Tirage dans un jeu de 32 cartes

On tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de $ 32 $ cartes. Ce jeu est composé de quatre couleurs ($ 8 $ cartes par couleur) : cœur et carreau (rouges), pique et trèfle (noires). Chaque couleur contient les cartes : $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $, valet, dame, roi et as.

On définit les événements :

A : « La carte tirée est un cœur ».
B : « La carte tirée est un valet ».
C : « La carte tirée est une figure » (c'est-à-dire un valet, une dame ou un roi).

Justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité, puis calculer $ P(A) $, $ P(B) $ et $ P(C) $.
Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Justifier.
Les événements B et C sont-ils incompatibles ? Justifier.
Calculer la probabilité de l'événement : « Tirer un cœur ou tirer un pique ». Justifier la méthode utilisée.
Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{C} $ et calculer sa probabilité.

Corrigé

Le jeu est bien mélangé, donc chaque carte a la même chance d'être tirée : les $ 32 $ issues sont équiprobables.
- Il y a $ 8 $ cœurs dans le jeu, donc $ P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} $.
- Il y a $ 4 $ valets (un par couleur), donc $ P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} $.
- Il y a $ 3 $ figures par couleur (valet, dame, roi), soit $ 3 \times 4 = 12 $ figures en tout, donc $ P(C) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} $.
Le valet de cœur est à la fois un cœur et un valet : il réalise les événements A et B en même temps. Les événements A et B ne sont donc pas incompatibles.
Un valet est toujours une figure (par définition). Les événements B et C peuvent donc se réaliser en même temps : ils ne sont pas incompatibles.
Une carte ne peut pas être à la fois un cœur et un pique : les événements « Tirer un cœur » et « Tirer un pique » sont incompatibles. La probabilité que l'un ou l'autre se réalise est la somme de leurs probabilités. Il y a $ 8 $ cœurs et $ 8 $ piques.
$ P(\text{cœur ou pique}) = \dfrac{8}{32} + \dfrac{8}{32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2} $
La probabilité de tirer un cœur ou un pique est $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$.
L'événement contraire $ \overline{C} $ est : « La carte tirée n'est pas une figure », c'est-à-dire « Tirer un $ 7 $, un $ 8 $, un $ 9 $, un $ 10 $ ou un as ».
$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} $
La probabilité de ne pas tirer une figure est $\mathbf{\dfrac{5}{8}}$.

Compléter un tableau de probabilités

Un confiseur fabrique des bonbons de quatre parfums : citron, fraise, orange et menthe. On prend un bonbon au hasard dans un grand sac et on regarde son parfum. Les probabilités de chaque parfum sont données dans le tableau ci-dessous, mais celle d'obtenir un bonbon à l'orange a été effacée.

Parfum	Citron	Fraise	Orange	Menthe
Probabilité	0,15	0,32	?	0,2

Calculer la probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange.
On considère l'événement A : « Obtenir un bonbon au citron ou à la fraise ». Calculer $ P(A) $ et donner le résultat sous forme décimale, puis sous forme de pourcentage.
Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{A} $ et calculer sa probabilité.
Le sac contient $ 200 $ bonbons en tout. Estimer le nombre de bonbons à l'orange qu'il contient.

Corrigé

La somme des probabilités de toutes les issues est égale à $ 1 $. On note $ p $ la probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange.
$ 0{,}15 + 0{,}32 + p + 0{,}2 = 1 $
$ 0{,}67 + p = 1 $
$ p = 1 - 0{,}67 = 0{,}33 $
La probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange est $\mathbf{0{,}33}$.
Les événements « Obtenir un bonbon au citron » et « Obtenir un bonbon à la fraise » sont incompatibles (un bonbon n'a qu'un seul parfum). La probabilité que l'un ou l'autre se réalise est donc la somme des deux probabilités.
$ P(A) = 0{,}15 + 0{,}32 = 0{,}47 $
Sous forme de pourcentage : $ P(A) = 47\,\% $.
La probabilité d'obtenir un bonbon au citron ou à la fraise est $\mathbf{0{,}47}$, soit $\mathbf{47\,\%}$.
L'événement contraire $ \overline{A} $ est : « Obtenir un bonbon à l'orange ou à la menthe ».
$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}47 = 0{,}53 $
La probabilité de l'événement contraire est $\mathbf{0{,}53}$.
Comme on répète un grand nombre de fois l'expérience, la fréquence d'apparition d'un bonbon à l'orange est proche de sa probabilité $ 0{,}33 $. Sur $ 200 $ bonbons :
$ 200 \times 0{,}33 = 66 $
Le sac contient donc environ $ 66 $ bonbons à l'orange.

