[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Affirmation : Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 5$, alors la droite d'équation $y = 5$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est exactement la définition d'une asymptote horizontale : si la limite finie de $f$ en $+\infty$ vaut $\ell$, alors la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La définition de l'asymptote horizontale est précisément : « si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ avec $\ell$ fini, alors la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ ». Ici $\ell = 5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une limite finie $\ell$ en $+\infty$ entraîne l'existence d'une asymptote horizontale $y = \ell$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, alors $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote en $+\infty$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une limite infinie n'entraîne pas l'existence d'une asymptote. L'asymptote horizontale exige une limite finie. Par exemple, $f(x) = x^2$ tend vers $+\infty$ mais sa courbe n'admet aucune asymptote.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment. Pour une asymptote horizontale, il faut une limite finie. Une fonction divergeant vers $+\infty$ peut très bien ne s'approcher d'aucune droite, comme $x \mapsto x^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une limite $+\infty$ ne donne pas d'asymptote horizontale ; il n'y a pas non plus systématiquement d'asymptote.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie en $a$.

Affirmation : Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$, alors nécessairement $f(a) = \ell$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'égalité $f(a) = \ell$ correspond à la définition de la continuité de $f$ en $a$. Si $f$ n'est pas continue en $a$, la limite peut différer de la valeur. La limite et la valeur en un point sont deux notions distinctes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est classique : confondre limite et valeur en un point. La limite décrit le comportement de $f$ au voisinage de $a$, sans tenir compte de $f(a)$. L'égalité $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ caractérise précisément la continuité de $f$ en $a$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité $f(a) = \ell$ n'est garantie que si $f$ est continue en $a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie sur $]2\,;\,+\infty[$.

Affirmation : Si $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, alors la droite $x = 2$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la définition de l'asymptote verticale : dès que la limite à droite (ou à gauche) en $a$ est infinie, la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La définition est claire : si $f(x)$ tend vers $\pm\infty$ quand $x$ tend vers $a$ (à gauche, à droite ou des deux côtés), alors la droite verticale $x = a$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$. Ici la limite en $2^+$ est $+\infty$ : la condition est remplie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une limite infinie en un point caractérise une asymptote verticale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x-3}$, la droite d'équation $x = 3$ est asymptote verticale.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand $x \to 3$, $x - 3 \to 0$, donc $\dfrac{1}{x-3}$ tend vers $\pm\infty$ (selon le côté). La droite $x = 3$ est donc asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fonction $f$ n'est pas définie en $3$ et son dénominateur s'annule en ce point. La limite en $3$ est infinie (à gauche $-\infty$, à droite $+\infty$), ce qui est précisément la condition d'existence d'une asymptote verticale.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le dénominateur s'annule en $3$, la limite y est infinie : asymptote verticale $x = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une fonction $f$ admet pour limite $\ell$ en un réel $a$, alors elle est forcément définie en $a$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La limite en $a$ ne dépend que des valeurs de $f$ au voisinage de $a$, pas de $f(a)$. Contre-exemple : $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $1$, mais $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 1$, donc $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Bien distinguer trois choses : l'existence de la limite, l'existence de $f(a)$, et l'égalité entre les deux. Une fonction peut avoir une limite finie en un point où elle n'est pas définie. C'est même fréquent (cas d'une simplification possible du quotient).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La limite en $a$ peut exister même si $f$ n'est pas définie en $a$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est l'une des limites de référence du cours : quand $x$ devient très grand, $\dfrac{1}{x}$ devient infiniment petit, donc tend vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lorsque le numérateur est constant et que le dénominateur tend vers $+\infty$, la fraction tend vers $0$. Pour $x = 10^6$, on a déjà $\dfrac{1}{x} = 10^{-6}$ : la limite est bien $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la limite de référence $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quand $x \to -\infty$, $x$ prend des valeurs négatives très grandes en valeur absolue. En l'élevant au carré, on obtient des valeurs positives très grandes : $x^2 \to +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège classique consiste à croire que $x \to -\infty$ entraîne $x^2 \to -\infty$. En réalité le carré rend toute quantité positive : si $x = -1000$, alors $x^2 = 10^6$. La limite est donc $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le carré d'un nombre est toujours positif, donc $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = +\infty$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Contrairement au carré, le cube conserve le signe : si $x < 0$, alors $x^3 < 0$. Pour $x = -1000$, $x^3 = -10^9$. On a donc $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $x^2$ (qui « tue » le signe) et $x^3$ (qui le conserve). Pour une puissance impaire d'un nombre négatif, le résultat reste négatif. Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$, et non $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La puissance cubique conserve le signe : $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La limite à l'infini d'une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est une propriété fondamentale du cours : seul le terme dominant impose le comportement à l'infini. Par exemple, $\lim\limits_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 7) = \lim\limits_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
