Nombres premiers : tests, contre-exemples et démonstration

Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont premiers. Pour ceux qui ne le sont pas, donner un produit de deux entiers (autres que $ 1 $ et le nombre lui-même).
1. $ 51 $
2. $ 91 $
3. $ 97 $
4. $ 113 $
Léo affirme : « Tout nombre impair est un nombre premier. » Donner un contre-exemple pour montrer que cette affirmation est fausse.
Marie souhaite distribuer $ 91 $ cartes entre ses amis, en donnant le même nombre de cartes à chacun, sans qu'il en reste. Elle ne se compte pas elle-même et ne souhaite pas avoir un seul ami qui prendrait toutes les cartes. Trouver tous les nombres possibles d'amis.
Démontrer que tout nombre premier autre que $ 2 $ et $ 3 $ a un reste égal à $ 1 $ ou à $ 5 $ dans la division euclidienne par $ 6 $.

Corrigé

1. La somme des chiffres de $ 51 $ est $ 5 + 1 = 6 $, divisible par $ 3 $.
  Donc $ 51 = 3 \times 17 $ et $ 51 $ n'est pas premier.
2. $ 91 $ n'est pas divisible par $ 2 $, $ 3 $ ni $ 5 $. On teste $ 7 $ : $ 91 = 7 \times 13 $.
  $ 91 $ n'est pas premier.
3. On teste les nombres premiers successifs :
  - $ 97 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
  - $ 9 + 7 = 16 $, non divisible par $ 3 $.
  - Le chiffre des unités est $ 7 $, donc non divisible par $ 5 $.
  - $ 97 = 7 \times 13 + 6 $, donc non divisible par $ 7 $.
  Comme $ 11 \times 11 = 121 > 97 $, il est inutile d'aller plus loin : si $ 97 $ avait un diviseur premier $ p \geqslant 11 $, le diviseur associé serait inférieur à $ 11 $ et aurait déjà été trouvé.
  $ 97 $ est premier.
4. On teste les nombres premiers successifs :
  - $ 113 $ est impair.
  - $ 1 + 1 + 3 = 5 $, non divisible par $ 3 $.
  - Le chiffre des unités est $ 3 $, donc non divisible par $ 5 $.
  - $ 113 = 7 \times 16 + 1 $, donc non divisible par $ 7 $.
  Comme $ 11 \times 11 = 121 > 113 $, on s'arrête.
  $ 113 $ est premier.
Le nombre $ 9 $ est impair (il s'écrit $ 2 \times 4 + 1 $) mais $\mathbf{9 = 3 \times 3}$, donc $ 9 $ admet $ 3 $ comme diviseur en plus de $ 1 $ et $ 9 $.
$ 9 $ n'est donc pas premier : c'est un contre-exemple à l'affirmation de Léo.
(D'autres contre-exemples possibles : $ 15 = 3 \times 5 $, $ 21 = 3 \times 7 $, $ 25 = 5 \times 5 $...)
Le nombre d'amis de Marie doit être un diviseur de $ 91 $, autre que $ 1 $ et $ 91 $.
D'après la question 1.b, $ 91 = 7 \times 13 $. Les diviseurs de $ 91 $ sont donc : $ 1 $, $ 7 $, $ 13 $ et $ 91 $.
En excluant $ 1 $ et $ 91 $, Marie peut distribuer ses cartes à $ 7 $ amis (chacun reçoit $ 13 $ cartes) ou à $ 13 $ amis (chacun reçoit $ 7 $ cartes).
Soit $ p $ un nombre premier autre que $ 2 $ et $ 3 $. La division euclidienne de $ p $ par $ 6 $ s'écrit :

$ p = 6q + r $ avec $ 0 \leqslant r < 6 $

Ainsi, $ r $ peut prendre l'une des valeurs : $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $ ou $ 5 $.

On examine chaque cas :
- Si $ r = 0 $ : $ p = 6q = 2 \times (3q) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $. Or $ p $ est premier et différent de $ 2 $ : impossible.
- Si $ r = 2 $ : $ p = 6q + 2 = 2 \times (3q + 1) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $ : impossible.
- Si $ r = 3 $ : $ p = 6q + 3 = 3 \times (2q + 1) $, donc $ p $ est divisible par $ 3 $. Or $ p $ est premier et différent de $ 3 $ : impossible.
- Si $ r = 4 $ : $ p = 6q + 4 = 2 \times (3q + 2) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $ : impossible.
Il ne reste donc que les valeurs $ r = 1 $ ou $ r = 5 $.
On peut le vérifier sur quelques exemples : $ 5 = 6 \times 0 + 5 $, $ 7 = 6 \times 1 + 1 $, $ 11 = 6 \times 1 + 5 $, $ 13 = 6 \times 2 + 1 $, $ 17 = 6 \times 2 + 5 $, $ 19 = 6 \times 3 + 1 $...

