[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\sin(-x) = \sin x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$. C'est la fonction cosinus qui est paire ($\cos(-x) = \cos x$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre sinus et cosinus : le sinus est impair ($\sin(-x) = -\sin x$), le cosinus est pair ($\cos(-x) = \cos x$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le sinus est impair : $\sin(-x) = -\sin x$. La formule de l'affirmation correspondrait au cosinus.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\cos(x + \pi) = \cos x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La période du cosinus est $2\pi$ et non $\pi$. Plus précisément, $\cos(x + \pi) = -\cos x$ (le point sur le cercle trigonométrique est diamétralement opposé).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, la période du cosinus est $2\pi$ : on a $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, mais ajouter seulement $\pi$ change le signe.
On a en réalité $\cos(x + \pi) = -\cos x$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La période du cosinus est $2\pi$ ; on a $\cos(x + \pi) = -\cos x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(2x)$.

Affirmation : $f$ est périodique de période $\pi$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
Pour tout réel $x$ : $f(x + \pi) = \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)$.
Quand on multiplie l'argument par $2$, la période est divisée par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de garder la période $2\pi$ sans tenir compte du facteur $2$ devant $x$.
$f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)$ : la période est bien $\pi$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction $x \mapsto \sin(ax)$ est de période $\dfrac{2\pi}{|a|}$ ; ici $a = 2$ donne $\pi$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sin x + \cos x$.

Affirmation : $g$ est périodique de période $\pi$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Calculons : $g(x + \pi) = \sin(x + \pi) + \cos(x + \pi) = -\sin x - \cos x = -g(x) \neq g(x)$ en général.
La somme $\sin + \cos$ reste $2\pi$-périodique (par exemple $g(0) = 1$, $g(\pi) = -1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une vérification numérique tranche vite : $g(0) = 0 + 1 = 1$ et $g(\pi) = 0 - 1 = -1$, donc $g(0) \neq g(\pi)$.
La fonction $g$ est seulement $2\pi$-périodique : $\sin(x + \pi) = -\sin x$ et $\cos(x + \pi) = -\cos x$, donc $g(x + \pi) = -g(x)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $g(x + \pi) = -g(x)$ ; la période de $g$ est $2\pi$, pas $\pi$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = |\sin x|$.

Affirmation : $h$ est périodique de période $\pi$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$h(x + \pi) = |\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x| = h(x)$.
La valeur absolue « replie » les arches négatives : la période est divisée par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\sin(x + \pi) = -\sin x$, donc $|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$.
La valeur absolue rend les arches identiques sur $[0~;~\pi]$ et $[\pi~;~2\pi]$ : la période passe de $2\pi$ à $\pi$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $\sin(x + \pi) = -\sin x$, on a $|\sin(x + \pi)| = |\sin x|$, donc $h$ est $\pi$-périodique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x) = \sin x \cdot \cos x$.

Affirmation : $\varphi$ est paire.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\varphi(-x) = \sin(-x) \cos(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -\sin x \cos x = -\varphi(x)$ : $\varphi$ est en fait impaire.
On le voit aussi avec la formule de duplication : $\varphi(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Règle de produit : « impaire $\times$ paire = impaire ». Ici sinus est impair et cosinus est pair, donc le produit est impair.
On a $\varphi(-x) = -\sin x \cos x = -\varphi(x)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $\varphi$ est impaire car $\sin$ est impaire et $\cos$ est paire (et $\varphi(x) = \tfrac{1}{2}\sin(2x)$).
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les valeurs remarquables de sinus et de cosinus, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est l'une des valeurs à retenir : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre $\cos \dfrac{\pi}{3}$ et $\sin \dfrac{\pi}{3}$ : on a bien $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ tandis que $\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Sur le cercle trigonométrique, le point d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ figure dans le tableau des valeurs remarquables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On a $\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (et non $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$).
La valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ correspond à $\sin \dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas mélanger les angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ : pour $\dfrac{\pi}{4}$, le sinus et le cosinus sont égaux et valent $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Donc $\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, et c'est $\sin \dfrac{\pi}{3}$ qui vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ correspond à $\sin \dfrac{\pi}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sur le cercle trigonométrique, le point d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est en haut sur l'axe des ordonnées : ses coordonnées sont $(0~;~1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège habituel est d'inverser cosinus (abscisse) et sinus (ordonnée).