À l'infini, les termes de degré inférieur deviennent négligeables devant le terme dominant. C'est la propriété qui permet de lever rapidement l'éventuelle indétermination $\infty - \infty$ pour les polynômes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. À l'infini, un polynôme se comporte comme son monôme de plus haut degré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction exponentielle est strictement croissante et $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. C'est en $-\infty$ que $e^x$ tend vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il y a sans doute confusion entre les deux limites de référence : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$. La fonction exponentielle croît sans borne quand $x$ tend vers $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; c'est en $-\infty$ que la limite vaut $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et n'est pas majorée : pour $x = 10^6$, on a $\sqrt{x} = 1000$. Sa limite en $+\infty$ vaut donc $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Bien que la racine carrée croisse plus lentement que $x$, elle continue de croître sans plafond. C'est l'une des limites de référence du cours : $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction racine carrée tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : limites, formes indéterminées, asymptotes et théorème des valeurs intermédiaires. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la valeur de $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 4}{x + 1}$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On factorise par les termes dominants : $\dfrac{x^2 - 4}{x + 1} = \dfrac{x^2\left(1 - \dfrac{4}{x^2}\right)}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} = x \times \dfrac{1 - \dfrac{4}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x}}$.
Quand $x \to +\infty$, le facteur de droite tend vers $1$ et $x \to +\infty$, donc la limite vaut $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ correspondrait au rapport des coefficients dominants si les degrés étaient identiques. Or le numérateur est de degré $2$ et le dénominateur de degré $1$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
$-4$ est le terme constant du numérateur. Pour la limite à l'infini, ce sont les termes dominants qui imposent le comportement.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Cette valeur s'obtient quand le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Comparer ici les degrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer les degrés du numérateur et du dénominateur, ou factoriser par le terme dominant pour conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = 3 + \dfrac{2}{x}$. Quelle est l'asymptote horizontale de la courbe en $+\infty$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$y = 3$[/option]
[option]$y = 2$[/option]
[option]$y = 0$[/option]
[option]$y = 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quand $x \to +\infty$, $\dfrac{2}{x} \to 0$, donc $f(x) = 3 + \dfrac{2}{x} \to 3 + 0 = 3$.
La droite d'équation $y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2$"]Non.
$2$ est le numérateur de la fraction. Identifier plutôt le terme qui ne dépend pas de $x$ et qui reste donc inchangé à la limite.[/reponse]
[reponse motif="$y = 0$"]Non.
$0$ est la limite du seul terme $\dfrac{2}{x}$, mais il faut tenir compte du « $+3$ » en plus. Ne pas oublier le terme constant.[/reponse]
[reponse motif="$y = 5$"]Non.
$5 = 3 + 2$ correspond à la valeur de $f$ en $x = 1$, pas à sa limite à l'infini. Quand $x$ devient grand, $\dfrac{2}{x}$ ne reste pas à $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la limite de chaque terme : $\dfrac{2}{x} \to 0$ et la constante $3$ reste constante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que peut-on dire de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ ?
[qcm]
[option]Elle est continue sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]Elle est continue sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$, mais pas sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]Elle n'est continue nulle part[/option]
[option]Elle est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction inverse n'est pas définie en $0$ : on ne peut donc pas parler de continuité sur $\mathbb{R}$ tout entier. En revanche, sur chacun des deux intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$, elle est continue car définie comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas.[/reponse]
[reponse motif="Elle est continue sur $\mathbb{R}$"]Non.
Une fonction ne peut pas être continue en un point où elle n'est pas définie. Identifier la valeur interdite pour cette fonction.[/reponse]
[reponse motif="Elle n'est continue nulle part"]Non.
Sur chacun des deux intervalles où la fonction est définie, son tracé est régulier, sans saut. La continuité y est bien assurée.[/reponse]
[reponse motif="Elle est continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $1$"]Non.
