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Position relative des courbes y = x² et y = x³

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^3$.
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant $f$ et $\mathscr{C}$ la courbe représentant $g$.

  1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{C}$.

  2. Pour $x > 0$, on pose $h(x) = g(x) - f(x) = x^3 - x^2$.

    1. Factoriser $h(x)$.
    2. En déduire le signe de $h(x)$ selon les valeurs de $x$ dans $\left]0 ; +\infty\right[$.
    3. Quelle courbe est au-dessus de l'autre pour $0 < x < 1$ ? Et pour $x > 1$ ?

  3. Un fabricant de pièces métalliques compare deux modèles de production. Pour le modèle A, le coût de fabrication de $x$ kg de métal (avec $x > 0$) est $C_A(x) = x^2$ euros. Pour le modèle B, le coût est $C_B(x) = x^3$ euros.

    1. Pour une commande de $0{,}5$ kg, quel modèle est le moins coûteux ?
    2. Pour une commande de $3$ kg, quel modèle est le moins coûteux ?
    3. À partir de quelle masse le modèle A devient-il plus avantageux que le modèle B ?

Corrigé

  1. On cherche les valeurs de $x$ telles que $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $x^2 = x^3$.
    $x^3 - x^2 = 0$
    $x^2(x - 1) = 0$
    $x^2 = 0$ ou $x - 1 = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 1$.
    Les points d'intersection sont $O(0 ; 0)$ et $A(1 ; 1)$.
    1. $h(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$.
      Donc $\mathbf{h(x) = x^2(x - 1)}$.

    2. Pour $x > 0$, on a $x^2 > 0$. Le signe de $h(x)$ dépend donc du signe de $x - 1$ :

      • Si $0 < x < 1$ : $x - 1 < 0$, donc $h(x) < 0$, c'est-à-dire $x^3 < x^2$.
      • Si $x = 1$ : $h(x) = 0$, c'est-à-dire $x^3 = x^2$.
      • Si $x > 1$ : $x - 1 > 0$, donc $h(x) > 0$, c'est-à-dire $x^3 > x^2$.
    3. Pour $0 < x < 1$ : $g(x) < f(x)$, donc $\mathscr{C}$ est en dessous de $\mathscr{P}$.
      Pour $x > 1$ : $g(x) > f(x)$, donc $\mathscr{C}$ est au-dessus de $\mathscr{P}$.
    1. Pour $x = 0{,}5$ kg :
      $C_A(0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25$ euros.
      $C_B(0{,}5) = 0{,}5^3 = 0{,}125$ euros.
      Comme $0 < 0{,}5 < 1$, on a $x^3 < x^2$, donc le modèle B est moins coûteux ($0{,}125$ euros contre $0{,}25$ euros).
    2. Pour $x = 3$ kg :
      $C_A(3) = 3^2 = 9$ euros.
      $C_B(3) = 3^3 = 27$ euros.
      Comme $3 > 1$, on a $x^3 > x^2$, donc le modèle A est moins coûteux ($9$ euros contre $27$ euros).
    3. D'après la question 2, $x^2 < x^3$ lorsque $x > 1$, c'est-à-dire $C_A(x) < C_B(x)$.
      Le modèle A devient plus avantageux à partir d'une masse strictement supérieure à $1$ kg.
      Pour $x = 1$ kg, les deux modèles coûtent le même prix ($1$ euro). Pour toute masse supérieure à $1$ kg, le modèle A est moins cher.

