[enonce]
Bilan du chapitre Pythagore et trigonométrie : pour chaque affirmation, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si on connait un angle et un côté dans un triangle rectangle, on peut calculer les deux autres côtés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Avec un angle aigu et un côté connu, on utilise le rapport trigonométrique adapté (sinus, cosinus ou tangente) pour calculer un deuxième côté.
Une fois deux côtés connus, le théorème de Pythagore permet de trouver le troisième.
Par exemple, si on connait un angle de 30° et l'hypoténuse de 10 cm, on calcule le côté adjacent par $ \cos(30^{\circ}) \times 10 $, puis le dernier côté par Pythagore.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Dans un triangle rectangle, un angle aigu et un côté suffisent pour tout calculer.
On choisit le rapport trigonométrique qui relie le côté connu au côté cherché (sinus, cosinus ou tangente) pour trouver un deuxième côté.
Ensuite, avec deux côtés connus, le théorème de Pythagore donne le troisième.
Ces deux outils sont complémentaires : la trigonométrie fait le lien entre angles et côtés, Pythagore fait le lien entre les côtés.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Trigonométrie + Pythagore permettent de trouver tous les éléments manquants.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $ \cos(30^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
$ \cos(30^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 $ est une valeur remarquable de la trigonométrie.
On peut la retrouver en coupant un triangle équilatéral de côté 2 en deux : on obtient un triangle rectangle avec un angle de 30°, un côté adjacent de $ \sqrt{3} $ et une hypoténuse de 2, d'où $ \cos(30^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
$ \cos(30^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 $ fait partie des valeurs remarquables à connaitre en trigonométrie.
Pour la retrouver, on part d'un triangle équilatéral de côté 2 que l'on coupe par une hauteur : on obtient un triangle rectangle avec un angle de 30°, un côté adjacent de $ \sqrt{3} $ et une hypoténuse de 2.
Le cosinus est le rapport côté adjacent sur hypoténuse, soit $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $ \cos(30^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le théorème de Pythagore permet de calculer un angle dans un triangle rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Le théorème de Pythagore relie uniquement les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle : $ c^{2} = a^{2} + b^{2} $.
Il n'y a aucun angle dans cette formule.
Pour calculer un angle, il faut utiliser la trigonométrie : on connait deux côtés, on calcule un rapport (sinus, cosinus ou tangente), puis on utilise la touche inverse de la calculatrice pour obtenir l'angle.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Le théorème de Pythagore s'écrit $ c^{2} = a^{2} + b^{2} $ : il ne fait intervenir que des longueurs, jamais d'angles.
Il permet de calculer une longueur manquante quand on connait les deux autres.
Pour calculer un angle dans un triangle rectangle, c'est la trigonométrie qu'il faut utiliser : on forme un rapport entre deux côtés (sinus, cosinus ou tangente), puis on utilise la fonction inverse sur la calculatrice.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pythagore donne des longueurs, la trigonométrie donne des angles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, si l'on connait les trois côtés mais aucun angle aigu, on peut quand meme calculer un angle en utilisant la trigonométrie.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Si on connait deux côtés d'un triangle rectangle, on peut former un rapport trigonométrique (sinus, cosinus ou tangente) et utiliser la fonction inverse sur la calculatrice pour retrouver l'angle.
Par exemple, si l'hypoténuse vaut 10 et un côté vaut 6, on calcule $ \cos(\widehat{a}) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 $, puis $ \widehat{a} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53{,}1^{\circ} $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Connaitre les trois côtés, c'est connaitre au moins deux côtés. On peut donc former un rapport trigonométrique.
Par exemple, avec une hypoténuse de 10 et un côté de 6 : $ \cos(\widehat{a}) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 $.
Puis avec la touche $ \cos^{-1} $ de la calculatrice : $ \widehat{a} \approx 53{,}1^{\circ} $.
La trigonométrie fonctionne dans les deux sens : des côtés vers les angles, et des angles vers les côtés.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec deux côtés, on forme un rapport trigonométrique et on utilise la fonction inverse.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $ \sin(\widehat{A}) = 0{,}6 $, alors $ \cos(\widehat{A}) = 0{,}7 $.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Pour tout angle aigu, on a la relation $ \cos^{2}(\widehat{A}) + \sin^{2}(\widehat{A}) = 1 $.
Si $ \sin(\widehat{A}) = 0{,}6 $, alors $ \cos(\widehat{A}) $ doit vérifier $ \cos^{2}(\widehat{A}) = 1 - 0{,}6^{2} = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 $.
Donc $ \cos(\widehat{A}) = 0{,}8 $, et non $ 0{,}7 $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Le sinus et le cosinus d'un meme angle vérifient toujours $ \cos^{2}(\widehat{A}) + \sin^{2}(\widehat{A}) = 1 $.
Vérifions : $ 0{,}6^{2} + 0{,}7^{2} = 0{,}36 + 0{,}49 = 0{,}85 \neq 1 $.
En réalité, $ \cos^{2}(\widehat{A}) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 $, donc $ \cos(\widehat{A}) = 0{,}8 $.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $ 0{,}6^{2} + 0{,}7^{2} = 0{,}85 \neq 1 $. Le cosinus vaut $ 0{,}8 $, pas $ 0{,}7 $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour calculer la distance entre deux points inaccessibles, on peut utiliser la trigonométrie si on connait un angle et une distance.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
C'est l'une des applications pratiques les plus importantes de la trigonométrie.
En mesurant un angle (par exemple avec un théodolite) et une distance accessible, on peut former un triangle rectangle et utiliser un rapport trigonométrique pour calculer la distance inaccessible.
Par exemple, pour mesurer la hauteur d'un bâtiment, on se place à une distance connue, on mesure l'angle d'élévation, et on utilise la tangente.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
La trigonométrie est justement faite pour résoudre ce type de problème.
Si on connait un angle et une longueur dans un triangle rectangle, un rapport trigonométrique (sinus, cosinus ou tangente) permet de calculer un côté inaccessible.
C'est le principe utilisé pour mesurer la hauteur d'un arbre, la largeur d'une rivière ou la distance à un sommet montagneux, sans avoir à s'y rendre.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La trigonométrie sert notamment à mesurer des distances inaccessibles.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
QCM bilan sur le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Les questions mélangent les différents savoir-faire du chapitre.
[/enonce]