La valeur $1$ ne pose aucun problème : $f(1) = 1$ et la fonction y est parfaitement régulière. Repérer la vraie valeur interdite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer le domaine de définition de la fonction inverse, puis examiner la continuité sur chaque intervalle de ce domaine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue strictement croissante sur $[0\,;\,3]$ avec $f(0) = -1$ et $f(3) = 5$. Que peut-on dire de l'équation $f(x) = 2$ sur $[0\,;\,3]$ ?
[qcm]
[option]Elle n'a pas de solution[/option]
[option]Elle a au moins une solution mais on ne sait pas combien[/option]
[option correct="true"]Elle admet une unique solution sur $[0\,;\,3]$[/option]
[option]Elle admet exactement deux solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique le corollaire du TVI : $f$ est continue et strictement monotone sur $[0\,;\,3]$, et $2$ est compris entre $f(0) = -1$ et $f(3) = 5$. L'équation $f(x) = 2$ admet donc une unique solution dans $[0\,;\,3]$.[/reponse]
[reponse motif="Elle n'a pas de solution"]Non.
La valeur $2$ est bien comprise entre $f(0) = -1$ et $f(3) = 5$ : par continuité, l'existence d'une solution est garantie.[/reponse]
[reponse motif="Elle a au moins une solution mais on ne sait pas combien"]Non.
On dispose ici d'une information supplémentaire qui permet de préciser le nombre exact de solutions. Identifier cette hypothèse et son rôle.[/reponse]
[reponse motif="Elle admet exactement deux solutions"]Non.
Une fonction strictement monotone ne peut pas prendre deux fois la même valeur. Réfléchir à ce qu'impose la stricte croissance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réunir les hypothèses : continuité, stricte monotonie, et $y_0$ entre $f(a)$ et $f(b)$. Identifier le théorème qui s'applique alors.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x} - x\right)$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[option correct="true"]$-\infty$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a une forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ». On factorise par $\sqrt{x}$ : $\sqrt{x} - x = \sqrt{x}\left(1 - \dfrac{x}{\sqrt{x}}\right) = \sqrt{x}\left(1 - \sqrt{x}\right)$.
Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{x} \to +\infty$ et $1 - \sqrt{x} \to -\infty$, donc par produit la limite vaut $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ correspondrait au cas où les deux termes se compensent exactement. Or ici $x$ croît beaucoup plus vite que $\sqrt{x}$ : ils ne se compensent pas.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Attention au signe : c'est à $\sqrt{x}$ qu'on retranche $x$, et $x$ croît plus vite que $\sqrt{x}$. La différence devient donc très négative, pas très positive.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La limite ne peut pas être finie ici : il faut comparer les vitesses de croissance de $\sqrt{x}$ et de $x$ pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Forme indéterminée « $\infty - \infty$ ». Factoriser par $\sqrt{x}$ pour faire apparaître un produit.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[-2\,;\,4]$ avec $f(-2) = 1$, un maximum atteint en $x = 1$ avec $f(1) = 5$, et $f(4) = -3$. La fonction est strictement croissante sur $[-2\,;\,1]$ et strictement décroissante sur $[1\,;\,4]$. Combien l'équation $f(x) = 0$ admet-elle de solutions sur $[-2\,;\,4]$ ?
[qcm]
[option]Aucune[/option]
[option correct="true"]Exactement une, dans l'intervalle $[1\,;\,4]$[/option]
[option]Exactement deux[/option]
[option]Au moins trois[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur $[-2\,;\,1]$, $f$ est strictement croissante de $1$ à $5$ : tous les images sont positives, donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution.
Sur $[1\,;\,4]$, $f$ est continue strictement décroissante de $5$ à $-3$, et $0$ est compris entre $-3$ et $5$ : par le corollaire du TVI, il existe une unique solution dans cet intervalle. Au total : exactement une solution sur $[-2\,;\,4]$.[/reponse]
[reponse motif="Aucune"]Non.
Sur l'un des deux intervalles, $f$ change de signe : par continuité, l'équation y admet au moins une solution. Examiner les valeurs de $f$ aux bornes de chaque sous-intervalle.[/reponse]
[reponse motif="Exactement deux"]Non.
Sur l'un des deux intervalles, la fonction reste strictement positive : il n'y a pas de solution sur cet intervalle. Étudier le signe sur chaque morceau.[/reponse]
[reponse motif="Au moins trois"]Non.
