[enonce]
On considère le réel $x = \dfrac{17\pi}{6}$.
On souhaite placer son point image $M$ sur le cercle trigonométrique, puis lire les valeurs exactes de $\cos(x)$ et $\sin(x)$.
[/enonce]

[etape]
La mesure $\dfrac{17\pi}{6}$ n'appartient pas à $\left]-\pi\,;\pi\right]$. Donner la mesure principale associée à $x$.
[[mp]]
[math id="mp" attendu="\dfrac{5\pi}{6}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\dfrac{17\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{17\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$, et $\dfrac{5\pi}{6} \in \left]-\pi\,;\pi\right]$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{5\pi}{6}+2\pi"]Il s'agit bien d'une autre mesure de l'angle, mais elle n'est pas dans l'intervalle demandé.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{11\pi}{6}"]Attention : un seul tour ne suffit pas forcément, et le résultat doit appartenir à $\left]-\pi\,;\pi\right]$. Vérifier dans quel intervalle se trouve la valeur obtenue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Ajouter ou retrancher des multiples de $2\pi$ jusqu'à obtenir une mesure dans $\left]-\pi\,;\pi\right]$.[/reponse]
[aide essai="2"]La mesure principale est l'unique mesure de l'angle appartenant à $\left]-\pi\,;\pi\right]$. Écrire $2\pi$ avec le dénominateur $6$.[/aide]
[aide essai="3"]Retrancher $\dfrac{12\pi}{6}$ à $\dfrac{17\pi}{6}$ et vérifier que le résultat est bien dans l'intervalle.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{17\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{17\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$. Comme $\dfrac{5\pi}{6} \in \left]-\pi\,;\pi\right]$, la mesure principale est $\dfrac{5\pi}{6}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans quel cadran du cercle trigonométrique se trouve le point image $M$ ?
[qcm]
[option]Cadran haut-droit[/option]
[option correct="true"]Cadran haut-gauche[/option]
[option]Cadran bas-gauche[/option]
[option]Cadran bas-droit[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La mesure principale vérifie $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{5\pi}{6} < \pi$ : le point est au-dessus de l'axe des abscisses et à gauche de l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="Cadran haut-droit"]Comparer la mesure principale à $\dfrac{\pi}{2}$. Un angle compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ donne le cadran haut-droit ; ce n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse motif="Cadran bas-gauche"]La mesure principale est positive : le point est donc au-dessus de l'axe des abscisses, pas en dessous.[/reponse]
[reponse motif="Cadran bas-droit"]La mesure principale est positive : on tourne dans le sens direct. Comparer ensuite la valeur à $\dfrac{\pi}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On place $M$ en parcourant depuis le point $I(1\,;0)$ un arc dans le sens direct. Parmi ces positions repérées sur le cercle, laquelle correspond au point image de $x$ ?
[[pos]]
[select id="pos"]
[option]Le point situé exactement sur l'axe des ordonnées, en haut.[/option]
[option correct="true"]Le point situé entre l'axe des ordonnées (en haut) et l'axe des abscisses (à gauche), plus proche de l'axe des abscisses.[/option]
[option]Le point situé entre l'axe des ordonnées (en haut) et l'axe des abscisses (à gauche), plus proche de l'axe des ordonnées.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{5\pi}{6}$ est proche de $\pi$ (un demi-tour) : le point est presque sur l'axe des abscisses négatif, légèrement au-dessus.[/reponse]
[reponse motif="Le point situé exactement sur l'axe des ordonnées, en haut."]Ce point correspondrait à un quart de tour, soit $\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{6}$. Comparer cette valeur à la mesure principale trouvée.[/reponse]
[reponse motif="Le point situé entre l'axe des ordonnées (en haut) et l'axe des abscisses (à gauche), plus proche de l'axe des ordonnées."]Bon cadran, mais regarder de quel demi-axe la mesure principale est la plus proche : $\dfrac{5\pi}{6}$ est-il plus près de $\dfrac{\pi}{2}$ ou de $\pi$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Situer la mesure principale entre $\dfrac{\pi}{2}$ (quart de tour) et $\pi$ (demi-tour), et repérer de quel demi-axe elle est la plus proche.[/reponse]
[aide essai="2"]Écrire $\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{6}$ et $\pi = \dfrac{6\pi}{6}$ pour comparer avec $\dfrac{5\pi}{6}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{5\pi}{6}$ est très proche de $\dfrac{6\pi}{6} = \pi$ : le point est donc juste au-dessus de l'axe des abscisses négatif.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Donner la valeur exacte de $\cos(x)$.
