QCM Bilan : Orthogonalité dans l’espace
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : produit scalaire et orthogonalité, vecteur normal et équation cartésienne, projeté orthogonal et distance d'un point à un plan. Choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit le plan $\mathscr P : 2x + y - 2z + 5 = 0$ et le point $A(1~;~2~;~-1)$. Quelle est la distance de $A$ à $\mathscr P$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{11}{3}$[/option]
[option]$11$[/option]
[option]$\dfrac{11}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule de la distance d'un point à un plan :
$d(A,~\mathscr P) = \dfrac{|2x_A + y_A - 2z_A + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{|2 \times 1 + 2 - 2 \times (-1) + 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{|2 + 2 + 2 + 5|}{\sqrt{9}} = \dfrac{11}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
La valeur $11$ correspond à la valeur absolue du numérateur, mais la division par $\|\vec{n}\|$ a été oubliée. La distance est obtenue en divisant par la norme du vecteur normal.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{9}$"]Non.
La division a été faite par $\|\vec{n}\|^2 = 9$ au lieu de $\|\vec{n}\| = 3$. La formule comporte la racine carrée au dénominateur, pas $a^2 + b^2 + c^2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Erreur de calcul au numérateur. Reprendre la somme $2 \times 1 + 2 - 2 \times (-1) + 5$ avec attention aux signes : on obtient $11$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $d(A,~\mathscr P) = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ en identifiant $a$, $b$, $c$, $d$ dans l'équation du plan.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère un cube $ABCDEFGH$. La droite $(AE)$ est-elle perpendiculaire au plan $(ABC)$ ?
[qcm]
[option]Oui, car $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$[/option]
[option]Non, car $\overrightarrow{AE}$ ne joint pas deux points du plan $(ABC)$[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans coordonnées numériques[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, deux vecteurs directeurs sécants du plan $(ABC)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.
Dans un cube, $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ (face $ABFE$, angle droit en $A$) et à $\overrightarrow{AD}$ (face $ADHE$, angle droit en $A$).
Or $(AB)$ et $(AD)$ sont sécantes en $A$ et incluses dans le plan $(ABCD) = (ABC)$. Donc $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $\overrightarrow{AE}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$"]Pas tout à fait.
L'orthogonalité à une seule droite du plan ne suffit pas. La propriété demande l'orthogonalité à deux droites sécantes du plan, pour garantir l'orthogonalité à toutes les droites du plan.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\overrightarrow{AE}$ ne joint pas deux points du plan $(ABC)$"]Non.
Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, elle ne doit pas être incluse dans ce plan, justement. Le critère porte sur l'orthogonalité avec deux droites sécantes du plan.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans coordonnées numériques"]Non.
Dans un cube, les angles droits entre arêtes adjacentes suffisent pour conclure géométriquement, sans calcul de coordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans ce plan.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On donne $A(1~;~0~;~0)$, $B(0~;~2~;~0)$ et $C(0~;~0~;~3)$. Quelle est une équation cartésienne du plan $(ABC)$ ?
[qcm]
[option]$x + 2y + 3z - 6 = 0$[/option]
[option correct="true"]$6x + 3y + 2z - 6 = 0$[/option]
[option]$6x + 3y + 2z = 0$[/option]
[option]$x + y + z - 6 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche un vecteur normal $\vec{n}(a~;~b~;~c)$ orthogonal à $\overrightarrow{AB}(-1~;~2~;~0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1~;~0~;~3)$ :
$\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 0 ~~ \text{donne} ~~ -a + 2b = 0$
$\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n} = 0 ~~ \text{donne} ~~ -a + 3c = 0$
On en déduit $a = 2b$ et $a = 3c$. En posant $a = 6$, on obtient $b = 3$ et $c = 2$, soit $\vec{n}(6~;~3~;~2)$.
L'équation est de la forme $6x + 3y + 2z + d = 0$. Le point $A(1~;~0~;~0)$ étant dans le plan, on a $6 + d = 0$, soit $d = -6$.[/reponse]
[reponse motif="$x + 2y + 3z - 6 = 0$"]Non.
Une confusion s'est produite : les coordonnées des points sur les axes $1$, $2$, $3$ ont été utilisées comme coefficients de l'équation. Le vecteur normal doit être déterminé par orthogonalité aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="$6x + 3y + 2z = 0$"]Non.
Le terme constant $d$ a été oublié. Substituer les coordonnées d'un des points $A$, $B$ ou $C$ dans l'équation pour déterminer $d$.[/reponse]
[reponse motif="$x + y + z - 6 = 0$"]Non.