Le point d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ a pour coordonnées $(0~;~1)$, donc $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le point du cercle trigonométrique d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ a pour coordonnées $(0~;~1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\cos \pi = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $\cos \pi = -1$ : le point d'angle $\pi$ se situe à l'opposé de $I$ sur l'axe des abscisses, en $(-1~;~0)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une confusion fréquente est avec $\cos 0 = 1$ ou $\cos 2\pi = 1$ : pour $\pi$, on est sur l'axe des abscisses mais du côté négatif.
Le point d'angle $\pi$ a pour coordonnées $(-1~;~0)$, donc $\cos \pi = -1$ et $\sin \pi = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\cos \pi = -1$ (et $\sin \pi = 0$). C'est $\cos 0$ et $\cos 2\pi$ qui valent $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos x$ pour tout réel $x$.
Donc $\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la fonction cosinus est paire, donc le signe « $-$ » devant l'angle ne change pas la valeur du cosinus.
On a $\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le cosinus étant pair, $\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sin \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On a $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
Donc $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, qui est positif : le signe « $-$ » est faux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier que sur $[0~;~\pi]$, le sinus reste positif : pour $\dfrac{2\pi}{3}$, on est dans le deuxième cadran, l'ordonnée est encore positive.
On a $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, donc $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et non $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$, on obtient $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (positif), et non $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la parité et la périodicité des fonctions sinus et cosinus. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La fonction sinus est :
[qcm]
[option]paire[/option]
[option correct="true"]impaire[/option]
[option]ni paire ni impaire[/option]
[option]à la fois paire et impaire[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout réel $x$, on a $\sin(-x) = -\sin(x)$. La fonction sinus est donc impaire (et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine).[/reponse]
[reponse motif="paire"]Non.
$\sin(-x) = -\sin(x)$ et non $\sin(x)$. C'est la fonction cosinus qui est paire ; sinus est, elle, impaire.[/reponse]
[reponse motif="ni paire ni impaire"]Non.
On a bien la relation $\sin(-x) = -\sin(x)$ pour tout $x$, donc $\sin$ entre dans la définition d'une fonction impaire.[/reponse]
[reponse motif="à la fois paire et impaire"]Non.
Une fonction à la fois paire et impaire vérifie $f(x) = -f(x)$, donc $f(x) = 0$ partout. La fonction sinus n'est pas la fonction nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À retenir : $\sin(-x) = -\sin(x)$ donc sinus est impaire, et $\cos(-x) = \cos(x)$ donc cosinus est paire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction cosinus est :
[qcm]
[option correct="true"]paire[/option]
[option]impaire[/option]
[option]ni paire ni impaire[/option]
[option]croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour tout réel $x$, on a $\cos(-x) = \cos(x)$. La fonction cosinus est donc paire (et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).[/reponse]
[reponse motif="impaire"]Non.
$\cos(-x) = \cos(x)$, sans signe $-$. C'est sinus qui est impaire, pas cosinus.[/reponse]
[reponse motif="ni paire ni impaire"]Non.
La relation $\cos(-x) = \cos(x)$ pour tout $x$ correspond exactement à la définition d'une fonction paire.[/reponse]
[reponse motif="croissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La parité ne concerne pas le sens de variation. De plus, cosinus n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ : elle oscille entre $-1$ et $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À retenir : $\cos(-x) = \cos(x)$ pour tout $x$, donc cosinus est paire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La période de la fonction sinus est :
[qcm]
[option]$\dfrac{\pi}{2}$[/option]
[option]$\pi$[/option]
[option correct="true"]$2\pi$[/option]
[option]$4\pi$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour tout réel $x$, on a $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ : la fonction sinus est périodique de période $2\pi$. C'est la plus petite période positive.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{2}$"]Non.
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ alors que $\sin(0) = 0$ : la fonction sinus n'est pas la même translatée de $\dfrac{\pi}{2}$, donc $\dfrac{\pi}{2}$ n'est pas une période.[/reponse]
[reponse motif="$\pi$"]Non.