→ Pour réviser : Déterminer la position relative des courbes

QCM Bilan : Fonctions carré et cube

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : fonction carré, fonction cube et position relative des courbes. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]La fonction carré admet un maximum en $x = 0$[/option]
[option]La fonction cube admet un minimum en $x = 0$[/option]
[option correct="true"]La fonction carré admet un minimum en $x = 0$[/option]
[option]La fonction carré n'admet pas d'extremum[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction carré est décroissante puis croissante, avec un changement en $x = 0$. Elle admet donc un minimum en $x = 0$, et ce minimum vaut $0^2 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="La fonction carré admet un maximum en $x = 0$"]Non.
La fonction carré est décroissante puis croissante : elle forme un « creux » en $x = 0$, pas un « sommet ». C'est un minimum, pas un maximum.[/reponse]
[reponse motif="La fonction cube admet un minimum en $x = 0$"]Non.
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Elle n'admet pas d'extremum : elle n'a ni minimum ni maximum.[/reponse]
[reponse motif="La fonction carré n'admet pas d'extremum"]Non.
La fonction carré change de sens de variation en $x = 0$. Ce changement (décroissante puis croissante) correspond à un extremum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Observer les variations de chaque fonction et identifier si elles changent de sens de variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = 7$ a pour solutions :
[qcm]
[option]$x = \sqrt{7}$ uniquement[/option]
[option]$x = 3{,}5$[/option]
[option]$x = 49$[/option]
[option correct="true"]$x = \sqrt{7}$ ou $x = -\sqrt{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $7 > 0$, l'équation $x^2 = 7$ admet deux solutions :
$x = \sqrt{7}$ et $x = -\sqrt{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \sqrt{7}$ uniquement"]Non.
Il manque une solution. Vérifier : $(-\sqrt{7})^2 = 7$ aussi. Quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a toujours deux solutions.[/reponse]
[reponse motif="$x = 3{,}5$"]Non.
On cherche $x$ tel que $x \times x = 7$, pas $x$ tel que $2x = 7$. La racine carrée est l'opération inverse du carré, pas la division par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 49$"]Non.
On a calculé $7^2 = 49$ au lieu de résoudre $x^2 = 7$. La racine carrée est l'opération inverse : chercher $x$ tel que $x^2 = 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $-2 \leqslant x \leqslant 3$. Quel est le minimum de $x^2$ sur cet intervalle ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'intervalle $[-2\,;\,3]$ contient $0$. Comme $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel $x$ et que $0^2 = 0$, le minimum de $x^2$ est $0$, atteint en $x = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$(-2)^2 = 4$ est le carré de la borne inférieure, mais ce n'est pas le minimum. L'intervalle contient $0$, et $0^2 = 0 < 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. $(-2)^2 = 4$, pas $-4$. Le minimum de $x^2$ ne peut pas être négatif.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$3^2 = 9$ est le maximum de $x^2$ sur cet intervalle, pas le minimum. Chercher la plus petite valeur que $x^2$ peut prendre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est atteint en $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $x = 3$, quelle est la position relative des courbes $y = x$, $y = x^2$ et $y = x^3$ ?
[qcm]
[option]$x^3 < x^2 < x$[/option]
[option]$x^2 < x < x^3$[/option]
[option correct="true"]$x < x^2 < x^3$[/option]
[option]$x = x^2 = x^3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour $x = 3 > 1$ : $x = 3$, $x^2 = 9$ et $x^3 = 27$.
On a bien $3 < 9 < 27$, soit $x < x^2 < x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x^3 < x^2 < x$"]Non.
Cet ordre est valable pour $0 < x < 1$, pas pour $x > 1$. Calculer : $3^2 = 9$ et $3^3 = 27$. Comparer avec $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2 < x < x^3$"]Non.
Calculer : $x = 3$, $x^2 = 9$ et $x^3 = 27$. Ranger les trois valeurs dans l'ordre croissant.[/reponse]
[reponse motif="$x = x^2 = x^3$"]Non.
L'égalité $x = x^2 = x^3$ n'est vraie que pour $x = 0$ et $x = 1$, pas pour $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $x > 1$, la règle est : $x < x^2 < x^3$. Vérifier en calculant $3$, $3^2$ et $3^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction $f : x \mapsto x^2$ vérifie $f(-x) = f(x)$. La fonction $g : x \mapsto x^3$ vérifie $g(-x) = -g(x)$. Quelles sont les symétries de leurs courbes ?
[qcm]
[option]$f$ : symétrie par rapport à l'origine ; $g$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option correct="true"]$f$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; $g$ : symétrie par rapport à l'origine[/option]
[option]Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées[/option]
[option]Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'origine[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$f(-x) = f(x)$ signifie que $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$g(-x) = -g(x)$ signifie que $g$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$f$ : symétrie par rapport à l'origine ; $g$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
C'est l'inverse. $f(-x) = f(x)$ caractérise une fonction paire (symétrie / axe des ordonnées). $g(-x) = -g(x)$ caractérise une fonction impaire (symétrie / origine).[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées"]Non.
Seule la fonction paire ($f(-x) = f(x)$) a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction $g$ vérifie $g(-x) = -g(x)$ : c'est une autre symétrie.[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'origine"]Non.
Seule la fonction impaire ($g(-x) = -g(x)$) a une symétrie par rapport à l'origine. La fonction $f$ vérifie $f(-x) = f(x)$ : c'est une autre symétrie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir : $f(-x) = f(x)$ (paire) correspond à la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. $g(-x) = -g(x)$ (impaire) correspond à la symétrie par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour $x = -2$, comparer les valeurs de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^3$.
[qcm]
[option]$f(-2) < g(-2)$[/option]
[option]$f(-2) = g(-2)$[/option]
[option]Les deux courbes se coupent en $x = -2$[/option]
[option correct="true"]$f(-2) > g(-2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ et $g(-2) = (-2)^3 = -8$.
Comme $4 > -8$, on a $f(-2) > g(-2)$. La parabole est au-dessus de la courbe cubique en $x = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(-2) < g(-2)$"]Non.
Calculer : $f(-2) = (-2)^2 = 4$ (positif) et $g(-2) = (-2)^3 = -8$ (négatif). Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$f(-2) = g(-2)$"]Non.
Calculer : $(-2)^2 = 4$ et $(-2)^3 = -8$. Ces deux valeurs sont différentes.[/reponse]
[reponse motif="Les deux courbes se coupent en $x = -2$"]Non.
Les courbes se coupent quand $x^2 = x^3$, c'est-à-dire en $x = 0$ et $x = 1$ uniquement. En $x = -2$, les deux valeurs sont distinctes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $(-2)^2$ et $(-2)^3$, puis comparer les résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Encadrements et comparaisons

