QCM Bilan : Nombres complexes et algèbre
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : forme algébrique, conjugué et module, équations du second degré et forme exponentielle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
La forme algébrique de $z = \dfrac{(1 + i)^{2}}{1 - i}$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$-1 + i$[/option]
[option]$1 - i$[/option]
[option]$-1 - i$[/option]
[option]$1 + i$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On simplifie d'abord le numérateur : $(1 + i)^{2} = 2i$.
Puis $\dfrac{2i}{1 - i} = \dfrac{2i(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{2i + 2i^{2}}{2} = \dfrac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$.[/reponse]
[reponse motif="$1 - i$"]Non.
Erreur double sur les signes. Recommencer le calcul du numérateur en remplaçant correctement $i^{2}$ par $-1$, puis diviser par le module au carré du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$-1 - i$"]Non.
La partie imaginaire devrait être positive. Au numérateur, après multiplication par $1 + i$, on obtient $2i + 2i^{2} = -2 + 2i$ et non $-2 - 2i$.[/reponse]
[reponse motif="$1 + i$"]Non.
Erreur de signe sur la partie réelle. Bien remplacer $i^{2}$ par $-1$ : $2i^{2}$ vaut $-2$, ce qui rend la partie réelle négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Stratégie : développer $(1 + i)^{2}$ d'abord, puis multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour rendre celui-ci réel.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le module de $z = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}$ vaut :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise $\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$.
$|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + 3} = 2$ et $|1 - i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Donc $|z| = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Les modules ne s'annulent pas dans une division. Calculer séparément les modules du numérateur et du dénominateur, puis effectuer le quotient.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
On a calculé uniquement le module du numérateur, sans tenir compte de la division par $|1 - i| = \sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$"]Non.
Le quotient des modules est inversé. Au numérateur figure le module de $1 + i\sqrt{3}$, au dénominateur celui de $1 - i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un quotient, $|z_{1}/z_{2}| = |z_{1}|/|z_{2}|$. Calculer chaque module avec $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$, puis simplifier le quotient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Le conjugué de $z = (3 + 2i)(1 - i)$ est :
[qcm]
[option]$5 - i$[/option]
[option correct="true"]$5 + i$[/option]
[option]$-5 + i$[/option]
[option]$-5 - i$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Première méthode : développer puis conjuguer.
$z = 3 - 3i + 2i - 2i^{2} = 3 - i + 2 = 5 - i$, donc $\overline{z} = 5 + i$.
Deuxième méthode : utiliser $\overline{ab} = \overline{a} \times \overline{b}$. $\overline{z} = (3 - 2i)(1 + i) = 3 + 3i - 2i - 2i^{2} = 5 + i$.[/reponse]
[reponse motif="$5 - i$"]Non.
$5 - i$ est la valeur de $z$ lui-même, pas de son conjugué. Le conjugué oppose la partie imaginaire.[/reponse]
[reponse motif="$-5 + i$"]Non.
La partie réelle ne change pas par conjugaison. Pour $z = 5 - i$, on a $\overline{z} = 5 + i$ avec la même partie réelle $+5$.[/reponse]
[reponse motif="$-5 - i$"]Non.
Le conjugué et l'opposé ne sont pas la même opération. $\overline{z} = 5 + i$ tandis que $-z = -5 + i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Soit on développe $z$ puis on prend le conjugué (en opposant la partie imaginaire), soit on utilise $\overline{ab} = \overline{a} \times \overline{b}$ avant développement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La forme exponentielle de $z = -1 + i$ est :
[qcm]
[option]$\sqrt{2}\, e^{i\pi/4}$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{2}\, e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[option]$2\, e^{i\,3\pi/4}$[/option]
[option]$\sqrt{2}\, e^{-i\pi/4}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$|z| = \sqrt{(-1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$.
Pour l'argument $\theta$ : $\cos\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Le point image est dans le deuxième quadrant : $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$.