Pour réviser : Exprimer une probabilité sous différentes formes.

Vrai/Faux : Événements contraires et incompatibles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les événements contraires et incompatibles, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé cubique équilibré.

Affirmation : L'événement contraire de « obtenir le 1 » est « obtenir le 6 ».

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'événement contraire de « obtenir le 1 » est « ne pas obtenir le 1 », c'est-à-dire « obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6 ». L'événement « obtenir le 6 » n'est qu'une seule des cinq issues du contraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre « contraire » avec « opposé » ou « extrême ». Le contraire de « obtenir 1 » est « ne pas obtenir 1 » : il faut alors décrire toutes les autres issues possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le contraire de « obtenir 1 » est « obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6 », pas seulement « obtenir 6 ».
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit A un événement de probabilité $\dfrac{2}{7}$.

Affirmation : La probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$ vaut $\dfrac{5}{7}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ :

$P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{7}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour soustraire $\dfrac{2}{7}$ à 1, il faut écrire 1 sous la forme $\dfrac{7}{7}$. On obtient alors $\dfrac{7}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé cubique équilibré.

Affirmation : Les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de 3 » sont incompatibles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le nombre 6 est à la fois pair et multiple de 3 : les deux événements peuvent se réaliser en même temps. Ils ne sont donc pas incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Or le 6 est pair ET multiple de 3, donc une issue réalise simultanément les deux événements.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le 6 réalise les deux événements simultanément, donc ils ne sont pas incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère deux événements A et B incompatibles tels que $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}5$.

Affirmation : La probabilité que A ou B se réalise vaut $0{,}8$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme A et B sont incompatibles, on peut additionner leurs probabilités :

$P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour deux événements incompatibles, la formule est $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$. Ici, $0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$, donc la probabilité demandée vaut bien $0{,}8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour deux événements incompatibles, $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) = 0{,}8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux événements contraires sont toujours incompatibles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si A et $\overline{A}$ étaient réalisés en même temps pour une issue, cela voudrait dire que A est à la fois réalisé et non réalisé : c'est impossible. Donc A et $\overline{A}$ ne se réalisent jamais simultanément : ils sont incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de confondre les deux notions. Mais par définition, $\overline{A}$ est réalisé exactement quand A ne l'est pas : les deux ne peuvent jamais se produire en même temps, donc ils sont incompatibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, A et $\overline{A}$ ne peuvent pas se réaliser en même temps : ils sont incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux événements sont incompatibles, alors ils sont forcément contraires l'un de l'autre.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires. Par exemple, sur un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 2 » sont incompatibles (ils ne se réalisent jamais en même temps), mais ne sont pas contraires : leur réunion ne couvre pas toutes les issues (3, 4, 5, 6 ne sont dans aucun des deux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux notions. Deux événements contraires sont incompatibles, mais la réciproque est fausse : il faut en plus que les deux événements couvrent ensemble toutes les issues possibles pour qu'ils soient contraires.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. « Obtenir 1 » et « obtenir 2 » sur un dé sont incompatibles mais pas contraires.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Vocabulaire et propriétés des probabilités

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le vocabulaire et les propriétés des probabilités, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère une expérience aléatoire.

Affirmation : La probabilité d'un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une probabilité mesure la « chance » qu'un événement se réalise. Elle vaut 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain, et toute valeur intermédiaire entre les deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : 0 correspond à l'événement impossible, 1 à l'événement certain. Aucune probabilité ne peut être négative ni dépasser 1.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une probabilité est toujours dans l'intervalle $[0\,;1]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Lorsqu'on lance une pièce de monnaie « pile ou face » non truquée, la probabilité d'obtenir « Pile » vaut $50\%$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une pièce non truquée a deux issues équiprobables : « Pile » et « Face ». Chacune a une probabilité de $\dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une probabilité peut s'exprimer en fraction, en décimal ou en pourcentage. Sur une pièce équilibrée, $\dfrac{1}{2}$ s'écrit aussi $0{,}5$ ou $50\%$ : ce sont trois écritures de la même probabilité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{1}{2}$, $0{,}5$ et $50\%$ représentent la même probabilité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé cubique équilibré à six faces.