La stricte monotonie sur chacun des deux sous-intervalles limite drastiquement le nombre de solutions par morceau : au plus une par intervalle de monotonie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier l'équation $f(x) = 0$ sur chacun des deux sous-intervalles de monotonie en appliquant le corollaire du TVI quand c'est possible.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les asymptotes d'une courbe : asymptotes horizontales et verticales, lecture à partir d'une limite ou d'une courbe. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction telle que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$. Que peut-on dire de la courbe représentative de $f$ ?
[qcm]
[option correct="true"]La droite d'équation $y = 3$ est asymptote horizontale en $+\infty$[/option]
[option]La droite d'équation $x = 3$ est asymptote verticale[/option]
[option]La droite d'équation $y = x + 3$ est asymptote oblique[/option]
[option]La courbe n'a pas d'asymptote[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsque $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ avec $\ell$ fini, la droite horizontale d'équation $y = \ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$. Ici $\ell = 3$, d'où l'asymptote $y = 3$.[/reponse]
[reponse motif="La droite d'équation $x = 3$ est asymptote verticale"]Non.
Une asymptote verticale apparaît quand $f(x)$ tend vers $\pm\infty$ pour une valeur finie de $x$, pas l'inverse. Ici, c'est $x$ qui tend vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="La droite d'équation $y = x + 3$ est asymptote oblique"]Non.
Une asymptote oblique correspond à un comportement où $f(x) - (ax + b)$ tend vers $0$ avec $a \neq 0$. Ici la limite de $f$ est finie : la direction n'est pas oblique.[/reponse]
[reponse motif="La courbe n'a pas d'asymptote"]Non.
Une limite finie en $+\infty$ traduit justement la présence d'une asymptote. Repérer le type d'asymptote associé à une limite finie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une limite finie $\ell$ en $+\infty$ correspond à une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction telle que $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$. Que peut-on dire de la courbe représentative de $f$ ?
[qcm]
[option]La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale[/option]
[option]La droite d'équation $y = +\infty$ est asymptote[/option]
[option correct="true"]La droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale[/option]
[option]La courbe n'a pas d'asymptote[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Lorsque $f(x)$ tend vers $\pm\infty$ quand $x$ tend vers une valeur finie $a$, la droite verticale d'équation $x = a$ est asymptote à la courbe. Ici $a = 2$, d'où l'asymptote $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale"]Non.
Une asymptote horizontale s'obtient quand $x$ tend vers $\pm\infty$, pas vers une valeur finie. Ici, c'est l'inverse : $x$ tend vers $2$ et $f(x)$ explose.[/reponse]
[reponse motif="La droite d'équation $y = +\infty$ est asymptote"]Non.
$+\infty$ n'est pas un nombre : on ne peut pas définir la droite « $y = +\infty$ ». Identifier plutôt la valeur finie autour de laquelle la fonction explose.[/reponse]
[reponse motif="La courbe n'a pas d'asymptote"]Non.
Une limite infinie en une valeur finie traduit justement la présence d'une asymptote. Repérer le type d'asymptote associé à ce comportement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une limite infinie quand $x \to a$ (avec $a$ fini) correspond à une asymptote verticale d'équation $x = a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $]3\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$. Quelle est l'asymptote horizontale de la courbe en $+\infty$ ?
[qcm]
[option]$y = 3$[/option]
[option]$y = 1$[/option]
[option correct="true"]$y = 2$[/option]
[option]$y = -3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On factorise par les termes dominants : $f(x) = \dfrac{x\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)} = \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{3}{x}}$.
Quand $x \to +\infty$, on obtient $\dfrac{2}{1} = 2$, donc l'asymptote horizontale est $y = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 3$"]Non.
$3$ est la valeur interdite (qui annule le dénominateur), elle correspond à l'asymptote verticale, pas horizontale. Étudier la limite quand $x \to +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 1$"]Non.
Le coefficient devant $x$ au numérateur n'est pas $1$ mais $2$. Comparer les coefficients des termes dominants pour trouver la limite à l'infini.[/reponse]
[reponse motif="$y = -3$"]Non.
$-3$ correspond à l'opposé du terme constant du dénominateur. Pour la limite à l'infini d'une fraction rationnelle, c'est le rapport des coefficients dominants qui compte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fraction rationnelle de même degré au numérateur et au dénominateur, la limite à l'infini est le rapport des coefficients dominants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{4\}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x-4}$. Quelle est l'asymptote verticale de la courbe ?