Donc $z = \sqrt{2}\, e^{i\,3\pi/4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\, e^{i\pi/4}$"]Non.
$\dfrac{\pi}{4}$ correspond à $1 + i$, dont la partie réelle est positive. Or ici $a = -1$ : le point image est dans le deuxième quadrant, donc l'argument est entre $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$.[/reponse]
[reponse motif="$2\, e^{i\,3\pi/4}$"]Non.
Erreur sur le module. Pour $z = -1 + i$, $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ et non $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\, e^{-i\pi/4}$"]Non.
$-\dfrac{\pi}{4}$ correspond à $1 - i$ (quatrième quadrant). Ici $z = -1 + i$ a une partie réelle négative et une partie imaginaire positive : il faut donc être dans le deuxième quadrant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $|z|$, puis identifier $\theta$ via $\cos\theta = a/|z|$ et $\sin\theta = b/|z|$ en plaçant le point dans le bon quadrant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $z$ tel que $z^{2} = -4$. Une valeur possible de $z$ est :
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$-2$[/option]
[option correct="true"]$2i$[/option]
[option]$4i$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche $z$ tel que $z^{2} = -4$. Avec $z = 2i$ : $z^{2} = (2i)^{2} = 4i^{2} = -4$. C'est bien le cas.
L'autre solution est $z = -2i$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2^{2} = 4$ et non $-4$. Pour obtenir un carré négatif, il faut faire intervenir $i$ (avec $i^{2} = -1$).[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
$(-2)^{2} = 4$ : le carré d'un réel est toujours positif ou nul. Pour $z^{2} = -4$, $z$ doit être imaginaire pur.[/reponse]
[reponse motif="$4i$"]Non.
$(4i)^{2} = 16 \times i^{2} = -16$, et non $-4$. On a oublié de prendre la racine carrée du module : $\sqrt{4} = 2$, donc $z = 2i$ (ou $-2i$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $z^{2} = a$ avec $a < 0$, les solutions s'écrivent $z = \pm i\sqrt{-a}$. Ici $\sqrt{4} = 2$, donc $z = \pm 2i$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Les solutions de l'équation $z^{2} - 4z + 7 = 0$ dans $\mathbb{C}$ sont :
[qcm]
[option correct="true"]$2 + i\sqrt{3}$ et $2 - i\sqrt{3}$[/option]
[option]$-2 + i\sqrt{3}$ et $-2 - i\sqrt{3}$[/option]
[option]$2 + \sqrt{3}$ et $2 - \sqrt{3}$[/option]
[option]$4 + i\sqrt{12}$ et $4 - i\sqrt{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\Delta = 16 - 28 = -12 < 0$. Les solutions sont $z = \dfrac{4 \pm i\sqrt{12}}{2} = 2 \pm i\sqrt{3}$ (en simplifiant $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$).[/reponse]
[reponse motif="$-2 + i\sqrt{3}$ et $-2 - i\sqrt{3}$"]Non.
Erreur de signe sur la partie réelle. Avec $b = -4$, $-b = +4$, donc $\dfrac{-b}{2a} = +2$ et non $-2$.[/reponse]
[reponse motif="$2 + \sqrt{3}$ et $2 - \sqrt{3}$"]Non.
On a oublié le facteur $i$. Comme $\Delta < 0$, la formule introduit $i\sqrt{-\Delta}$ : les racines ne sont pas réelles.[/reponse]
[reponse motif="$4 + i\sqrt{12}$ et $4 - i\sqrt{12}$"]Non.
On a oublié de diviser le numérateur par $2a = 2$. Chaque terme du numérateur doit être divisé : $\dfrac{4}{2} = 2$ et $\dfrac{i\sqrt{12}}{2} = i\sqrt{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta = b^{2} - 4ac$, vérifier qu'il est négatif, puis appliquer $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ en simplifiant la racine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Nombres complexes et probabilités
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $ (O ; \vec{u} , \vec{v} ) $.