Affirmation : L'événement « obtenir un nombre supérieur à 6 » est un événement impossible.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les faces d'un dé portent les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Aucune ne peut afficher un nombre strictement supérieur à 6 : l'événement est impossible, sa probabilité vaut 0.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Un événement impossible est un événement qui ne peut jamais se réaliser. Sur un dé à 6 faces, le numéro maximal est 6, donc « obtenir strictement plus de 6 » ne peut jamais arriver.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Aucune face du dé ne dépasse 6, donc l'événement est impossible et sa probabilité vaut 0.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une expérience aléatoire compte 5 issues équiprobables, alors chacune a une probabilité de $\dfrac{1}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En situation d'équiprobabilité, toutes les issues ont la même probabilité. Comme la somme des probabilités vaut 1, chacune vaut $\dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $n$ issues sont équiprobables, chacune a pour probabilité $\dfrac{1}{n}$. Ici $n = 5$, donc chaque issue a une probabilité de $\dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec 5 issues équiprobables, chacune a pour probabilité $\dfrac{1}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'événement contraire d'un événement A se note $A^*$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La notation correcte de l'événement contraire de A est $\overline{A}$ (un trait au-dessus de A). La notation $A^*$ n'est pas utilisée en probabilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la notation : l'événement contraire de A se note $\overline{A}$ avec un trait horizontal au-dessus, et non $A^*$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La notation correcte est $\overline{A}$, pas $A^*$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance une punaise et on observe sur quelle face elle tombe (pointe ou plat).

Affirmation : La probabilité que la punaise tombe sur la pointe est $\dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Une punaise n'est pas symétrique : il n'y a aucune raison que les deux positions soient équiprobables. La formule $\dfrac{1}{2}$ ne s'applique que si les issues sont équiprobables, ce qui n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre « deux issues » avec « issues équiprobables ». Une punaise tombe le plus souvent à plat, beaucoup plus rarement sur la pointe. La probabilité de tomber sur la pointe doit être estimée en répétant un grand nombre de lancers.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les deux positions ne sont pas équiprobables ; on ne peut pas appliquer $\dfrac{1}{2}$ par défaut.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Probabilités

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul de probabilités, événement contraire, événements incompatibles et stabilisation des fréquences. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé truqué à six faces. Les probabilités des issues sont données dans le tableau suivant :

Face	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}15$	$0{,}05$	$0{,}3$	?

Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$0{,}8$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 :

$P(6) = 1 - (0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}05 + 0{,}3) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
$\dfrac{1}{6}$ serait la probabilité pour un dé équilibré. Or ici le dé est truqué : il faut utiliser le fait que la somme des probabilités vaut 1.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$"]Non.
$0{,}8$ est la somme des cinq probabilités déjà connues. Pour obtenir $P(6)$, il faut soustraire cette somme à 1.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ correspondrait à une chance sur deux d'obtenir un 6, ce qui n'est pas cohérent. Il faut utiliser : « la somme des probabilités vaut 1 ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est toujours égale à 1. Il faut soustraire la somme des probabilités connues à 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue est partagée en 20 secteurs identiques numérotés de 1 à 20. On la fait tourner. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair et supérieur à 10 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{15}{20}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les nombres impairs supérieurs à 10 entre 1 et 20 sont 11, 13, 15, 17, 19, soit 5 issues favorables sur 20 :

$P = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir un nombre impair quelconque (10 sur 20). Il y a une seconde condition : être aussi supérieur à 10.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{20}$"]Non.
Un nombre impair supérieur à 10 a été oublié dans le compte. Il faut bien lister 11, 13, 15, 17, 19, ce qui fait 5 et non 3.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{20}$"]Non.
On compte les issues qui vérifient les deux conditions à la fois (impair ET supérieur à 10), pas l'une ou l'autre. Il s'agit donc des nombres communs aux deux ensembles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut lister tous les nombres entre 1 et 20 qui sont à la fois impairs et strictement supérieurs à 10, puis appliquer la formule d'équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe, 60 % des élèves participent au club théâtre et 25 % au club musique. Aucun élève ne fait les deux. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne participe à aucun de ces deux clubs ?
[qcm]
[option]$85\%$[/option]
[option]$35\%$[/option]
[option correct="true"]$15\%$[/option]
[option]$0\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les deux clubs sont incompatibles, donc $P(\text{théâtre ou musique}) = 60\% + 25\% = 85\%$. Par l'événement contraire :