[etape]
On connait deux côtés d'un triangle rectangle et on cherche le troisième. Quel outil utiliser ?

[qcm]
[option correct="true"]Le théorème de Pythagore[/option]
[option]Le cosinus[/option]
[option]La réciproque de Pythagore[/option]
[option]Le théorème de Thalès[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. Le théorème de Pythagore permet de calculer un côté à partir des deux autres dans un triangle rectangle.
[/reponse]

[reponse motif="Le cosinus"]
La trigonométrie (cosinus, sinus, tangente) est utile quand on connait un angle et un côté. Ici, on connait deux côtés : c'est Pythagore.
[/reponse]

[reponse motif="La réciproque de Pythagore"]
La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle, pas à calculer un côté.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Pour calculer un côté à partir de deux côtés dans un triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore.
[/reponse]

[solution]
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés : on l'utilise quand on en connait deux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ ABC $ est un triangle rectangle en $ A $ avec $ \widehat{ABC} = 35^{\circ} $ et $ BC = 8 $cm. Calculer $ AB $ arrondi au dixième.

[qcm]
[option correct="true"]$ 6{,}6 $ cm[/option]
[option]$ 4{,}6 $ cm[/option]
[option]$ 5{,}6 $ cm[/option]
[option]$ 9{,}8 $ cm[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Oui. $ [AB] $ est le côté adjacent à $ \widehat{ABC} $ et $ [BC] $ est l'hypoténuse. Donc $ \cos(35^{\circ}) = \dfrac{AB}{BC} $, d'où $ AB = 8 \times \cos(35^{\circ}) \approx 6{,}6 $ cm.
[/reponse]

[reponse motif="$ 4{,}6 $ cm"]
Tu as peut-être utilisé le sinus au lieu du cosinus. $ [AB] $ est le côté adjacent (pas opposé) à l'angle de 35°.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ [AB] $ est le côté adjacent et $ [BC] $ l'hypoténuse. On utilise $ \cos(35^{\circ}) = \dfrac{AB}{8} $, soit $ AB = 8\cos(35^{\circ}) \approx 6{,}6 $ cm.
[/reponse]

[solution]
$ AB = BC \times \cos(35^{\circ}) = 8 \times \cos(35^{\circ}) \approx 6{,}6 $ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ EFG $ est un triangle tel que $ EF = 20 $, $ FG = 21 $ et $ EG = 29 $. Quelle est sa nature ?

