Le centre de symétrie d’un parallélogramme

$ ABCD $ est un parallélogramme dont les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en $ O $.

On rappelle une propriété vue en cours : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Parallélogramme ABCD avec ses diagonales se coupant en O

Justifier que les points $ A $ et $ C $ sont symétriques par rapport à $ O $.
Justifier que les points $ B $ et $ D $ sont symétriques par rapport à $ O $.
En déduire que le point $ O $ est centre de symétrie du parallélogramme $ ABCD $.
On donne $ AB = 7 $ cm et $ BC = 4 $ cm. En utilisant les questions précédentes, donner sans calcul les longueurs $ CD $ et $ AD $.

Corrigé

Le point $ O $ est l'intersection des diagonales du parallélogramme $ ABCD $. D'après la propriété rappelée, $ O $ est le milieu du segment $ [AC] $. Par définition de la symétrie centrale, $ A $ et $ C $ sont symétriques par rapport à $ O $.
De la même manière, $ O $ est le milieu de la diagonale $ [BD] $. Donc $ B $ et $ D $ sont symétriques par rapport à $ O $.
Par la symétrie de centre $ O $ : le symétrique de $ A $ est $ C $, le symétrique de $ B $ est $ D $, le symétrique de $ C $ est $ A $ et le symétrique de $ D $ est $ B $. Le symétrique du parallélogramme $ ABCD $ est donc le quadrilatère $ CDAB $, qui est exactement le même parallélogramme.

Le parallélogramme se superpose à lui-même par la symétrie de centre $ O $ : $ O $ est centre de symétrie du parallélogramme $ ABCD $.
Par la symétrie de centre $ O $, le segment $ [AB] $ a pour image le segment $ [CD] $ (puisque $ A \mapsto C $ et $ B \mapsto D $). La symétrie centrale conserve les longueurs, donc :
$ CD = AB = $ $ 7 $ cm.

De même, le segment $ [BC] $ a pour image le segment $ [DA] $, donc :
$ AD = BC = $ $ 4 $ cm.

Reconnaître les axes et centres de symétrie d’une figure

Pour chacune des figures suivantes, indiquer :

le nombre d'axes de symétrie ;
le nombre de centres de symétrie.

La lettre majuscule $ \text{H} $.
La lettre majuscule $ \text{Z} $.
La lettre majuscule $ \text{A} $.
La lettre majuscule $ \text{N} $.
Un cercle.
Un rectangle qui n'est pas un carré.
Un parallélogramme qui n'est ni un rectangle ni un losange.
Un triangle équilatéral.

On rappelle qu'une droite est un axe de symétrie d'une figure lorsque le pliage le long de cette droite superpose la figure à elle-même. Un point est un centre de symétrie lorsqu'un demi-tour autour de ce point superpose la figure à elle-même.

La lettre $ \text{H} $ se superpose à elle-même par pliage le long d'un axe vertical et d'un axe horizontal, et par demi-tour autour de leur point d'intersection. Elle a donc $ 2 $ axes de symétrie et $ 1 $ centre de symétrie.
La lettre $ \text{Z} $ se superpose à elle-même après un demi-tour autour de son centre, mais aucun pliage ne convient. Elle a donc $ 0 $ axe et $ 1 $ centre de symétrie.
La lettre $ \text{A} $ se superpose à elle-même par pliage le long d'un axe vertical, mais pas par demi-tour. Elle a donc $ 1 $ axe et $ 0 $ centre de symétrie.
La lettre $ \text{N} $ se superpose à elle-même après un demi-tour autour de son centre, mais aucun pliage ne convient. Elle a donc $ 0 $ axe et $ 1 $ centre de symétrie.
Un cercle se superpose à lui-même par pliage le long de n'importe lequel de ses diamètres et par demi-tour autour de son centre. Il a donc une infinité d'axes de symétrie et $ 1 $ centre de symétrie (son centre).
Un rectangle non carré possède deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés) et son centre est le point d'intersection de ses diagonales. Il a donc $ 2 $ axes et $ 1 $ centre de symétrie.
Un parallélogramme qui n'est ni rectangle ni losange n'a aucun axe de symétrie, mais ses diagonales se coupent en leur milieu : leur point d'intersection est centre de symétrie. Il a donc $ 0 $ axe et $ 1 $ centre de symétrie.
Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés, qui sont aussi ses hauteurs et ses bissectrices), mais aucun centre de symétrie. Il a donc $ 3 $ axes et $ 0 $ centre de symétrie.