$P(\text{aucun}) = 100\% - 85\% = 15\%$

[/reponse]
[reponse motif="$85\%$"]Non.
$85\%$ est la probabilité de participer à l'un des deux clubs (théâtre ou musique). On cherche ici la probabilité de l'événement contraire : ne faire ni l'un ni l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$35\%$"]Non.
$35\%$ correspondrait à $60\% - 25\%$, ce qui n'a pas de signification ici. Il faut additionner les pourcentages des deux clubs (puisqu'ils sont incompatibles), puis soustraire à 100 %.[/reponse]
[reponse motif="$0\%$"]Non.
Les deux clubs ne couvrent pas la classe entière : $60\% + 25\% = 85\%$, donc $15\%$ des élèves ne participent à aucun. La probabilité n'est pas nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comme les deux clubs sont incompatibles, on additionne d'abord leurs pourcentages, puis on prend le complément à 100 % pour obtenir le pourcentage d'élèves dans aucun des deux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lors d'un sondage, on constate que sur 1 000 personnes interrogées, 423 préfèrent le thé. Quelle est la valeur la plus proche de la probabilité qu'une personne préfère le thé, selon ce sondage ?
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$\dfrac{1}{423}$[/option]
[option]$423$[/option]
[option correct="true"]$0{,}42$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d'apparition d'une issue se rapproche de sa probabilité. Ici la fréquence vaut :

$f = \dfrac{423}{1\,000} = 0{,}423 \approx 0{,}42$

[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ supposerait qu'il y ait autant de personnes pour le thé que pour autre chose. Or 423 sur 1 000 est nettement inférieur à la moitié.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{423}$"]Non.
Le numérateur doit être 423 (le nombre de réponses « thé ») et le dénominateur 1 000 (le nombre total de personnes). Il ne faut pas inverser.[/reponse]
[reponse motif="$423$"]Non.
423 est un effectif, pas une probabilité. Une probabilité est un nombre toujours compris entre 0 et 1. Il faut diviser par le nombre total de personnes interrogées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence (nombre de fois où l'issue se produit, divisé par le nombre total d'essais) se rapproche de la probabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 30 boules : 12 rouges, 8 vertes, 7 bleues et le reste sont jaunes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ou jaune ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{15}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{27}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{30}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Le nombre de boules jaunes vaut $30 - 12 - 8 - 7 = 3$. Les événements « rouge » et « jaune » sont incompatibles, donc :

$P(\text{rouge ou jaune}) = \dfrac{12}{30} + \dfrac{3}{30} = \dfrac{15}{30}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{30}$"]Non.
$\dfrac{12}{30}$ est la probabilité de tirer une boule rouge uniquement. Il faut aussi compter les boules jaunes, dont le nombre n'est pas donné explicitement.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{27}{30}$"]Non.
$27 = 12 + 8 + 7$ est le nombre de boules rouges, vertes et bleues. Cela ne correspond pas à l'événement « rouge ou jaune ». Il faut commencer par calculer le nombre de boules jaunes.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{30}$"]Non.
$\dfrac{1}{30}$ correspondrait à une seule boule favorable. Or il y a au moins 12 boules rouges parmi les 30. Le numérateur doit refléter le total des boules rouges et jaunes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer la probabilité de « rouge ou jaune », il faut d'abord calculer le nombre de boules jaunes (par soustraction au total), puis additionner les probabilités des deux événements (incompatibles).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire au hasard un jeton dans un sac contenant 25 jetons numérotés de 1 à 25. Soit A : « obtenir un multiple de 5 » et B : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 ». Que peut-on dire de A et B ?
[qcm]
[option]A et B sont incompatibles[/option]
[option correct="true"]A et B ne sont pas incompatibles[/option]
[option]A et B sont contraires[/option]
[option]B est l'événement contraire de A[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les multiples de 5 entre 1 et 25 sont 5, 10, 15, 20, 25. Les nombres supérieurs ou égaux à 20 sont 20, 21, 22, 23, 24, 25. Les issues 20 et 25 réalisent A et B en même temps : les événements ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[reponse motif="A et B sont incompatibles"]Non.
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Or 20 et 25 sont à la fois multiples de 5 et supérieurs ou égaux à 20.[/reponse]
[reponse motif="A et B sont contraires"]Non.
Deux événements contraires se complètent : A et $\overline{A}$ couvrent toutes les issues sans en partager. Ici, certaines issues réalisent A et B simultanément, et d'autres ni l'un ni l'autre.[/reponse]
[reponse motif="B est l'événement contraire de A"]Non.
$\overline{A}$ serait « ne pas obtenir un multiple de 5 », c'est-à-dire des issues comme 1, 2, 3, etc. Or B contient 20 et 25 qui sont multiples de 5 : B n'est pas le contraire de A.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les issues réalisant A, puis celles réalisant B, et regarder s'il y en a en commun. Si oui, A et B ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Vocabulaire des probabilités