Une urne contient trois boules indiscernables au toucher marquées $ 1, 2, 3 $. Une épreuve consiste à prélever une première boule de l'urne dont le numéro sera noté $ a $ puis, sans la remettre dans l'urne, une seconde boule dont le numéro sera noté $ b $.
Au résultat $ (a ; b) $ du tirage, on associe l'application du plan complexe dans lui-même qui à tout point $ M $ d'affixe $ z $ fait correspondre le point $ M^\prime $ d'affixe $ z^\prime $ tel que $ z^\prime= \alpha z $ avec $ \alpha = \dfrac{a}{2} e^{ib \frac{ \pi }{3} } $.
Quels sont les résultats $ (a ; b) $ possibles ? Quelles sont les valeurs de $ \alpha $ correspondantes ?
Soit $ A $ le point d'affixe $ z_0= \sqrt{3} + i $ et $ A^\prime $ le point d'affixe $ z_0^\prime = \alpha z_0 $ image de $ A $ par l'application associée au résultat d'une épreuve. Calculer le module et l' argument de $ z_0 $ et ceux de $ z^\prime_0 $ suivant les valeurs de $ (a ; b) $.
Calculer la probabilité de l'événement $ E_1 $ : $ O, A $ et $ A^\prime $ sont alignés puis celle de l'événement $ E_2 $ : $ z^\prime_0 $ est un imaginaire pur.
Soit $ X $ la variable aléatoire qui, à chaque épreuve, associe le module de $ z^\prime_0 $. Donner la loi de probabilité de $ X $ et calculer son espérance.
Les résultats $(a ; b)$ possibles et les valeurs de $\alpha$ correspondantes sont données dans le tableau ci-dessous :
| $(a ; b)$ |
$(1 ; 2)$ |
$(1 ; 3)$ |
$(2 ; 1)$ |
$(2 ; 3)$ |
$(3 ; 1)$ |
$(3 ; 2)$ |
| $\alpha$ |
$\dfrac{1}{2}e^{i \frac{2\pi}{3}}$ |
$\dfrac{1}{2}e^{i\pi}$ |
$e^{i \frac{\pi}{3}}$ |
$e^{i\pi}$ |
$\dfrac{3}{2}e^{i \frac{\pi}{3}}$ |
$\dfrac{3}{2}e^{i \frac{2\pi}{3}}$ |
| $z'_0 = \alpha z_0$ |
$e^{i \frac{5\pi}{6}}$ |
$e^{i \frac{7\pi}{6}}$ |
$2e^{i \frac{\pi}{2}}$ |
$2e^{i \frac{7\pi}{6}}$ |
$3e^{i \frac{\pi}{2}}$ |
$3e^{i \frac{5\pi}{6}}$ |
| $\lvert z'_0 \rvert$ |
$1$ |
$1$ |
$2$ |
$2$ |
$3$ |
$3$ |
| $\arg(z'_0)$ |
$\dfrac{5\pi}{6}$ |
$\dfrac{7\pi}{6}$ |
$\dfrac{\pi}{2}$ |
$\dfrac{7\pi}{6}$ |
$\dfrac{\pi}{2}$ |
$\dfrac{5\pi}{6}$ |
| $X$ |
$1$ |
$1$ |
$2$ |
$2$ |
$3$ |
$3$ |
(Le calcul de $z_0$ est fait à la question suivante).
La loi de la variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant :
| $x_i$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
| $p(X=x_i)$ |
$\dfrac{1}{3}$ |
$\dfrac{1}{3}$ |
$\dfrac{1}{3}$ |
Soit $A$ le point d'affixe $z_0 = \sqrt{3} + i$. Sous la forme exponentielle, $z_0$ s'écrit : $z_0 = r e^{i\theta}$ avec :
$r = |z_0| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$
$\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta) = \dfrac{1}{2}$, soit $\arg(z_0) = \theta = \dfrac{\pi}{6}$ modulo $(2\pi)$.