Vrai/Faux : Axes et centres de symétrie des figures usuelles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les axes et centres de symétrie des figures usuelles, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Tout parallélogramme possède un centre de symétrie : c'est le point d'intersection de ses diagonales.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun. Ce point est centre de symétrie : un demi-tour autour de lui échange les sommets opposés et la figure se superpose à elle-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : tous les parallélogrammes (quelconque, rectangle, losange, carré) possèdent un centre de symétrie.
C'est leur point d'intersection des diagonales.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est toujours un centre de symétrie de la figure.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout triangle isocèle possède un centre de symétrie.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Un triangle isocèle a un axe de symétrie (la médiatrice de la base), mais aucun centre de symétrie. Aucun triangle, quel que soit sa forme, ne possède de centre de symétrie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre axe et centre.
Un triangle isocèle a bien un axe de symétrie, mais aucun centre de symétrie : un demi-tour ne pourrait pas le ramener sur lui-même.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un triangle isocèle a un axe de symétrie, mais aucun centre. Plus généralement, aucun triangle n'a de centre de symétrie.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un rectangle (non carré) possède un centre de symétrie et exactement deux axes de symétrie.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un rectangle non carré possède :
- un centre de symétrie (intersection des diagonales) ;
- deux axes de symétrie : les médiatrices des côtés (et non les diagonales, qui ne sont pas des axes pour un rectangle non carré).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : les axes de symétrie d'un rectangle sont les médiatrices de ses côtés, pas ses diagonales.
Un rectangle non carré a exactement deux axes et un centre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Un rectangle non carré possède un centre de symétrie (intersection des diagonales) et deux axes de symétrie (les médiatrices des côtés).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un losange (non carré) possède quatre axes de symétrie.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un losange non carré possède exactement deux axes de symétrie : ses deux diagonales. (Les médiatrices des côtés ne sont pas des axes du losange en général.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au nombre d'axes.
Le losange (non carré) a deux axes de symétrie : ses diagonales. Quatre axes correspondent au carré.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un losange non carré possède exactement deux axes de symétrie (ses diagonales). Quatre axes correspondent au carré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un cercle possède une infinité d'axes de symétrie ainsi qu'un centre de symétrie.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Tout diamètre d'un cercle est un axe de symétrie : il y en a une infinité. De plus, le centre du cercle est aussi un centre de symétrie de la figure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le cercle est la figure la plus symétrique du plan.
Toute droite passant par le centre est un axe ; le centre lui-même est un centre de symétrie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le cercle a une infinité d'axes de symétrie (tous ses diamètres) et son centre est aussi un centre de symétrie.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une figure peut posséder plusieurs centres de symétrie distincts.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une figure usuelle possède au plus un centre de symétrie. C'est une particularité importante : à l'inverse, une même figure peut posséder plusieurs axes de symétrie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de transposer ce qui vaut pour les axes (plusieurs possibles) aux centres.
Pour les figures usuelles, il y a au plus un centre de symétrie, jamais deux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une figure possède au plus un centre de symétrie. C'est une différence essentielle avec les axes (qui peuvent être plusieurs).
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Symétrie centrale