[enonce]
Ce QCM porte sur les encadrements et les comparaisons utilisant les fonctions carré et cube. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Si $-3 \leqslant x \leqslant 5$, quel est l'encadrement de $x^2$ ?
[qcm]
[option]$9 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option correct="true"]$0 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option]$-9 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option]$0 \leqslant x^2 \leqslant 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
L'intervalle $[-3\,;\,5]$ contient $0$. Le minimum de $x^2$ est donc $0$ (atteint en $x = 0$).
Le maximum est $\max\left((-3)^2\,;\,5^2\right) = \max(9\,;\,25) = 25$.
D'où $0 \leqslant x^2 \leqslant 25$.[/reponse]
[reponse motif="$9 \leqslant x^2 \leqslant 25$"]Non.
Attention, l'intervalle $[-3\,;\,5]$ contient $0$, et $0^2 = 0$. Le minimum de $x^2$ n'est pas $9$ mais $0$. Quand un intervalle contient $0$, le minimum du carré est toujours $0$.[/reponse]
[reponse motif="$-9 \leqslant x^2 \leqslant 25$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul : $x^2 \geqslant 0$. L'encadrement ne peut pas contenir de valeur négative. Recalculer $(-3)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant x^2 \leqslant 9$"]Non.
Le maximum de $x^2$ sur $[-3\,;\,5]$ est atteint à la borne la plus éloignée de $0$ en valeur absolue. Comparer $(-3)^2 = 9$ et $5^2 = 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est $0$ et le maximum est le plus grand des carrés des bornes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $-6 \leqslant x \leqslant -2$, quel est l'encadrement de $x^2$ ?
[qcm]
[option]$-36 \leqslant x^2 \leqslant -4$[/option]
[option]$0 \leqslant x^2 \leqslant 36$[/option]
[option correct="true"]$4 \leqslant x^2 \leqslant 36$[/option]
[option]$2 \leqslant x^2 \leqslant 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux bornes sont négatives. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, donc elle inverse l'ordre :
$(-6)^2 = 36$ et $(-2)^2 = 4$, d'où $4 \leqslant x^2 \leqslant 36$.[/reponse]
[reponse motif="$-36 \leqslant x^2 \leqslant -4$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. Les valeurs $-36$ et $-4$ ne peuvent pas être des carrés. Calculer $(-6)^2$ et $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant x^2 \leqslant 36$"]Non.
L'intervalle $[-6\,;\,-2]$ ne contient pas $0$, donc $x^2$ ne peut pas valoir $0$. Le minimum de $x^2$ est atteint à la borne la plus proche de $0$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \leqslant x^2 \leqslant 6$"]Non.
Les valeurs $2$ et $6$ sont les valeurs absolues des bornes, pas leurs carrés. Calculer $(-6)^2$ et $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les bornes sont négatives : la fonction carré est décroissante. Calculer les carrés des deux bornes et inverser l'ordre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $\sqrt{7}$ et $2{,}5$.
[qcm]
[option]$\sqrt{7} = 2{,}5$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{7} > 2{,}5$[/option]
[option]$\sqrt{7} < 2{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les deux nombres sont positifs. On compare leurs carrés :
$(\sqrt{7})^2 = 7$ et $(2{,}5)^2 = 6{,}25$.
Comme $7 > 6{,}25$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, on conclut $\sqrt{7} > 2{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7} = 2{,}5$"]Non.
Vérifier en élevant au carré : $(2{,}5)^2 = 6{,}25 \neq 7$. Comparer les carrés des deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
On peut comparer en élevant au carré. Les deux nombres sont positifs, donc la fonction carré conserve l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7} < 2{,}5$"]Non.
