Tombola : probabilités, complément et comparaison
Une association organise une tombola avec $ 200 $ billets numérotés de $ 1 $ à $ 200 $, tous identiques. Un seul billet gagnant sera tiré au sort à la fin de la soirée. Quatre élèves ont acheté des billets ; le reste est réparti entre les autres participants.
| Participant | Maxime | Léa | Hugo | Sarah | Autres |
| Nombre de billets | $ 12 $ | $ 12 $ | $ 25 $ | $ 51 $ | $ ? $ |
- Justifier que les $ 200 $ issues du tirage sont équiprobables.
- Calculer la probabilité que Maxime gagne. Exprimer le résultat sous forme de fraction simplifiée et en pourcentage.
- Léa a acheté autant de billets que Maxime. La probabilité qu'elle gagne est-elle la même que celle de Maxime ? Justifier.
- Combien de billets ont été achetés par les autres participants ?
- En déduire la probabilité que le gagnant ne soit ni Maxime, ni Léa, ni Hugo, ni Sarah. Donner le résultat en fraction simplifiée et en pourcentage.
- Sarah affirme : « J'ai $ 51 $ billets sur $ 200 $, donc j'ai plus d'une chance sur quatre de gagner. » A-t-elle raison ? Justifier par un calcul.
Corrigé
- Les $ 200 $ billets sont identiques et un seul est tiré au hasard : chaque billet a la même chance d'être choisi. Les $ 200 $ issues sont donc équiprobables.
Maxime possède $ 12 $ billets sur $ 200 $ :
$ P(\text{Maxime}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.On convertit en pourcentage : $ \dfrac{3}{50} = \dfrac{6}{100} = 0{,}06 $, soit $\mathbf{6\,\%}$.
Léa a acheté $ 12 $ billets, comme Maxime. Le nombre d'issues qui réalisent « Léa gagne » est donc le même que pour Maxime, et le nombre total d'issues est inchangé :
$ P(\text{Léa}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.Les deux probabilités sont donc égales : chaque billet ayant la même chance, seules les quantités de billets comptent.
Maxime, Léa, Hugo et Sarah possèdent ensemble :
$ 12 + 12 + 25 + 51 = 100 $ billets.Comme la tombola compte $ 200 $ billets au total, il reste pour les autres participants :
$ 200 - 100 = \mathbf{100} $ billets.- La probabilité que le gagnant fasse partie des autres participants vaut :
$ P(\text{autres}) = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $, soit $\mathbf{50\,\%}$.
La probabilité que Sarah gagne vaut :
$ P(\text{Sarah}) = \dfrac{51}{200} $.Une chance sur quatre correspond à $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{50}{200} $.
On compare les deux fractions de même dénominateur : $ \dfrac{51}{200} > \dfrac{50}{200} $, donc $ P(\text{Sarah}) > \dfrac{1}{4} $.
Sarah a donc raison : sa probabilité de gagner est légèrement supérieure à une chance sur quatre (elle vaut précisément $ \dfrac{51}{200} = 0{,}255 $, soit $ 25{,}5\,\% $).
Pour réviser : Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.