D'où :
$ z_0 = 2e^{i \frac{\pi}{6}} $
Soit $A'$ le point d'affixe $z'_0 = \alpha z_0$. Les notations exponentielles, les modules et les arguments de $z'_0$ suivant les valeurs de $(a ; b)$ sont donnés dans le tableau ci-dessus.
$O, A$ et $A'$ sont alignés si $\arg(z'_0) = \arg(z_0) + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, soit :
$ \arg(z'_0) = \arg(z_0) + k\pi = \theta + k\pi = \dfrac{\pi}{6} + k\pi $
Dans le tableau ceci se vérifie pour $\arg(z'_0) = \dfrac{7\pi}{6}$ ($k = 1$), et correspond à deux événements possibles : $(1 ; 3)$ et $(2 ; 3)$.
On a donc $p(E_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
$z'_0$ est un imaginaire pur pour : $\arg(z'_0) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Dans le tableau ceci correspond à deux événements possibles : $(2 ; 1)$ et $(3 ; 1)$.
On a donc $p(E_2) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
La loi de probabilité de $X$ est donnée dans le tableau de la question 1.
Son espérance mathématique est :
$ E(X) = 1 \cdot \dfrac{1}{3} + 2 \cdot \dfrac{1}{3} + 3 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 $
→ Pour réviser : Calculer le module et un argument d'un nombre complexe
Suites et complexes – Bac S Antilles Guyane 2013
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité On considère la suite $ \left(z_{n}\right) $ à termes complexes définie par : $ z_{0}=1+i $ et, pour tout entier naturel $ n $, par
$ z_{n+1}= \dfrac{z_{n}+|z_{n}|}{3}. $
Pour tout entier naturel $ n $, on pose : $ z_{n}=a_{n}+ib_{n} $, où $ a_{n} $ est la partie réelle de $ z_{n} $ et $ b_{n} $ est la partie imaginaire de $ z_{n} $.
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $ \left(a_{n}\right) $ et $ \left(b_{n}\right) $.
Partie A
- Donner $ a_{0} $ et $ b_{0} $.
- Calculer $ z_{1} $, puis en déduire que $ a_{1}=\dfrac{1 +\sqrt{2}}{3} $ et $ b_{1}=\dfrac{1}{3} $.
On considère l'algorithme suivant :
| Variables : |
A et B des nombres réels |
| |
K et N des nombres entiers |
| Initialisation : |
Affecter à A la valeur 1 |
| |
Affecter à B la valeur 1 |
| Traitement : |
Entrer la valeur de N |
| |
Pour K variant de 1 à N |
| |
$ \quad $Affecter à A la valeur $ \dfrac{A +\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{3} $ |
| |
$ \quad $Affecter à B la valeur $ \dfrac{B}{3} $. |
| |
Fin Pour |
| |
Afficher A |
On exécute cet algorithme en saisissant $ N=2 $. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $ 10^{ - 4} $ près).
- Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice
Partie B
Pour tout entier naturel $ n $, exprimer $ z_{n+1} $ en fonction de $ a_{n} $ et $ b_{n} $.
En déduire l'expression de $ a_{n+1} $ en fonction de $ a_{n} $ et $ b_{n} $, et l'expression de $ b_{n+1} $ en fonction de $ b_{n} $.
- Quelle est la nature de la suite $ \left(b_{n}\right) $ ? En déduire l'expression de $ b_{n} $ en fonction de $ n $, et déterminer la limite de la suite $ \left(b_{n}\right) $.
On rappelle que pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ :
$ |z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}| $
(inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
$ |z_{n +1}|\leqslant \dfrac{2|z_{n}|}{3}. $
Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ u_{n}=|z_{n}| $.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $,
$ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2}. $
En déduire que la suite $ \left(u_{n}\right) $ converge vers une limite que l'on déterminera.
Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, $ |a_{n}| \leqslant u_{n} $.