$\sin(\pi) = 0$ et $\sin(0) = 0$, mais $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \pi\right) = -1 \neq \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$. Donc $\pi$ n'est pas une période de sinus.[/reponse]
[reponse motif="$4\pi$"]Non.
$4\pi$ est un multiple de la période, donc bien une période, mais ce n'est pas la plus petite. La période d'une fonction est, par convention, la plus petite période positive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La période de sinus et cosinus est $2\pi$ : un tour complet sur le cercle trigonométrique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout réel $x$, $\cos(-x)$ est égal à :
[qcm]
[option]$-\cos(x)$[/option]
[option correct="true"]$\cos(x)$[/option]
[option]$\sin(x)$[/option]
[option]$-\sin(x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction cosinus est paire : pour tout réel $x$, $\cos(-x) = \cos(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$-\cos(x)$"]Non.
$-\cos(x)$ correspondrait à $\cos$ « impaire ». Or cosinus est paire : pas de signe $-$ dans la formule.[/reponse]
[reponse motif="$\sin(x)$"]Non.
$\sin$ et $\cos$ sont deux fonctions distinctes. Sur le cercle trigonométrique, $\cos$ correspond à l'abscisse et $\sin$ à l'ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="$-\sin(x)$"]Non.
$-\sin(x) = \sin(-x)$ : c'est la formule de l'imparité de sinus, pas la parité de cosinus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À retenir : $\cos(-x) = \cos(x)$ (paire) et $\sin(-x) = -\sin(x)$ (impaire).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout réel $x$, $\sin(x + 2\pi)$ est égal à :
[qcm]
[option]$-\sin(x)$[/option]
[option]$\cos(x)$[/option]
[option correct="true"]$\sin(x)$[/option]
[option]$\sin(x) + 2\pi$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction sinus est périodique de période $2\pi$ : pour tout réel $x$, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$-\sin(x)$"]Non.
$-\sin(x) = \sin(x + \pi)$ et non $\sin(x + 2\pi)$. Le décalage de $2\pi$ ramène le point à sa position initiale sur le cercle trigonométrique.[/reponse]
[reponse motif="$\cos(x)$"]Non.
La relation $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$ correspond à un décalage de $\dfrac{\pi}{2}$, pas de $2\pi$. Avec $2\pi$, on retombe sur la même valeur de sinus.[/reponse]
[reponse motif="$\sin(x) + 2\pi$"]Non.
La périodicité ne consiste pas à ajouter $2\pi$ au résultat, mais à l'ajouter à l'argument. La valeur de sinus reste comprise entre $-1$ et $1$ : ajouter $2\pi$ au résultat donnerait des valeurs hors de cet intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Périodicité : $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ et $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ pour tout réel $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(2x)$. La fonction $f$ est :
[qcm]
[option]paire[/option]
[option correct="true"]impaire[/option]
[option]ni paire ni impaire[/option]
[option]constante[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour tout réel $x$ : $f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x)$ (par imparité de sinus). Donc $f$ est impaire.[/reponse]
[reponse motif="paire"]Non.
Calculer $f(-x) = \sin(-2x)$ et utiliser l'imparité de sinus : on obtient $-\sin(2x) = -f(x)$, ce qui correspond à une fonction impaire et non paire.[/reponse]
[reponse motif="ni paire ni impaire"]Non.
La relation $f(-x) = -f(x)$ se vérifie ici grâce à l'imparité de sinus : la fonction $f$ entre donc dans la définition d'une fonction impaire.[/reponse]
[reponse motif="constante"]Non.