[enonce]
Ce QCM porte sur le vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, issues, événements certain et impossible, équiprobabilité. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère l'expérience suivante : « On lance un dé cubique équilibré à six faces et on note le numéro de la face du dessus. » Combien d'issues possède cette expérience aléatoire ?
[qcm]
[option]1[/option]
[option]2[/option]
[option correct="true"]6[/option]
[option]12[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les issues sont les résultats possibles de l'expérience. Ici les faces du dé donnent 6 résultats : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
Une issue est un résultat possible et il y en a plusieurs sur un dé. Il faut compter toutes les valeurs que peut afficher la face du dessus.[/reponse]
[reponse motif="2"]Non.
Un dé n'a pas seulement deux résultats possibles (ce serait le cas pour une pièce de monnaie « Pile ou Face »). Il faut compter le nombre de faces du dé.[/reponse]
[reponse motif="12"]Non.
Un dé cubique a 6 faces, pas 12. Une issue correspond à une seule face : il ne faut pas multiplier par 2.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une issue est un résultat possible de l'expérience. Pour un dé cubique, il y a autant d'issues que de faces.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est partagée en 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8. On la fait tourner. Quel événement est certain ?
[qcm]
[option]Obtenir un nombre pair[/option]
[option correct="true"]Obtenir un nombre compris entre 1 et 8[/option]
[option]Obtenir le nombre 5[/option]
[option]Obtenir un nombre supérieur à 6[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un événement certain est réalisé à coup sûr, quel que soit le résultat. Tous les secteurs sont numérotés de 1 à 8, donc on obtient toujours un nombre dans cet intervalle.[/reponse]
[reponse motif="Obtenir un nombre pair"]Non.
Cet événement n'est pas toujours réalisé : si la roue s'arrête sur 1, 3, 5 ou 7, le résultat est impair. Un événement certain est réalisé dans 100 % des cas.[/reponse]
[reponse motif="Obtenir le nombre 5"]Non.
Un seul secteur sur 8 affiche 5 : cet événement n'est pas certain, sa probabilité vaut $\dfrac{1}{8}$. Un événement certain a une probabilité de 1.[/reponse]
[reponse motif="Obtenir un nombre supérieur à 6"]Non.
Cet événement n'est réalisé que pour les secteurs 7 et 8. Pour qu'il soit certain, il faudrait qu'il soit réalisé pour toutes les issues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un événement certain est un événement qui se réalise quel que soit le résultat de l'expérience. Sa probabilité est égale à 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs, 8 valeurs par couleur). Quel événement est impossible ?
[qcm]
[option]Tirer un roi[/option]
[option]Tirer une carte rouge[/option]
[option correct="true"]Tirer un joker[/option]
[option]Tirer un valet de pique[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un jeu de 32 cartes ne contient pas de joker. L'événement « tirer un joker » ne peut donc jamais se réaliser : c'est un événement impossible, de probabilité 0.[/reponse]
[reponse motif="Tirer un roi"]Non.
Un jeu de 32 cartes contient 4 rois (un par couleur). Cet événement peut se réaliser, il n'est donc pas impossible.[/reponse]
[reponse motif="Tirer une carte rouge"]Non.
Le jeu contient des cartes rouges (cœurs et carreaux) et des cartes noires. Tirer une carte rouge est possible, donc l'événement n'est pas impossible.[/reponse]
[reponse motif="Tirer un valet de pique"]Non.
Le jeu de 32 cartes contient bien un valet de pique (parmi les 8 cartes de pique). Cet événement peut donc se réaliser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un événement est impossible quand il ne peut jamais se réaliser. Sa probabilité vaut 0. Il faut chercher la situation qui n'existe pas dans un jeu de 32 cartes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle expérience parmi les suivantes les issues sont-elles équiprobables ?
[qcm]
[option]Lancer un dé pipé à six faces[/option]
[option]Tirer au hasard un élève dans une classe contenant plus de filles que de garçons et observer son sexe[/option]
[option correct="true"]Tirer une boule au hasard dans une urne contenant 5 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 5[/option]