→ Pour réviser : Reconnaître si un nombre est premier

Vrai/Faux : Nombres premiers et décomposition

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le nombre $91$ est un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$91$ admet un diviseur autre que $1$ et $91$ : on peut vérifier que $91 = 7 \times 13$. Comme $91$ a au moins quatre diviseurs ($1$, $7$, $13$ et $91$), il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$91$ ne se laisse pas attraper par les critères classiques (par $2$, $3$, $5$), mais il faut aussi tester $7$. Poser la division : $91 \div 7$ tombe juste.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $91 = 7 \times 13$, donc $91$ admet $7$ et $13$ comme diviseurs autres que $1$ et lui-même. Il n'est pas premier.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Contre-exemple : $3$ et $5$ sont premiers, mais $3 + 5 = 8$ n'est pas premier ($8 = 2^3$). De même, $5 + 7 = 12$, $7 + 11 = 18$, ... ne sont pas premiers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour réfuter une affirmation universelle, il suffit d'un contre-exemple. Choisir deux nombres premiers et calculer leur somme. Vérifier ensuite si la somme est premier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $3 + 5 = 8$, qui n'est pas premier. La somme de deux nombres premiers est généralement paire (sauf si l'un des deux vaut $2$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La décomposition en facteurs premiers de $360$ est $2^3 \times 3^2 \times 5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On vérifie : $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360$. La décomposition est bien correcte. On peut aussi la retrouver en divisant successivement par $2$, $2$, $2$, $3$, $3$ et $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer le produit pour vérifier : $2^3 = 8$, $3^2 = 9$, et $8 \times 9 \times 5 = 360$. La décomposition est correcte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$, et $2$, $3$, $5$ sont bien des nombres premiers.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'écriture $48 = 4 \times 12$ est la décomposition en facteurs premiers de $48$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. Or ni $4$ ni $12$ ne sont premiers ($4 = 2^2$, $12 = 2^2 \times 3$). La vraie décomposition est $48 = 2^4 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier la nature des facteurs : ils doivent tous être des nombres premiers. Ici, $4$ et $12$ ne sont pas premiers. Continuer la décomposition.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. La vraie décomposition de $48$ est $2^4 \times 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout entier naturel supérieur ou égal à $2$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est une propriété fondamentale du chapitre : tout entier $n \geqslant 2$ admet une décomposition en produit de facteurs premiers. Si $n$ est lui-même premier, le « produit » se réduit à $n$ tout seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une propriété centrale du cours. Même un nombre premier comme $7$ s'écrit comme un produit avec un seul facteur ($7$ lui-même). Et tout autre entier se décompose en plusieurs facteurs premiers.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème fondamental sur lequel repose la décomposition en facteurs premiers : il est valable pour tout entier supérieur ou égal à $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{42}{105}$ se simplifie en $\dfrac{2}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On décompose : $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$. On simplifie par les facteurs communs $3$ et $7$ : $\dfrac{42}{105} = \dfrac{2 \times 3 \times 7}{3 \times 5 \times 7} = \dfrac{2}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier les facteurs communs. Vérifier le calcul : $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Après décomposition $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$, la simplification par $3 \times 7 = 21$ donne $\dfrac{2}{5}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Vocabulaire de la divisibilité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le vocabulaire de la divisibilité (multiples, diviseurs, division euclidienne, nombres premiers), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $8$ est un diviseur de $56$, alors $56$ est un multiple de $8$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dire que $8$ divise $56$ revient à dire qu'il existe un entier $k$ tel que $56 = 8 \times k$ (ici $k = 7$). C'est exactement la définition d'un multiple : $56$ est un multiple de $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « $a$ divise $b$ » et « $b$ est un multiple de $a$ » sont deux façons de dire la même chose. La relation s'écrit $b = a \times k$ pour un entier $k$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. « $a$ divise $b$ » et « $b$ est un multiple de $a$ » sont équivalents : $56 = 8 \times 7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $1$ est un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un nombre premier doit posséder exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Or $1$ n'a qu'un seul diviseur (lui-même), donc il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège fréquent : $1$ est exclu des nombres premiers par convention. La définition exige deux diviseurs distincts, et $1$ n'en a qu'un. Le plus petit nombre premier est donc $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts ; or $1$ n'en a qu'un seul. Le plus petit nombre premier est $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout entier naturel est un multiple de $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour tout entier naturel $n$, on a $n = 1 \times n$. Cela signifie que $n$ est un multiple de $1$ (et que $1$ est un diviseur de tout entier naturel).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : tout entier naturel $n$ vérifie $n = 1 \times n$. C'est exactement la condition pour être un multiple de $1$. Conséquence : $1$ est un diviseur universel.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour tout entier $n$, on a $n = 1 \times n$, donc $n$ est multiple de $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le seul nombre premier pair est le nombre $4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$4$ n'est pas premier : il admet $1$, $2$ et $4$ comme diviseurs (trois diviseurs au total). Le seul nombre premier pair est en réalité $2$, car tous les autres nombres pairs sont divisibles par $2$ et par eux-mêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier les diviseurs de $4$ : $1$, $2$ et $4$. Avec trois diviseurs, $4$ n'est pas premier. Le seul nombre premier pair est $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre $4$ admet $1$, $2$ et $4$ comme diviseurs : il n'est pas premier. Le seul nombre premier pair est $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le reste de la division euclidienne de $50$ par $7$ vaut $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $7 \times 7 = 49$, donc $50 = 7 \times 7 + 1$ avec $0 \leqslant 1 < 7$. Le quotient vaut $7$ et le reste vaut bien $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reposer le calcul : trouver le plus grand multiple de $7$ inférieur ou égal à $50$. Comme $7 \times 7 = 49$, il reste $50 - 49 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $50 = 7 \times 7 + 1$ avec $0 \leqslant 1 < 7$, donc le reste est $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'on peut écrire $a = b \times q + r$, alors $r$ est nécessairement le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'écriture $a = b \times q + r$ ne garantit pas la division euclidienne : il manque la condition essentielle $0 \leqslant r < b$. Par exemple, $50 = 7 \times 6 + 8$ est correct, mais $8$ n'est pas le reste car $8 > 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il manque la condition la plus importante : le reste $r$ doit vérifier $0 \leqslant r < b$. Sans cette condition, l'écriture $a = b \times q + r$ peut être réalisée de plusieurs façons et ne caractérise pas la division euclidienne.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour que $r$ soit le reste de la division euclidienne, il faut aussi imposer $0 \leqslant r < b$. Cette condition d'encadrement est essentielle.
[/solution]
[/etape]