[qcm]
[option]$x = -4$[/option]
[option]$x = 1$[/option]
[option]$x = 0$[/option]
[option correct="true"]$x = 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction n'est pas définie en $x = 4$. Quand $x$ tend vers $4$, le dénominateur $x - 4$ tend vers $0$ et le numérateur reste à $1$, donc $f(x)$ tend vers $\pm\infty$. La droite d'équation $x = 4$ est asymptote verticale.[/reponse]
[reponse motif="$x = -4$"]Non.
Attention au signe : la valeur qui annule $x - 4$ n'est pas l'opposée du nombre. Résoudre soigneusement $x - 4 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$"]Non.
$1$ est le numérateur, pas la valeur interdite. Chercher la valeur de $x$ pour laquelle le dénominateur s'annule.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$"]Non.
En $x = 0$, le dénominateur vaut $-4$ : il ne s'annule pas. La fonction est parfaitement définie en $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'asymptote verticale d'une fraction rationnelle se trouve à la valeur qui annule le dénominateur (sans annuler le numérateur).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lit sur un graphique : « la courbe de $f$ semble avoir pour asymptote horizontale la droite d'équation $y = -1$ en $+\infty$ ». Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option]$f(-1) = 0$[/option]
[option]$f$ est constante égale à $-1$[/option]
[option correct="true"]$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -1$[/option]
[option]$\lim\limits_{x \to -1} f(x) = +\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ en $+\infty$ traduit exactement le fait que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Ici $\ell = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(-1) = 0$"]Non.
$-1$ est la valeur de l'ordonnée à l'infini, pas l'antécédent de $0$. L'asymptote décrit le comportement de $f(x)$ quand $x$ devient grand.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est constante égale à $-1$"]Non.
Une asymptote indique seulement que la courbe se rapproche de la droite à l'infini. La fonction peut très bien varier ailleurs.[/reponse]
[reponse motif="$\lim\limits_{x \to -1} f(x) = +\infty$"]Non.
Cela traduirait une asymptote verticale en $x = -1$. Or l'énoncé parle d'une asymptote horizontale en $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une asymptote horizontale $y = \ell$ en $+\infty$ traduit la limite finie de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x + 2$. Quelle est l'asymptote de la courbe en $-\infty$ ?
[qcm]
[option]$y = 0$[/option]
[option correct="true"]$y = 2$[/option]
[option]$y = e$[/option]
[option]Pas d'asymptote[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $f(x) = e^x + 2 \to 0 + 2 = 2$.
La droite d'équation $y = 2$ est donc asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 0$"]Non.
$0$ est la limite de $e^x$ en $-\infty$, mais il faut tenir compte du « $+2$ » présent dans l'expression de $f$. Ne pas oublier le terme constant.[/reponse]
[reponse motif="$y = e$"]Non.
La constante $e \approx 2{,}72$ est la base de l'exponentielle, pas la limite. Calculer plutôt la limite de l'expression complète.[/reponse]
[reponse motif="Pas d'asymptote"]Non.
La limite en $-\infty$ existe et est finie : il y a bien une asymptote horizontale. Calculer cette limite finie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la limite de référence $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$, puis ajouter la constante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de limites en un réel : limites finies par continuité, limites à droite et à gauche, et limites infinies en un point. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 3)$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction $x \mapsto x^2 + 3$ est continue sur $\mathbb{R}$. Sa limite en $2$ est donc égale à la valeur en $2$ : $2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5 = 2 + 3$ correspond à $x + 3$ pour $x = 2$, pas $x^2 + 3$. Vérifier l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la valeur de $x$, pas la valeur de la fonction. Remplacer $x$ par $2$ dans toute l'expression $x^2 + 3$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
On étudie la limite en un réel ($x \to 2$), pas à l'infini. La fonction est continue : la limite est finie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fonction polynôme, la limite en un réel $a$ est obtenue en remplaçant $x$ par $a$ dans l'expression.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]La limite n'existe pas[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives, $x$ devient un très petit nombre positif. Son inverse $\dfrac{1}{x}$ devient un très grand nombre positif : $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
La notation $0^+$ signifie que $x$ approche $0$ par valeurs positives ($x > 0$). Donc $\dfrac{1}{x} > 0$ : la limite ne peut pas être négative.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Confusion avec la limite en $+\infty$. Ici $x$ tend vers $0$ : c'est le dénominateur qui s'écrase, pas le numérateur.[/reponse]
[reponse motif="La limite n'existe pas"]Non.