[option]Lancer une punaise et regarder si elle tombe sur la pointe ou à plat[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les boules sont indiscernables au toucher : aucune n'est plus facile à tirer qu'une autre. Chacune des 5 issues a la même probabilité $\dfrac{1}{5}$ : il y a équiprobabilité.[/reponse]
[reponse motif="Lancer un dé pipé à six faces"]Non.
Un dé pipé (truqué) n'est pas équilibré : certaines faces tombent plus souvent que d'autres. Les issues n'ont donc pas la même probabilité.[/reponse]
[reponse motif="Tirer au hasard un élève dans une classe contenant plus de filles que de garçons et observer son sexe"]Non.
Comme il y a plus de filles que de garçons, la probabilité d'obtenir une fille est plus grande que celle d'obtenir un garçon. Les deux issues ne sont pas équiprobables.[/reponse]
[reponse motif="Lancer une punaise et regarder si elle tombe sur la pointe ou à plat"]Non.
Une punaise n'est pas symétrique : elle tombe nettement plus souvent à plat que sur la pointe. Les deux issues ne sont pas équiprobables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité. C'est le cas lorsque l'expérience est parfaitement symétrique et que rien ne favorise une issue par rapport à une autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé cubique équilibré. Soit A l'événement « obtenir un nombre pair ». Quel est l'événement contraire de A, noté $\overline{A}$ ?
[qcm]
[option]« Obtenir un multiple de 3 »[/option]
[option correct="true"]« Obtenir un nombre impair »[/option]
[option]« Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 »[/option]
[option]« Obtenir le nombre 0 »[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'événement contraire est réalisé exactement quand A ne l'est pas. A est réalisé pour 2, 4, 6 et n'est pas réalisé pour 1, 3, 5 : son contraire est « obtenir un nombre impair ».[/reponse]
[reponse motif="« Obtenir un multiple de 3 »"]Non.
Les multiples de 3 sont 3 et 6. Ce n'est ni la liste des nombres pairs (2, 4, 6) ni leur complémentaire. Le contraire de A doit être réalisé exactement quand A ne l'est pas.[/reponse]
[reponse motif="« Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 »"]Non.
Cet événement est réalisé pour 4, 5 et 6. Mais 5 est impair (pas pair) et 2 est pair (donc dans A). Les deux événements ont des issues communes : ce ne sont pas des événements contraires.[/reponse]
[reponse motif="« Obtenir le nombre 0 »"]Non.
Cet événement est impossible (le dé n'affiche jamais 0). Le contraire de A doit être réalisé pour toutes les issues qui ne sont pas dans A, pas seulement aucune.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le contraire de A est l'événement réalisé exactement quand A n'est pas réalisé. Les issues 1, 3 et 5 (qui ne sont pas dans A) doivent être les seules à le réaliser.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour l'expérience consistant à lancer un dé cubique équilibré et à noter le numéro affiché, quelle affirmation est vraie ?
[qcm]
[option]La probabilité d'une issue peut être un nombre négatif[/option]
[option]La probabilité d'une issue peut dépasser 1[/option]
[option correct="true"]La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1[/option]
[option]La somme des probabilités de toutes les issues est égale au nombre total d'issues[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire vaut toujours 1. Pour un dé équilibré : $6 \times \dfrac{1}{6} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="La probabilité d'une issue peut être un nombre négatif"]Non.
Une probabilité représente une « chance » : elle est toujours positive ou nulle. Plus précisément, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.[/reponse]
[reponse motif="La probabilité d'une issue peut dépasser 1"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Le maximum 1 correspond à un événement certain, le minimum 0 à un événement impossible.[/reponse]
[reponse motif="La somme des probabilités de toutes les issues est égale au nombre total d'issues"]Non.
Pour un dé équilibré à 6 faces, on aurait alors une somme égale à 6, ce qui est faux puisque chaque face vaut $\dfrac{1}{6}$ et $6 \times \dfrac{1}{6} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire vaut toujours 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]