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : construction, propriétés de conservation, axes et centres de symétrie de figures. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Combien d'axes de symétrie et combien de centres de symétrie possède un parallélogramme quelconque (ni rectangle, ni losange, ni carré) ?
[qcm]
[option]$2$ axes et $1$ centre.[/option]
[option correct="true"]$0$ axe et $1$ centre.[/option]
[option]$1$ axe et $0$ centre.[/option]
[option]$0$ axe et $0$ centre.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un parallélogramme quelconque n'a aucun axe de symétrie (les axes apparaissent seulement pour les cas particuliers : rectangle, losange, carré). En revanche, il possède toujours un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.[/reponse]
[reponse motif="$2$ axes et $1$ centre."]Non.
$2$ axes correspondent au rectangle (médiatrices des côtés) ou au losange (diagonales), mais pas au parallélogramme général.[/reponse]
[reponse motif="$1$ axe et $0$ centre."]Non.
Un parallélogramme quelconque ne possède pas d'axe de symétrie. En revanche, il possède bien un centre.[/reponse]
[reponse motif="$0$ axe et $0$ centre."]Non.
Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est toujours un centre de symétrie : un demi-tour autour de ce point ramène la figure sur elle-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un parallélogramme général n'a pas la richesse de symétries du rectangle ou du losange, mais il possède toujours un point d'intersection des diagonales avec une propriété particulière.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $ABC$ un triangle scalène (les trois côtés ont des longueurs différentes). Combien d'axes et de centres de symétrie possède-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$ axe et $0$ centre.[/option]
[option]$1$ axe et $0$ centre.[/option]
[option]$0$ axe et $1$ centre.[/option]
[option]$3$ axes et $1$ centre.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un triangle scalène n'a aucune régularité : les trois côtés et les trois angles sont distincts. Aucun pliage ne peut le faire se superposer à lui-même, et aucun point ne joue le rôle de centre de symétrie. Il n'a donc ni axe, ni centre.[/reponse]
[reponse motif="$1$ axe et $0$ centre."]Non.
$1$ axe correspond au triangle isocèle (la médiatrice de la base). Le triangle scalène, lui, n'a aucun axe.[/reponse]
[reponse motif="$0$ axe et $1$ centre."]Non.
Aucun triangle ne possède de centre de symétrie. En effet, un demi-tour autour d'un point ferait tourner les sommets et le triangle ne pourrait pas se superposer.[/reponse]
[reponse motif="$3$ axes et $1$ centre."]Non.
$3$ axes et $1$ centre caractérisent le triangle équilatéral, pas le scalène. Et même le triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie (il a des axes mais pas de centre).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un triangle « scalène » signifie que ses trois côtés sont différents : aucune symétrie ne peut le préserver.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un rectangle de centre $I$ (intersection des diagonales). Quelle est l'image du sommet $A$ par la symétrie de centre $I$ ?
[qcm]
[option]$B$[/option]
[option]$D$[/option]
[option]$I$[/option]
[option correct="true"]$C$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Dans un rectangle, $I$ est le milieu commun des deux diagonales. En particulier, $I$ est le milieu de $[AC]$ : l'image de $A$ par la symétrie de centre $I$ est donc $C$.[/reponse]
[reponse motif="$B$"]Non.
$B$ est un sommet voisin de $A$, pas le sommet opposé. La symétrie centrale envoie $A$ sur le sommet diagonalement opposé.[/reponse]
[reponse motif="$D$"]Non.
$D$ est aussi un sommet voisin de $A$ (relié par un côté). L'image de $A$ par la symétrie de centre $I$ est le sommet « en face », pas un sommet voisin.[/reponse]
[reponse motif="$I$"]Non.
Seul le centre $I$ a pour image lui-même. Le sommet $A$ est différent de $I$, donc son image est aussi différente de $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un rectangle, le centre est le milieu de chaque diagonale. À quel sommet correspond $A$ par cette propriété ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La figure $F'$ est le symétrique de la figure $F$ par rapport à un point $O$. $F$ a pour aire $36$ cm² et pour périmètre $24$ cm. Quelle affirmation est correcte ?
