamment $50$ personnes saines et l'on note $X$ le nombre de tests positifs. Quelle est la loi de $X$ ?
[qcm]
[option]$\mathcal{B}\left(50\,;\,0{,}98\right)$[/option]
[option correct="true"]$\mathcal{B}\left(50\,;\,0{,}02\right)$[/option]
[option]$\mathcal{B}\left(50\,;\,0{,}2\right)$[/option]
[option]$\mathcal{B}\left(0{,}02\,;\,50\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On répète $50$ fois indépendamment la même épreuve à deux issues (test positif ou négatif). Le succès est « test positif », de probabilité $p = 0{,}02$. Donc $X$ suit $\mathcal{B}\left(50\,;\,0{,}02\right)$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(50\,;\,0{,}98\right)$"]Non.
$0{,}98 = 1 - 0{,}02$ est la probabilité d'un test négatif. Le succès choisi ici est « test positif ».[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(50\,;\,0{,}2\right)$"]Non.
Attention au décalage : la probabilité est $0{,}02$, pas $0{,}2$ (lire l'énoncé : « $0{,}02$ »).[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{B}\left(0{,}02\,;\,50\right)$"]Non.
Les paramètres sont inversés : par convention, $n$ est en premier (nombre d'épreuves, ici $50$) et $p$ en second (probabilité du succès).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $n$ (nombre d'épreuves) puis $p$ (probabilité du succès) en lisant attentivement l'énoncé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 1 – Maths-cours 2018

Un constructeur fabrique des tablettes informatiques. Le coût de production est 250 euros par unité.

Les tablettes sont garanties contre un défaut de fonctionnement de l'écran ou du disque dur.

Cette garantie permet à l'acheteur, en cas de panne, d'effectuer les réparations suivantes aux frais du constructeur :

  • réparation de l'écran (coût pour le constructeur  : 50 euros) ;
  • réparation du disque dur (coût pour le constructeur  : 30 euros).

Une étude statistique a montré que  :

  • 3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;
  • 4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;
  • 95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.

Partie A

  1. Recopier et compléter le tableau ci-après à l'aide des données de l'énoncé.

    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK $ \cdots $ $ \cdots $ $ \cdots $
    Écran défectueux $ \cdots $ $ \cdots $ $ \cdots $
    Total $ \cdots $ 3% 100 %
  2. Le prix de revient d'une tablette est égal à son coût de production augmenté du coût de réparation éventuel. On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au prix de revient d'une tablette.
    Établir la loi de probabilité de $ X $.
  3. Calculer l'espérance mathématique de $ X $. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
  4. L'entreprise vend chaque tablette 400 euros. Quel sera son bénéfice mensuel moyen si elle vend 750 tablettes par mois ?

Partie B

Un établissement scolaire achète 50 tablettes à ce constructeur.

On suppose que l'on peut assimiler cet achat à un tirage aléatoire de 50 tablettes avec remise, les tirages étant supposés indépendants.

On rappelle que 95% des tablettes ne présentent aucun défaut couvert par la garantie constructeur.

On note $ Y $ la variable aléatoire égale au nombre de tablettes achetées par l'établissement présentant un défaut couvert par la garantie constructeur.

  1. Justifier que $ Y $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Quelle est la probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut couvert par la garantie constructeur ?
  3. Quelle est l'espérance mathématique de $ Y $ ? Interpréter ce résultat.

Corrigé

Partie A

  1. On place dans le tableau les données fournies par l'énoncé  :

    • 3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;
    • 4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;
    • 95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.
    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK 95% $ \cdots $ $ \cdots $
    Écran défectueux $ \cdots $ $ \cdots $ 4%
    Total $ \cdots $ 3% 100 %

    On complète ensuite les totaux partiels afin que le total global soit égal à 100%  :

    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK 95% $ \cdots $ 96%
    Écran défectueux $ \cdots $ $ \cdots $ 4%
    Total 97% 3% 100 %

    Les données restantes peuvent être calculées simplement à partir des totaux  :

    $ \ $ Disque dur OK Disque dur défectueux Total
    Écran OK 95% 1% 96%
    Écran défectueux 2% 2% 4%
    Total 97% 3% 100 %

  2. La variable aléatoire $ X $ peut prendre quatre valeurs distinctes ; le tableau de la question précédente fournit la probabilité de chacune d'elle  :

    • si la tablette ne présente aucun défaut  : $ {X=250} $ (probabilité  : 0,95) ;
    • si la tablette présente uniquement un défaut de disque dur  : $ {X=250+30=280} $ (probabilité  : 0,01) ;
    • si la tablette présente uniquement un défaut d'écran  :$ {X=250+50=300} $ (probabilité  : 0,02) ;
    • si la tablette présente à la fois un défaut de disque dur et un défaut d'écran  : $ {X=250+50+30=330} $ (probabilité  : 0,02).