Le vecteur $(1~;~1~;~1)$ n'est pas un vecteur normal au plan $(ABC)$. Vérifier : $\overrightarrow{AB} \cdot (1~;~1~;~1) = -1 + 2 + 0 = 1 \neq 0$, donc l'orthogonalité n'est pas satisfaite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer un vecteur normal $\vec{n}$ via les conditions $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 0$ et $\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n} = 0$, puis utiliser un point du plan pour déterminer $d$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit le plan $\mathscr P : x + y + z = 0$ et $A(1~;~1~;~1)$. Quelle est la distance de $A$ à $\mathscr P$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{3}$[/option]
[option]$\sqrt{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On applique la formule de la distance d'un point à un plan :
$d(A,~\mathscr P) = \dfrac{|x_A + y_A + z_A|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{|1 + 1 + 1|}{\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
(en utilisant $\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$).[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La valeur $3$ correspond au numérateur seul, sans la division par $\|\vec{n}\| = \sqrt{3}$. La distance se calcule avec le dénominateur en racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$"]Non.
Le numérateur est $|1 + 1 + 1| = 3$, et non $1$. Reprendre la substitution des coordonnées de $A$ dans l'expression $|ax_A + by_A + cz_A + d|$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{6}$"]Non.
La norme du vecteur normal est $\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$, et non $\sqrt{6}$. Reprendre le calcul de $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ avec les coefficients de l'équation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $d(A,~\mathscr P) = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ en identifiant $a$, $b$, $c$, $d$, puis simplifier le quotient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit la droite $d$ passant par $A(0~;~1~;~-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1~;~-1~;~2)$, et le plan $\mathscr P : 2x + y - z + 3 = 0$. Quelle est la position relative de $d$ et $\mathscr P$ ?
[qcm]
[option]Parallèle à $\mathscr P$ et non incluse[/option]
[option]Incluse dans $\mathscr P$[/option]
[option]Perpendiculaire à $\mathscr P$[/option]
[option correct="true"]Sécante à $\mathscr P$ mais non perpendiculaire[/option]
[reponse statut="correct"]Très bien !
Le vecteur normal de $\mathscr P$ est $\vec{n}(2~;~1~;~-1)$. On compare $\vec{u}$ et $\vec{n}$ :
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + (-1) \times 1 + 2 \times (-1) = 2 - 1 - 2 = -1 \neq 0$.
Comme $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$, $\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n}$ : la droite n'est pas parallèle au plan, donc elle est sécante.
De plus $\vec{u}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires (les coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc la droite n'est pas perpendiculaire au plan.
Conclusion : $d$ est sécante à $\mathscr P$ mais non perpendiculaire.[/reponse]
[reponse motif="Parallèle à $\mathscr P$ et non incluse"]Non.
Pour le parallélisme, il faut $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ (vecteur directeur orthogonal au vecteur normal). Calculer ce produit scalaire : on n'obtient pas $0$.[/reponse]
[reponse motif="Incluse dans $\mathscr P$"]Non.
Pour l'inclusion, il faut à la fois $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ (parallélisme) et que $A \in \mathscr P$. La première condition n'est pas satisfaite, donc l'inclusion est impossible.[/reponse]
[reponse motif="Perpendiculaire à $\mathscr P$"]Non.
Pour la perpendicularité, il faut que $\vec{u}$ et $\vec{n}$ soient colinéaires. Tester la proportionnalité de leurs coordonnées : ce n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $\vec{u} \cdot \vec{n}$ : si nul, la droite est parallèle (incluse ou non). Sinon, elle est sécante. Pour distinguer perpendiculaire / non perpendiculaire, tester la colinéarité de $\vec{u}$ et $\vec{n}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Dans un repère orthonormé, soit $A(2~;~1~;~-1)$ et le vecteur $\vec{n}(1~;~-1~;~m)$. Pour quelle valeur de $m$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ contient-il le point $B(0~;~3~;~1)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$m = 2$[/option]
[option]$m = -2$[/option]
[option]$m = 4$[/option]
[option]$m = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$B$ appartient au plan si et seulement si $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 0$.
On calcule $\overrightarrow{AB}(0 - 2~;~3 - 1~;~1 - (-1)) = (-2~;~2~;~2)$.
Puis $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = -2 \times 1 + 2 \times (-1) + 2 \times m = -2 - 2 + 2m = 2m - 4$.
On résout $2m - 4 = 0$, soit $m = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$m = -2$"]Non.
Erreur de signe sur $m$. Reprendre la résolution de $2m - 4 = 0$ : on isole $m = \dfrac{4}{2} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$m = 4$"]Non.
La résolution de $2m - 4 = 0$ donne $m = 2$ (en divisant par $2$), et non $m = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$m = 0$"]Non.
Si $m = 0$, le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}$ vaudrait $-2 - 2 + 0 = -4$, ce qui n'est pas nul. La condition d'appartenance n'est pas satisfaite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la caractérisation $B \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 0$. Calculer le produit scalaire en fonction de $m$, puis résoudre l'équation obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