Élever au carré : $(\sqrt{7})^2 = 7$ et $(2{,}5)^2 = 6{,}25$. Comme la fonction carré est croissante sur les positifs, le plus grand nombre a le plus grand carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour comparer deux nombres positifs, élever les deux au carré et utiliser la croissance de la fonction carré sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $-5 < a < -3$. Comparer $a^2$ et $9$.
[qcm]
[option]$a^2 < 9$[/option]
[option correct="true"]$a^2 > 9$[/option]
[option]$a^2 = 9$[/option]
[option]On ne peut pas comparer sans connaître $a$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $-5 < a < -3$ et les nombres sont négatifs, on utilise les valeurs absolues : $3 < |a| < 5$.
La fonction carré est croissante sur les positifs, donc $9 < a^2 < 25$. En particulier, $a^2 > 9$.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 < 9$"]Non.
Attention, la fonction carré est décroissante sur les négatifs. Comme $a < -3$, on a $|a| > 3$ et donc $a^2 > 9$. L'ordre est inversé.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 = 9$"]Non.
$a^2 = 9$ correspondrait à $a = -3$, or $a < -3$ strictement. Utiliser la décroissance de la fonction carré sur les négatifs.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer sans connaître $a$"]Non.
Les variations de la fonction carré permettent de comparer sans calculer. Utiliser la décroissance sur les négatifs : si $a < -3$, que peut-on dire de $a^2$ par rapport à $(-3)^2$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la décroissance de la fonction carré sur $]-\infty\,;\,0]$ : si $a < -3 < 0$, comparer $a^2$ et $(-3)^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $0 < x < 1$, comparer $x$, $x^2$ et $x^3$.
[qcm]
[option]$x < x^2 < x^3$[/option]
[option]$x^2 < x^3 < x$[/option]
[option correct="true"]$x^3 < x^2 < x$[/option]
[option]$x^3 < x < x^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $0 < x < 1$ : en multipliant $x < 1$ par $x > 0$, on obtient $x^2 < x$.
En multipliant $x^2 < x$ par $x > 0$, on obtient $x^3 < x^2$.
D'où $x^3 < x^2 < x$.[/reponse]
[reponse motif="$x < x^2 < x^3$"]Non.
Cet ordre est valable pour $x > 1$, pas pour $0 < x < 1$. Tester avec $x = 0{,}5$ : $x = 0{,}5$, $x^2 = 0{,}25$, $x^3 = 0{,}125$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2 < x^3 < x$"]Non.
Tester avec $x = 0{,}5$ : $x^2 = 0{,}25$ et $x^3 = 0{,}125$. On a bien $x^3 < x^2$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$x^3 < x < x^2$"]Non.
Tester avec $x = 0{,}5$ : $x^2 = 0{,}25 < 0{,}5 = x$. Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est plus petit que le nombre lui-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester avec une valeur comme $x = 0{,}5$ : calculer $x$, $x^2$ et $x^3$, puis ranger dans l'ordre croissant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les courbes de $y = x^2$ et $y = x^3$ se coupent en :
[qcm]
[option]$x = 0$ uniquement[/option]
[option]$x = 1$ uniquement[/option]
[option]$x = 0$, $x = 1$ et $x = -1$[/option]
[option correct="true"]$x = 0$ et $x = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On résout $x^2 = x^3$, soit $x^2 - x^3 = 0$, soit $x^2(1 - x) = 0$.
Cela donne $x = 0$ ou $x = 1$. Les points d'intersection sont $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$ uniquement"]Non.
Vérifier pour $x = 1$ : $1^2 = 1$ et $1^3 = 1$. Les courbes se coupent aussi en ce point. Résoudre $x^2 = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$ uniquement"]Non.
Vérifier pour $x = 0$ : $0^2 = 0$ et $0^3 = 0$. Les courbes se coupent aussi en ce point. Résoudre $x^2 = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$, $x = 1$ et $x = -1$"]Non.
Vérifier pour $x = -1$ : $(-1)^2 = 1$ et $(-1)^3 = -1$. Comme $1 \neq -1$, les courbes ne se coupent pas en $x = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $x^2 = x^3$ en factorisant : $x^2(1 - x) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Position relative des courbes x, x² et x³