QCM : Division euclidienne et nombres premiers

[enonce]
Ce QCM porte sur la division euclidienne et les nombres premiers. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La division euclidienne de $167$ par $12$ donne :
[qcm]
[option]quotient $13$, reste $1$[/option]
[option correct="true"]quotient $13$, reste $11$[/option]
[option]quotient $14$, reste $-1$[/option]
[option]quotient $12$, reste $23$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On cherche $q$ et $r$ tels que $167 = 12 \times q + r$ avec $0 \leqslant r < 12$. Comme $12 \times 13 = 156$ et $167 - 156 = 11$, on a $167 = 12 \times 13 + 11$ avec $0 \leqslant 11 < 12$.[/reponse]
[reponse motif="quotient $13$, reste $1$"]Non.
Le quotient est correct, mais le calcul du reste est faux. Reposer la soustraction $167 - 12 \times 13$ avec attention.[/reponse]
[reponse motif="quotient $14$, reste $-1$"]Non.
Le reste d'une division euclidienne est toujours positif ou nul. Si le calcul donne un reste négatif, c'est que le quotient est trop grand : essayer un quotient plus petit.[/reponse]
[reponse motif="quotient $12$, reste $23$"]Non.
Le reste $r$ doit vérifier $0 \leqslant r < 12$. Or $23$ est plus grand que $12$ : il reste donc encore au moins une fois $12$ à retirer, donc le quotient est plus grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver le plus grand entier $q$ tel que $12 \times q \leqslant 167$, puis calculer $r = 167 - 12 \times q$. Ce reste doit vérifier $0 \leqslant r < 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans la division euclidienne d'un entier naturel $a$ par $7$, quelles sont les valeurs possibles du reste $r$ ?
[qcm]
[option]$1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$[/option]
[option]$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ou $7$[/option]
[option correct="true"]$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$[/option]
[option]n'importe quel entier naturel[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans la division euclidienne par $7$, le reste $r$ vérifie $0 \leqslant r < 7$. Les valeurs possibles sont donc $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$.[/reponse]
[reponse motif="$1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$"]Non.
Cette liste oublie une valeur importante. Lorsque la division « tombe juste » (par exemple $14$ divisé par $7$), que vaut le reste ?[/reponse]
[reponse motif="$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ou $7$"]Non.
La condition est $r < 7$, donc strictement inférieur. La valeur $7$ est exclue, sinon on pourrait soustraire encore $7$ et augmenter le quotient.[/reponse]
[reponse motif="n'importe quel entier naturel"]Non.
Si le reste pouvait être très grand, la division ne serait pas terminée : on pourrait encore retirer $7$ au reste. Le reste est borné par le diviseur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le reste de la division euclidienne par $b$ vérifie toujours $0 \leqslant r < b$. Lister toutes les valeurs possibles avec $b = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces nombres, lequel est premier ?
[qcm]
[option]$51$[/option]
[option]$87$[/option]
[option]$91$[/option]
[option correct="true"]$97$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$97$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$ ($9 + 7 = 16$ non divisible par $3$), ni par $5$, ni par $7$ ($97 = 7 \times 13 + 6$). Aucun nombre premier $\leqslant 9$ ne le divise, donc $97$ est premier.[/reponse]
[reponse motif="$51$"]Non.
La somme des chiffres de $51$ vaut $5 + 1 = 6$, divisible par $3$. Donc $51$ est divisible par $3$ : ce n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="$87$"]Non.
La somme des chiffres vaut $8 + 7 = 15$, divisible par $3$. Donc $87$ est divisible par $3$ : ce n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="$91$"]Non.