Sur $]0\,;\,+\infty[$, la fonction inverse est monotone : elle admet bien une limite à droite en $0$, finie ou infinie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{1}{x}$ pour $x = 0{,}1$ ; $x = 0{,}01$ ; $x = 0{,}001$. Observer le comportement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}$ ?
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$-\infty$[/option]
[option]La fonction n'est pas définie en $0$, donc pas de limite[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La notation $0^-$ signifie que $x$ tend vers $0$ par valeurs strictement négatives. Pour $x < 0$, on a $\dfrac{1}{x} < 0$, et $|\dfrac{1}{x}|$ devient très grand : $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Attention au signe : pour $x < 0$, $\dfrac{1}{x}$ est négatif. La limite ne peut pas être $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Quand $x$ s'écrase vers $0$, son inverse explose en valeur absolue. La limite n'est pas $0$.[/reponse]
[reponse motif="La fonction n'est pas définie en $0$, donc pas de limite"]Non.
La non-définition en $0$ n'empêche pas l'existence d'une limite à gauche : on étudie le comportement quand $x$ s'approche de $0$ sans l'atteindre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{1}{x}$ pour $x = -0{,}1$ ; $x = -0{,}01$ ; $x = -0{,}001$. Comparer avec la limite à droite étudiée précédemment.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 3$ et $f(1) = 5$. Que vaut alors $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]La fonction n'a pas de limite en $1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La limite et la valeur d'une fonction en un point sont deux notions distinctes. La limite en $1$ est donnée par l'énoncé : $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 3$. La valeur $f(1) = 5$ n'a pas d'effet sur la limite (la fonction est ici discontinue en $1$).[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est la valeur prise par $f$ exactement en $x = 1$, pas la limite. La limite décrit le comportement de $f(x)$ quand $x$ s'approche de $1$ sans l'atteindre.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4 = \dfrac{3 + 5}{2}$ est la moyenne de la limite et de la valeur. Cette moyenne n'a aucun sens dans la définition d'une limite.[/reponse]
[reponse motif="La fonction n'a pas de limite en $1$"]Non.
L'énoncé donne explicitement la limite. Le fait que $f(1)$ soit différent de cette limite signale une discontinuité, pas l'absence de limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distinguer deux notions : $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ (comportement quand $x$ s'approche de $a$) et $f(a)$ (valeur prise en $a$). Lire attentivement l'énoncé.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x+1}{x^2-1}$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]Forme indéterminée, pas de limite[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a une forme $\dfrac{0}{0}$ en $-1$. On factorise : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, donc $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$ pour $x \neq -1$. Par continuité : $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{1}{-1-1} = -\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Le numérateur tend vers $0$, mais le dénominateur tend aussi vers $0$ : la fraction n'est pas automatiquement nulle. Il faut lever l'indétermination.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Erreur de signe : pour $x = -1$, le facteur restant au dénominateur est $x - 1 = -1 - 1 = -2$, pas $+2$. Vérifier le signe.[/reponse]
[reponse motif="Forme indéterminée, pas de limite"]Non.
Une forme $\dfrac{0}{0}$ peut souvent se lever par factorisation. Identifier l'identité remarquable au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître $x^2 - 1$ comme la différence de deux carrés et factoriser. Simplifier ensuite par le facteur commun avant de calculer la limite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{(x-3)^2}$ ?
[qcm]
[option]$-\infty$[/option]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]La limite n'existe pas (différente à gauche et à droite)[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Quand $x$ tend vers $3$, $(x-3)^2$ tend vers $0$. Comme un carré est toujours positif, $(x-3)^2$ tend vers $0$ par valeurs positives, noté $0^+$. Donc $\dfrac{1}{(x-3)^2}$ tend vers $+\infty$, que $x$ approche $3$ par la gauche ou par la droite.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
Le dénominateur est un carré, donc strictement positif quand $x \neq 3$. L'inverse d'un nombre positif est positif.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Le numérateur est constant égal à $1$, et le dénominateur tend vers $0$. Une telle fraction explose en valeur absolue, elle ne tend pas vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="La limite n'existe pas (différente à gauche et à droite)"]Non.
Confusion avec $\dfrac{1}{x-3}$ (limite différente à gauche et à droite). Le carré au dénominateur change la donne : étudier son signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe et la limite de $(x-3)^2$ quand $x \to 3$, puis appliquer la règle de l'inverse. La parité de l'exposant est cruciale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]