[qcm]
[option correct="true"]$F'$ a pour aire $36$ cm² et pour périmètre $24$ cm.[/option]
[option]$F'$ a pour aire $72$ cm² et pour périmètre $48$ cm.[/option]
[option]$F'$ a pour aire $18$ cm² et pour périmètre $12$ cm.[/option]
[option]On ne peut rien dire sans connaître précisément $F$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La symétrie centrale conserve à la fois les aires et les périmètres. Donc $F'$ a la même aire ($36$ cm²) et le même périmètre ($24$ cm) que $F$.[/reponse]
[reponse motif="$F'$ a pour aire $72$ cm² et pour périmètre $48$ cm."]Non.
La symétrie centrale ne double ni l'aire, ni le périmètre. Confusion possible avec l'aire de $F$ et $F'$ réunies, mais la question porte sur $F'$ seul.[/reponse]
[reponse motif="$F'$ a pour aire $18$ cm² et pour périmètre $12$ cm."]Non.
La symétrie ne divise rien par $2$. Les grandeurs sont conservées exactement.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire sans connaître précisément $F$."]Non.
Les propriétés de conservation de la symétrie centrale s'appliquent à toutes les figures, sans exception. Pas besoin de connaître la forme de $F$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les grandeurs conservées par la symétrie centrale : longueurs, angles, périmètres et aires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur un parallélogramme $ABCD$, le symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $I$ (intersection des diagonales) est :
[qcm]
[option]le segment $[AB]$ lui-même.[/option]
[option correct="true"]le segment $[CD]$.[/option]
[option]le segment $[BC]$.[/option]
[option]le segment $[AC]$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le centre $I$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. Donc l'image de $A$ par la symétrie de centre $I$ est $C$, et l'image de $B$ est $D$. Par conséquent, l'image de $[AB]$ est $[CD]$.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[AB]$ lui-même."]Non.
Un segment n'est globalement invariant par une symétrie centrale que si son milieu est précisément le centre. Ici, le centre $I$ n'est pas le milieu de $[AB]$.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[BC]$."]Non.
$[BC]$ est un autre côté du parallélogramme, mais ce n'est pas le côté « opposé » à $[AB]$. La symétrie centrale envoie un côté sur son côté parallèle opposé.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[AC]$."]Non.
$[AC]$ est une diagonale, pas un côté du parallélogramme. La symétrie centrale envoie un côté sur un côté, pas sur une diagonale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier d'abord les images des sommets $A$ et $B$ par la symétrie de centre $I$ (en utilisant les propriétés du parallélogramme), puis relier les deux points images.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles propriétés de symétrie possède la lettre majuscule Z (en typographie standard, sans empattement) ?
[qcm]
[option]Un axe de symétrie horizontal et aucun centre de symétrie.[/option]
[option]Un axe de symétrie vertical et un centre de symétrie.[/option]
[option correct="true"]Aucun axe de symétrie et un centre de symétrie.[/option]
[option]Deux axes de symétrie et un centre de symétrie.[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Un demi-tour autour du point central de la lettre $Z$ la transforme en elle-même. En revanche, aucun pliage (vertical ou horizontal) ne la laisse inchangée. Elle a donc un centre de symétrie mais aucun axe.[/reponse]
[reponse motif="Un axe de symétrie horizontal et aucun centre de symétrie."]Non.
Un pliage le long d'une horizontale ne ramène pas la lettre $Z$ sur elle-même : elle se transformerait en lettre miroir, mais inversée.[/reponse]
[reponse motif="Un axe de symétrie vertical et un centre de symétrie."]Non.
Un pliage vertical produit aussi une image miroir qui ne coïncide pas avec la lettre $Z$. Le centre de symétrie, lui, est bien présent.[/reponse]
[reponse motif="Deux axes de symétrie et un centre de symétrie."]Non.
Aucun axe de symétrie n'existe pour la lettre $Z$. Un demi-tour la conserve, mais aucun pliage ne le fait.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester mentalement chaque transformation : un pliage vertical, un pliage horizontal, un demi-tour. Dans quel cas la lettre $Z$ se superpose-t-elle exactement à elle-même ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]