$f(0) = \sin(0) = 0$ alors que $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ : $f$ prend des valeurs différentes, donc elle n'est pas constante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(-x)$ en utilisant l'imparité de $\sin$ : $\sin(-2x) = -\sin(2x)$, donc $f(-x) = -f(x)$ et $f$ est impaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les valeurs remarquables de $\sin x$ et $\cos x$ aux angles $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'angle $\dfrac{\pi}{4}$ correspond à $45°$ : sur le cercle trigonométrique, le point associé a pour coordonnées $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. L'abscisse, qui est $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, vaut donc $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la valeur de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, pas de $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. Confusion entre les deux angles : revoir le tableau des valeurs remarquables.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est la valeur de $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. L'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est entre $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ : sa valeur de cosinus n'est donc pas $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\cos$ vaut $1$ uniquement en $0$ (modulo $2\pi$). Pour $\dfrac{\pi}{4}$, la valeur est strictement comprise entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Mémoriser le tableau des valeurs : $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $\dfrac{\pi}{3}$ ($60°$), le point du cercle a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. L'ordonnée, qui est $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ correspond à $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ ou à $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. Attention à ne pas inverser sinus et cosinus pour cet angle.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est la valeur de $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, pas de $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$. Bien distinguer les angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ne figure pas dans le tableau des valeurs remarquables de sinus. Cette écriture est parfois la valeur de $\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$, mais elle ne correspond à aucun sinus remarquable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer l'angle $\dfrac{\pi}{3}$ sur le cercle trigonométrique et lire son ordonnée. Pour $\dfrac{\pi}{3}$, l'ordonnée vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option]$\sqrt{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $\dfrac{\pi}{6}$ ($30°$), le point du cercle a pour coordonnées $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$. L'abscisse, qui est $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$, vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est l'ordonnée du point d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ sur le cercle, c'est-à-dire $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. Pour le cosinus, c'est l'abscisse qu'il faut lire.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est la valeur de $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. Pour $\dfrac{\pi}{6}$, l'abscisse est différente.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{3}$"]Non.
Le résultat doit être un nombre compris entre $-1$ et $1$ puisque c'est un cosinus. Or $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$, ce qui est impossible. La division par $2$ a sans doute été oubliée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Bien retenir : $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$. Pour $\dfrac{\pi}{3}$, c'est l'inverse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\pi}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ($90°$) correspond au point du cercle de coordonnées $(0\,;\,1)$. L'ordonnée, qui est $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$, vaut $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ est la valeur de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ (l'abscisse), pas de $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$. Penser à distinguer abscisse (cosinus) et ordonnée (sinus) sur le cercle.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ correspond à $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, pas à $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$. L'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est l'angle droit : son sinus atteint la valeur maximale.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\pi}{2}$"]Non.
Attention : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ est un nombre, pas un angle. La fonction sinus prend un angle en radian et renvoie une valeur entre $-1$ et $1$, jamais l'angle lui-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{\pi}{2}$ correspond à un quart de tour : le point du cercle est en $(0\,;\,1)$, donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ est :
[qcm]
[option]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour $\dfrac{\pi}{3}$ ($60°$), le point du cercle a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. L'abscisse, c'est-à-dire $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, vaut $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est l'ordonnée du point d'angle $\dfrac{\pi}{3}$, c'est-à-dire $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$. Sinus et cosinus ont été inversés.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ correspond à $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. Bien distinguer les angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\cos$ s'annule en $\dfrac{\pi}{2}$ (et $-\dfrac{\pi}{2}$, etc.), pas en $\dfrac{\pi}{3}$. Pour $\dfrac{\pi}{3}$, la valeur est strictement positive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Astuce mémoire : pour $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$, les valeurs $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ s'échangent entre sinus et cosinus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur exacte de $\cos(\pi)$ est :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'angle $\pi$ ($180°$) correspond au point du cercle diamétralement opposé à $(1\,;\,0)$, donc de coordonnées $(-1\,;\,0)$. L'abscisse, qui est $\cos(\pi)$, vaut $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\cos$ s'annule en $\dfrac{\pi}{2}$ et $-\dfrac{\pi}{2}$ (et leurs équivalents modulo $2\pi$), pas en $\pi$. En $\pi$, c'est $\sin$ qui vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\cos$ vaut $1$ en $0$ (et modulo $2\pi$). En $\pi$, le point du cercle est à l'opposé de celui en $0$ : la valeur du cosinus est donc $-1$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$"]Non.
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ correspond à $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$. Pour $\pi$ exactement, le cosinus prend une valeur entière simple.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À retenir aux angles entiers de $\pi$ : $\cos(0) = 1$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\cos(\pi) = -1$, $\sin(0) = 0$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$, $\sin(\pi) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]