$91$ ne se laisse pas attraper par les critères classiques, mais il est divisible par un petit nombre premier qu'il faut tester. Essayer $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester pour chaque proposition la divisibilité par les petits nombres premiers ($2$, $3$, $5$, $7$). Un nombre premier ne sera divisible par aucun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien y a-t-il de nombres premiers entre $20$ et $30$ (bornes incluses) ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Entre $20$ et $30$, on teste : $21 = 3 \times 7$, $22$ pair, $23$ premier, $24$ pair, $25 = 5^2$, $26$ pair, $27 = 3^3$, $28$ pair, $29$ premier. Il y a donc deux nombres premiers : $23$ et $29$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Un nombre premier a sans doute été oublié. Reprendre la liste des nombres impairs entre $20$ et $30$ et tester ceux qui ne sont pas multiples de $3$ ou de $5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Un des nombres a été identifié à tort comme premier. Vérifier la divisibilité de chaque candidat par $3$, $5$ ou $7$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tous les nombres pairs de cet intervalle ($22$, $24$, $26$, $28$) sont divisibles par $2$, donc non premiers. Les compter en moins.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister tous les entiers de $20$ à $30$ et éliminer ceux qui sont divisibles par $2$, $3$, $5$ ou $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $143$ est-il premier ?
[qcm]
[option]oui, car il est impair[/option]
[option]oui, car la somme de ses chiffres n'est pas divisible par $3$[/option]
[option correct="true"]non, car il est divisible par $11$[/option]
[option]non, car il est divisible par $7$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $143 = 11 \times 13$. Comme $143$ admet $11$ comme diviseur (différent de $1$ et de $143$), il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse motif="oui, car il est impair"]Non.
Être impair ne suffit pas pour être premier ($9$, $15$, $21$, $25$, $27$ sont impairs et non premiers). Tester d'autres petits nombres premiers comme diviseurs possibles.[/reponse]
[reponse motif="oui, car la somme de ses chiffres n'est pas divisible par $3$"]Non.
Cela montre seulement que $143$ n'est pas divisible par $3$. Il faut tester aussi les autres petits nombres premiers ($7$, $11$, ...) avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="non, car il est divisible par $7$"]Non.
Vérifier en posant la division euclidienne de $143$ par $7$ : le reste n'est pas nul. Tester un autre nombre premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour montrer qu'un nombre n'est pas premier, il suffit d'exhiber un diviseur autre que $1$ et lui-même. Tester $7$, $11$, $13$, ...[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Avec $250$ timbres rangés dans des albums comportant $16$ pages chacune et $1$ timbre par page, on remplit complètement combien d'albums et combien de timbres restent ?
[qcm]
[option]$14$ albums, $26$ timbres restants[/option]
[option correct="true"]$15$ albums, $10$ timbres restants[/option]
[option]$16$ albums, $6$ timbres restants[/option]
[option]$15$ albums, $16$ timbres restants[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On effectue la division euclidienne de $250$ par $16$ : $250 = 16 \times 15 + 10$ avec $0 \leqslant 10 < 16$. Donc $15$ albums sont remplis et $10$ timbres restent.[/reponse]
[reponse motif="$14$ albums, $26$ timbres restants"]Non.
Le reste $26$ est plus grand que $16$ : on peut donc encore remplir un album entier. Augmenter le quotient et recalculer le reste.[/reponse]
[reponse motif="$16$ albums, $6$ timbres restants"]Non.
Vérifier le calcul : $16 \times 16 = 256$, ce qui dépasse déjà $250$. Le quotient est trop grand.[/reponse]
[reponse motif="$15$ albums, $16$ timbres restants"]Non.
Le reste $16$ est égal au diviseur : on peut donc encore remplir un album et il restera $0$ timbres. Mais un reste doit vérifier $r < 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer la division euclidienne de $250$ par $16$ : trouver le plus grand $q$ tel que $16 \times q \leqslant 250$, puis calculer le reste.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]