En déduire que la suite $ \left(a_{n}\right) $ converge vers une limite que l'on déterminera
Partie A
Comme $ z_{0}=1+i $, on a :
$ a_{0}=1 \quad \text{et} \quad b_{0}=1 $
Calculons $ z_{1} $ :
$ z_{1} = \dfrac{z_{0}+|z_{0}|}{3} = \dfrac{1+i+\sqrt{1^2+1^2}}{3} = \dfrac{1+i+\sqrt{2}}{3} = \dfrac{1+\sqrt{2}}{3} + i\dfrac{1}{3} $
On en déduit par identification des parties réelle et imaginaire :
$ a_{1}=\dfrac{1 +\sqrt{2}}{3} \quad \text{et} \quad b_{1}=\dfrac{1}{3} $
Voici le tableau complété :
| K |
A |
B |
| 1 |
0{,}8047 |
0{,}3333 |
| 2 |
0{,}5586 |
0{,}1111 |
- La valeur affichée par l'algorithme pour un nombre $ N $ donné correspond à la valeur de $ a_{N} $, la partie réelle du terme $ z_{N} $.
Partie B
Pour tout entier naturel $ n $ :
$ z_{n+1} = \dfrac{a_n + i b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} = \dfrac{a_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} + i \dfrac{b_n}{3} $
On en déduit :
$ a_{n+1} = \dfrac{a_{n} + \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}{3} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \dfrac{b_{n}}{3} $
On a $ b_{n+1} = \dfrac{1}{3} b_{n} $.
La suite $ \left(b_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = \dfrac{1}{3} $ et de premier terme $ b_{0} = 1 $.
L'expression de $ b_{n} $ en fonction de $ n $ est :
$ b_{n} = b_{0} \times q^{n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} $
Comme $ -1 < \dfrac{1}{3} < 1 $, on a :
$ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} = 0 $
D'où $ \lim\limits_{n \to +\infty} b_{n} = 0 $.
Pour tout entier naturel $ n $ :
$ |z_{n +1}| = \left| \dfrac{z_{n}+|z_{n}|}{3} \right| = \dfrac{1}{3} |z_{n}+|z_{n}|| $
D'après l'inégalité triangulaire $ |z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}| $, en posant $ z = z_n $ et $ z' = |z_n| $ :
$ |z_n + |z_n|| \leqslant |z_n| + ||z_n|| = 2|z_n| $
Donc :
$ |z_{n +1}|\leqslant \dfrac{2}{3}|z_{n}| $
Soit $ \mathcal{P}_n $ la propriété : $ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2} $.
Initialisation : Pour $ n=0 $, $ u_0 = |z_0| = \sqrt{2} $.
$ (2/3)^0 \sqrt{2} = \sqrt{2} $, donc $ u_0 \leqslant \sqrt{2} $. $ \mathcal{P}_0 $ est vraie.
Hérédité : Supposons $ \mathcal{P}_n $ vraie pour un certain entier $ n \geqslant 0 $.
On a $ u_{n+1} = |z_{n+1}| \leqslant \dfrac{2}{3} |z_n| = \dfrac{2}{3} u_n $.
Par hypothèse de récurrence : $ u_n \leqslant (2/3)^n \sqrt{2} $.
Donc $ u_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{3} \times (2/3)^n \sqrt{2} = (2/3)^{n+1} \sqrt{2} $.
L'hérédité est démontrée.
Conclusion : Par le principe de récurrence, $ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2} $ pour tout entier naturel $ n $.
Comme $ 0 < \dfrac{2}{3} < 1 $, $ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} = 0 $.
D'après le théorème des gendarmes (car $ u_n = |z_n| \geqslant 0 $) :
$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0 $
Pour tout complexe $ z = x+iy $, $ |x| = \sqrt{x^2} \leqslant \sqrt{x^2+y^2} = |z| $.
Ici, $ a_n $ est la partie réelle de $ z_n $, donc :
$ |a_{n}| \leqslant |z_n| = u_{n} $
Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0 $, d'après le théorème des gendarmes :
$ \lim\limits_{n \to +\infty} |a_n| = 0 \quad \text{donc} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0 $
