[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, qui combine plusieurs notions du chapitre sur les triangles, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Un triangle peut avoir un angle de $180°$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si un angle vaut $180°$, alors les deux autres angles doivent sommer à $0°$, ce qui est impossible (les angles d'un triangle sont strictement positifs). Un angle de $180°$ correspondrait à trois points alignés, donc à un triangle aplati (qui n'est pas un véritable triangle).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, et chaque angle est strictement positif.
Un seul angle de $180°$ ne laisse plus de place aux deux autres.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un angle de $180°$ ne laisse aucune place aux deux autres angles strictement positifs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un triangle a deux angles aigus, alors il est rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Tout triangle a au moins deux angles aigus (sinon la somme des angles dépasserait $180°$). Avoir deux angles aigus est donc une propriété générale de tout triangle, et ne prouve absolument pas qu'il est rectangle. Pour qu'il soit rectangle, il faut que le troisième angle vaille exactement $90°$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier que tout triangle a au moins deux angles aigus.
Pour être rectangle, il faut un angle exactement égal à $90°$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Tout triangle possède au moins deux angles aigus ; cela ne le rend pas rectangle pour autant.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle dont les angles mesurent $50°$, $60°$ et $70°$, le plus long côté est celui opposé à l'angle de $70°$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dans un triangle, plus l'angle est grand, plus le côté opposé est long. Comme $70°$ est le plus grand des trois angles, le côté opposé est le plus long.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans un triangle, à plus grand angle correspond plus grand côté opposé.
$70°$ étant le plus grand, le côté opposé est le plus long.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le plus grand angle ($70°$) est opposé au plus long côté.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si la somme des deux plus petits côtés d'un triangle est égale au troisième côté, alors le triangle est plat (aplati).

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est précisément le cas limite de l'inégalité triangulaire. Lorsque le plus grand côté est égal à la somme des deux autres, les trois sommets sont alignés : le « triangle » est plat (dégénéré).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'inégalité triangulaire stricte garantit un triangle non aplati.
Dans le cas d'égalité, les trois points sont alignés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le cas limite de l'inégalité triangulaire (égalité), où les trois points sont alignés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABC$ est un triangle isocèle en $A$. Le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

Affirmation : Les triangles $ABH$ et $ACH$ sont égaux.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Dans le triangle isocèle en $A$, la hauteur issue de $A$ est aussi axe de symétrie. Le pied $H$ est donc le milieu de $[BC]$, donc $BH = CH$. De plus, $AB = AC$ (triangle isocèle) et $AH$ est commun aux deux triangles. On a trois paires de côtés égaux : cas CCC, donc $ABH$ et $ACH$ sont égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal coïncide avec la médiane.
On a alors $AB = AC$, $BH = CH$ et $AH$ commun, soit le cas CCC.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La hauteur issue du sommet d'un triangle isocèle partage le triangle en deux triangles égaux (cas CCC).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle dont les côtés mesurent $7$ cm, $7$ cm et $14$ cm est isocèle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La plus grande longueur est $14$ cm et la somme des deux autres vaut $7 + 7 = 14$ cm. On a $14 = 14$ : l'inégalité n'est pas stricte, donc ce « triangle » est en réalité aplati. Comme un triangle aplati n'est pas un vrai triangle, il ne peut pas être qualifié d'isocèle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avant de conclure sur la nature, vérifie d'abord la constructibilité.
Calcule $7 + 7$ et compare à $14$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec $7 + 7 = 14$, le triangle serait aplati et ne pourrait pas être qualifié d'isocèle.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : inégalité triangulaire, construction, triangles particuliers, médiatrices et hauteurs et cas d'égalité. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, avec $\widehat{BAC} = 36°$. La hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$. Quelle est la mesure de $\widehat{BAH}$ ?
[qcm]
[option]$72°$[/option]
[option]$36°$[/option]
[option correct="true"]$18°$[/option]
[option]$54°$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un triangle isocèle en $A$, la hauteur issue de $A$ est aussi axe de symétrie. Elle partage l'angle au sommet en deux angles égaux.
Donc $\widehat{BAH} = \dfrac{36°}{2} = 18°$.[/reponse]
[reponse motif="$72°$"]Non.
$72°$ correspond à la mesure de chaque angle à la base ($\dfrac{180° - 36°}{2}$), pas à la moitié de l'angle au sommet.[/reponse]
[reponse motif="$36°$"]Non.
$36°$ est la mesure totale de l'angle au sommet $\widehat{BAC}$.
La hauteur partage cet angle en deux parts égales.[/reponse]
[reponse motif="$54°$"]Non.
$54°$ correspond à $90° - 36°$, calcul qui ne s'applique pas ici.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet partage l'angle au sommet en deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi l'axe de symétrie : elle coupe l'angle au sommet en deux parts égales.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un menuisier veut découper un triangle de bois dont les côtés mesurent $25$ cm, $40$ cm et $70$ cm. Le triangle est-il réalisable ?
[qcm]
[option]Oui, car $25 + 40 + 70 = 135$.[/option]
[option correct="true"]Non, car la plus grande longueur dépasse la somme des deux autres.[/option]
[option]Oui, car les trois longueurs sont strictement positives.[/option]
[option]Non, car les longueurs ne sont pas dans un rapport simple.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La plus grande longueur est $70$ cm. La somme des deux autres vaut $25 + 40 = 65$ cm.
$70 > 65$ : l'inégalité triangulaire est violée. Le triangle n'est pas constructible.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $25 + 40 + 70 = 135$."]Non.
La somme des trois côtés (le périmètre) ne dit rien sur la constructibilité.
Compare la plus grande longueur à la somme des deux autres.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car les trois longueurs sont strictement positives."]Non.
Avoir trois longueurs positives ne suffit pas.
Il faut aussi vérifier l'inégalité triangulaire.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les longueurs ne sont pas dans un rapport simple."]Non.
La constructibilité ne dépend pas du rapport entre les longueurs.
Pense à comparer la plus grande longueur à la somme des deux autres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compare la plus grande longueur à la somme des deux autres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un quadrilatère tel que $AB = AD$ et $CB = CD$ (cerf-volant). La diagonale $[AC]$ partage le quadrilatère en deux triangles. Quel cas d'égalité montre que les triangles $ABC$ et $ADC$ sont égaux ?