[[c]]
[math id="c" attendu="-\dfrac{\sqrt{3}}{2}"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$M$ est l'image de l'angle associé $\dfrac{\pi}{6}$ par symétrie d'axe $(Oy)$ : $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{\sqrt{3}}{2}"]Le signe ne convient pas : dans ce cadran, l'abscisse d'un point est négative. Quel est le signe du cosinus à gauche de l'axe des ordonnées ?[/reponse]
[reponse motif="-\dfrac{1}{2}"]Il ne faut pas confondre : $-\dfrac{1}{2}$ est l'ordonnée d'un autre angle remarquable. Revoir quelle coordonnée donne le cosinus.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}"]C'est la valeur du sinus de cet angle, pas celle du cosinus. Le cosinus est l'abscisse de $M$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le cosinus se lit en abscisse du point image $M$. Penser à l'angle remarquable associé à $\dfrac{\pi}{6}$ et au signe imposé par le cadran.[/reponse]
[aide essai="1"]Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un réel est l'abscisse de son point image $M$.[/aide]
[aide essai="2"]La valeur absolue du cosinus est la même que pour l'angle $\dfrac{\pi}{6}$. Reste à déterminer le signe d'après le cadran.[/aide]
[aide essai="3"]Dans le cadran haut-gauche, l'abscisse est négative. La valeur cherchée a pour valeur absolue $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner la valeur exacte de $\sin(x)$.
[[s]]
[math id="s" attendu="\dfrac{1}{2}"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ : l'ordonnée est positive dans le cadran haut-gauche.[/reponse]
[reponse motif="-\dfrac{1}{2}"]Le point se trouve au-dessus de l'axe des abscisses : son ordonnée, donc son sinus, ne peut pas être négatif.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{\sqrt{3}}{2}"]Il ne faut pas intervertir : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ correspond à l'abscisse de $M$. L'ordonnée donne le sinus.[/reponse]
[reponse motif="-\dfrac{\sqrt{3}}{2}"]C'est la valeur du cosinus trouvée à l'étape précédente. Le sinus se lit sur l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le sinus se lit en ordonnée du point image $M$. Reprendre l'angle remarquable associé à $\dfrac{\pi}{6}$ et le signe donné par le cadran.[/reponse]
[aide essai="1"]Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un réel est l'ordonnée de son point image $M$.[/aide]
[aide essai="2"]La valeur absolue du sinus est la même que pour l'angle $\dfrac{\pi}{6}$. Déterminer le signe d'après le cadran.[/aide]
[aide essai="3"]Dans le cadran haut-gauche, l'ordonnée est positive. La valeur cherchée a pour valeur absolue $\dfrac{1}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour conclure, parmi ces couples de coordonnées, lequel est celui du point image $M$ ?
[qcm]
[option]$\left(\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$[/option]
[option correct="true"]$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$[/option]
[option]$\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$[/option]
[option]$\left(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le point image a pour coordonnées $\left(\cos(x)\,;\sin(x)\right) = \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$, ce qui le situe bien dans le cadran haut-gauche, près de l'axe des abscisses.

[/reponse]
[reponse motif="$\left(\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$"]Les deux coordonnées sont à revoir : abscisse et ordonnée ont été inversées, et les signes ne correspondent pas au cadran.[/reponse]
[reponse motif="$\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$"]L'abscisse et l'ordonnée ont été inversées. Le cosinus est l'abscisse, le sinus l'ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="$\left(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$"]Les valeurs $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ont été échangées entre les deux axes. Reprendre les valeurs trouvées aux deux étapes précédentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les coordonnées de $M$ sont $\left(\cos(x)\,;\sin(x)\right)$. Réutiliser les deux valeurs obtenues juste avant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]