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la position relative des courbes $y = x$, $y = x^2$ et $y = x^3$, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout $x > 0$, on a $x^3 > x^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est vrai seulement si $x > 1$. Pour $0 < x < 1$, c'est l'inverse : par exemple pour $x = 0{,}5$, on a $x^3 = 0{,}125 < 0{,}25 = x^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La position relative de $x^2$ et $x^3$ dépend de la valeur de $x$. Pour $0 < x < 1$, on a $x^3 < x^2$ (par exemple $0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}25 = 0{,}5^2$). Ce n'est que pour $x > 1$ que $x^3 > x^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $0 < x < 1$, on a $x^3 < x^2$. L'inégalité $x^3 > x^2$ n'est vraie que pour $x > 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les courbes $y = x$, $y = x^2$ et $y = x^3$ se coupent en les points $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En $x = 0$ : $0 = 0^2 = 0^3 = 0$. En $x = 1$ : $1 = 1^2 = 1^3 = 1$. Ce sont les seuls points où les trois courbes passent simultanément pour $x \geqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour trouver les points communs, on résout $x = x^2 = x^3$. L'équation $x = x^2$ donne $x(x-1) = 0$, soit $x = 0$ ou $x = 1$. Pour ces deux valeurs, $x^3$ vaut aussi $0$ et $1$.
Les trois courbes passent bien par $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En $x = 0$ et $x = 1$, on a $x = x^2 = x^3$ : les trois courbes se coupent en $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = x^3$ admet une seule solution.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$x^2 = x^3$ équivaut à $x^3 - x^2 = 0$, soit $x^2(x - 1) = 0$. On obtient $x = 0$ ou $x = 1$ : il y a deux solutions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas diviser par $x^2$ sans vérifier que $x \neq 0$. En factorisant : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 1$.
La solution $x = 0$ est souvent oubliée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 = x^3$ donne $x^2(x-1) = 0$, soit deux solutions : $x = 0$ et $x = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour $x = 0{,}1$ : $x^3 < x^2 < x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$0{,}1^3 = 0{,}001$, $0{,}1^2 = 0{,}01$ et $0{,}1 = 0{,}1$. On a bien $0{,}001 < 0{,}01 < 0{,}1$. C'est le cas général quand $0 < x < 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour $0 < x < 1$, on a toujours $x^3 < x^2 < x$. On vérifie avec $x = 0{,}1$ :
$0{,}1^3 = 0{,}001$, $0{,}1^2 = 0{,}01$, $0{,}1 = 0{,}1$.
L'ordre $0{,}001 < 0{,}01 < 0{,}1$ est bien respecté.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour $0 < x < 1$ : $x^3 < x^2 < x$, vérifié ici avec $0{,}001 < 0{,}01 < 0{,}1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel positif $x$, on a $x^2 \geqslant x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Contre-exemple : pour $x = 0{,}5$, on a $x^2 = 0{,}25 < 0{,}5 = x$. L'inégalité $x^2 \geqslant x$ n'est vraie que pour $x \geqslant 1$ (ou $x = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On peut factoriser : $x^2 - x = x(x-1)$. Pour $0 < x < 1$, le facteur $x - 1$ est négatif, donc $x^2 - x < 0$, ce qui signifie $x^2 < x$.
L'inégalité $x^2 \geqslant x$ n'est vraie que pour $x \geqslant 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $0 < x < 1$, on a $x^2 < x$. Par exemple $0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $x > 1$ alors $x < x^2 < x^3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour $x > 1$ : $x^2 - x = x(x-1) > 0$ donc $x^2 > x$, et $x^3 - x^2 = x^2(x-1) > 0$ donc $x^3 > x^2$. D'où $x < x^2 < x^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel de la propriété du cours : pour $x > 1$, on a $x < x^2 < x^3$. On peut le vérifier avec $x = 2$ : $2 < 4 < 8$.
L'ordre s'inverse seulement quand $0 < x < 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour $x > 1$ : $x < x^2 < x^3$, par exemple $2 < 4 < 8$.
[/solution]
[/etape]