[qcm]
[option correct="true"]CCC : $AB = AD$, $CB = CD$, et $AC$ commun.[/option]
[option]CAC avec l'angle $\widehat{BAC}$.[/option]
[option]ACA avec les angles en $A$ et en $C$.[/option]
[option]Les triangles ne sont pas forcément égaux.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $AB = AD$ (donné), $CB = CD$ (donné) et $AC = AC$ (côté commun). Trois paires de côtés égaux : c'est le cas CCC.[/reponse]
[reponse motif="CAC avec l'angle $\widehat{BAC}$."]Non.
On ne sait pas a priori si $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ ; c'est une conséquence de l'égalité, pas une donnée.
Cherche un cas reposant uniquement sur les longueurs.[/reponse]
[reponse motif="ACA avec les angles en $A$ et en $C$."]Non.
Les angles en $A$ et en $C$ ne sont pas connus comme égaux entre les deux triangles avant la démonstration.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles ne sont pas forcément égaux."]Non.
Dans un cerf-volant, la diagonale partage la figure en deux triangles toujours égaux (par symétrie).
Identifie le cas qui repose sur les longueurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Liste les côtés connus à partir des hypothèses ($AB = AD$, $CB = CD$) et de la figure ($AC$ commun), puis identifie le cas correspondant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$, on sait que $AB = 8$ cm et $BC = 3$ cm. Combien de valeurs entières strictement positives la longueur $AC$ peut-elle prendre ?
[qcm]
[option]$11$ valeurs[/option]
[option correct="true"]$5$ valeurs[/option]
[option]$10$ valeurs[/option]
[option]$7$ valeurs[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'inégalité triangulaire impose $AC < AB + BC = 11$ et $AC > AB - BC = 5$.
Donc $5 < AC < 11$. Les entiers possibles sont $6, 7, 8, 9, 10$, soit $5$ valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$11$ valeurs"]Non.
Tu as compté tous les entiers de $1$ à $11$.
Mais il faut aussi $AC > |AB - BC| = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$10$ valeurs"]Pas tout à fait.
Tu as oublié d'exclure les valeurs $\leqslant 5$.
Liste les entiers strictement compris entre $5$ et $11$.[/reponse]
[reponse motif="$7$ valeurs"]Non.
Vérifie soigneusement les bornes : strictement entre $5$ et $11$, sans inclure les bornes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$AC$ est strictement compris entre $|AB - BC|$ et $AB + BC$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ et soit $M$ le milieu de $[BC]$. Quel cas d'égalité permet de démontrer que les triangles $ABM$ et $ACM$ sont égaux ?

[qcm]
[option correct="true"]CCC : $AB = AC$, $BM = CM$, $AM$ commun.[/option]
[option]CAC avec l'angle $\widehat{BAM}$.[/option]
[option]ACA avec les angles en $B$ et en $C$.[/option]
[option]On ne peut pas conclure.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$AB = AC$ car le triangle est isocèle en $A$. $BM = CM$ car $M$ est le milieu de $[BC]$. Le côté $[AM]$ est commun aux deux triangles. Trois paires de côtés égaux : cas CCC.[/reponse]
[reponse motif="CAC avec l'angle $\widehat{BAM}$."]Non.
On ne sait pas si $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ a priori (c'est plutôt une conséquence à démontrer).
Cherche un cas qui n'utilise que les longueurs.[/reponse]
[reponse motif="ACA avec les angles en $B$ et en $C$."]Non.
Les angles à la base $\widehat{ABM}$ et $\widehat{ACM}$ sont effectivement égaux (triangle isocèle), mais il manque un côté commun aux extrémités du même côté.
Le cas CCC est plus direct ici.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure."]Non.
On a trois paires de côtés égaux. C'est suffisant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Liste les côtés des deux triangles : ceux donnés par les hypothèses, le milieu, et le côté commun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on sait que $\widehat{ABC} = 30°$. Le point $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle. Où se situe $O$ ?
[qcm]
[option]À l'intérieur du triangle.[/option]
[option]À l'extérieur du triangle.[/option]
[option correct="true"]Au milieu de l'hypoténuse $[BC]$.[/option]
[option]Au sommet $A$.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est exactement au milieu de l'hypoténuse. En effet, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets : c'est donc le centre du cercle qui passe par les trois sommets.[/reponse]
[reponse motif="À l'intérieur du triangle."]Non.
Pour un triangle rectangle, le centre est sur l'hypoténuse, c'est-à-dire sur la frontière du triangle, pas strictement à l'intérieur.[/reponse]
[reponse motif="À l'extérieur du triangle."]Non.
Le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur uniquement dans le cas d'un triangle obtusangle.
Ici, le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Au sommet $A$."]Non.
Le centre du cercle circonscrit est à égale distance des trois sommets. Si c'était $A$, alors $AB = AC = 0$, ce qui est absurde.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, car ce milieu est à égale distance des trois sommets. Attention à ne pas confondre la médiane issue de l'angle droit (qui relie ce sommet au milieu de l'hypoténuse) et la médiatrice de l'hypoténuse (perpendiculaire passant par ce milieu).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]