    On peut regrouper ces résultats dans un tableau  :

    $ x_i $ 250 280 300 330
    $ p(X=x_i) $ 0{,}95 0{,}01 0{,}02 0{,}02

    À retenir

    La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est un tableau qui recense les différentes valeurs $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ prises par X et les probabilités des événements $ {(X=x_1), (X=x_2), \cdots, (X=x_n)} $

  3. L'espérance mathématique de $ X $ est  :

    $ E(X)=250 \times 0{,}95 + 280 \times 0{,}01 + 300 \times 0{,}02 + 330 \times 0{,}02 = 252{,}9 $.

    Remarque

    À retenir

    Si $ X $ est une variable aléatoire qui prend les valeurs $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ avec les probabilités respectives $ p_1, p_2, \cdots, p_n $, l'espérance mathématique de X est  :

    $ E(X)=p_1x_1+p_2x_2+ \cdots +p_nx_n $

  4. D'après la question précédente, le prix de revient moyen d'une tablette est de 252,9 euros.

    Si chaque tablette est vendu 400 euros, le bénéfice moyen par tablette vendue sera de $ 400 - 252{,}9 = 147{,}1 $ euros.

    Pour une vente mensuelle de 750 tablettes, l'entreprise fera un bénéfice mensuel moyen de $ 750 \times 147{,}1 = 110\,325 $ euros.

Partie B

  1. La variable aléatoire $ Y $ suit une loi binomiale de paramètres $ n=50 $ et $ p=0{,}05 $ puisque  :

    • on assimile l'expérience à la répétition de 50 tirages aléatoires identiques et indépendants ;

    • chaque tirage possède deux issues  :

      • succès, correspondant au tirage d'une tablette défectueuse (probabilité $ p=0{,}05 $) ;
      • échec, correspondant au tirage d'une tablette fonctionnant correctement ;
    • la variable aléatoire $ Y $ comptabilise le nombre de succès.

    Remarque

    Bien rédiger

    Pour montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale $ \mathscr{B}(n~;~p) $ de paramètres $ n $ et $ p $, on précise que  :

    • l'expérience aléatoire est la répétition de $ n $ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ;

    • chaque épreuve de Bernoulli possède deux issues  :

      • succès, de probabilité $ p $;
      • échec, de probabilité $ 1 - p $ ;
    • la variable aléatoire $ X $ comptabilise le nombre de succès.

  2. La probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut est  :

    $ P(Y=0)=\binom{50}{0} \times 0{,}05^{0} \times 0{,}95^{50}=0{,}95^{50} $

    $ P(Y=0) \approx 0{,}077 $ (arrondi au millième).

    Remarque

    À retenir

    Si la variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale $ \mathscr B \left(n ; p\right) $, pour tout entier naturel $ k $ compris entre $ 0 $ et $ n $, la probabilité que $ X $ prenne la valeur $ k $ est  :

    $ P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\,p^{k}\left(1 - p\right)^{n - k} $

  3. L'espérance mathématique de $ Y $ est  :

    $ E(Y)=np=50 \times 0{,}05=2{,}5 $.

    En moyenne, parmi les 50 tablettes achetées par l'école, 2,5 tablettes présenteront un défaut.

    Remarque

    À retenir

    Pour une variable aléatoire $ X $ qui suit une loi binomiale $ \mathscr B \left(n ; p\right) $, l'espérance mathématique vaut  :

    $ E(X)=np $

Loi binomiale : Enquête de satisfaction

[ D'après bac ]

Un fournisseur d'accès internet effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2000 clients.

L'enquête révèle que 75% des clients interrogés se déclarent satisfaits du service fourni.

On choisit au hasard trois clients parmi ceux du panel interrogé durant l'enquête. On admet que ce panel est suffisamment important pour assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.

Déterminer la probabilité qu'exactement un des clients choisis se déclare satisfait du service fourni (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième).

Corrigé

Soit la variable aléatoire $ X $ qui compte le nombre de clients satisfait parmi les trois choisis.

Par hypothèse donnée dans l'énoncé, le choix de chacun des 3 clients se fait de manière indépendante. La variable $ X $ suit donc une loi binomiale de paramètres $ n=3 $ et $ p=0{,}75 $.

La probabilité demandée est :

$ p\left(X=1\right)=\binom{3}{1}\times \dfrac{75}{100}\times \left(\dfrac{25}{100}\right)^{2}=\dfrac{9}{64}\approx 0{,}14 $ à $ 0{,}01 $ près.