[qcm]
[option correct="true"]Rectangle en $ F $[/option]
[option]Rectangle en $ E $[/option]
[option]Rectangle en $ G $[/option]
[option]Pas rectangle[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Oui. $ EG^{2} = 841 $ et $ EF^{2} + FG^{2} = 400 + 441 = 841 $. Donc $ EG^{2} = EF^{2} + FG^{2} $ : le triangle est rectangle en $ F $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ EG^{2} = 29^{2} = 841 $ et $ EF^{2} + FG^{2} = 20^{2} + 21^{2} = 841 $. L'égalité est vérifiée, le triangle est rectangle en $ F $ (opposé à l'hypoténuse $ [EG] $).
[/reponse]

[solution]
$ 29^{2} = 20^{2} + 21^{2} = 841 $, donc $ EFG $ est rectangle en $ F $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ RST $ est un triangle rectangle en $ S $ tel que $ RS = 4 $ et $ ST = 7 $. Calculer la mesure de $ \widehat{TRS} $ arrondie au degré.

[qcm]
[option correct="true"]$ 60^{\circ} $[/option]
[option]$ 30^{\circ} $[/option]
[option]$ 55^{\circ} $[/option]
[option]$ 35^{\circ} $[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Oui. $ \tan(\widehat{TRS}) = \dfrac{ST}{RS} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75 $, donc $ \widehat{TRS} = \tan^{-1}(1{,}75) \approx 60^{\circ} $.
[/reponse]

[reponse motif="$ 30^{\circ} $"]
Tu as peut-être inversé les côtés dans le rapport. Par rapport à $ \widehat{TRS} $, le côté opposé est $ [ST] = 7 $ et le côté adjacent est $ [RS] = 4 $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ \tan(\widehat{TRS}) = \dfrac{ST}{RS} = \dfrac{7}{4} $, donc $ \widehat{TRS} = \tan^{-1}(1{,}75) \approx 60^{\circ} $.
[/reponse]

[solution]
$ \widehat{TRS} = \tan^{-1}\left(\dfrac{7}{4}\right) \approx 60^{\circ} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Quelle relation est toujours vraie pour un angle aigu $ \widehat{a} $ ?

[qcm]
[option correct="true"]$ \cos^{2}(\widehat{a}) + \sin^{2}(\widehat{a}) = 1 $[/option]
[option]$ \cos(\widehat{a}) + \sin(\widehat{a}) = 1 $[/option]
[option]$ \cos(\widehat{a}) \times \sin(\widehat{a}) = 1 $[/option]
[option]$ \cos^{2}(\widehat{a}) - \sin^{2}(\widehat{a}) = 1 $[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. C'est une propriété fondamentale de la trigonométrie, démontrée à partir du théorème de Pythagore.
[/reponse]

[reponse motif="$ \cos(\widehat{a}) + \sin(\widehat{a}) = 1 $"]
Attention, ce sont les carrés qui s'additionnent pour donner 1, pas les valeurs elles-mêmes. Par exemple, $ \cos(60^{\circ}) = 0{,}5 $ et $ \sin(60^{\circ}) \approx 0{,}87 $, leur somme vaut environ $ 1{,}37 $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
La relation fondamentale est $ \cos^{2}(\widehat{a}) + \sin^{2}(\widehat{a}) = 1 $. C'est la somme des carrés qui vaut 1.
[/reponse]

[solution]
$ \cos^{2}(\widehat{a}) + \sin^{2}(\widehat{a}) = 1 $ pour tout angle aigu $ \widehat{a} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un phare est situé au sommet d'une falaise de 50 m de haut. Un bateau est repéré sous un angle de 30° par rapport à l'horizontale. A quelle distance de la base de la falaise se trouve le bateau ?

[qcm]
[option correct="true"]$ \dfrac{50}{\tan(30^{\circ})} \approx 86{,}6 $ m[/option]
[option]$ 50 \times \tan(30^{\circ}) \approx 28{,}9 $ m[/option]
[option]$ \dfrac{50}{\sin(30^{\circ})} = 100 $ m[/option]
[option]$ 50 \times \cos(30^{\circ}) \approx 43{,}3 $ m[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. La hauteur (50 m) est le côté opposé et la distance cherchée est le côté adjacent. Donc $ \tan(30^{\circ}) = \dfrac{50}{d} $, d'où $ d = \dfrac{50}{\tan(30^{\circ})} \approx 86{,}6 $ m.
[/reponse]

[reponse motif="$ 50 \times \tan(30^{\circ}) \approx 28{,}9 $ m"]
Tu as multiplié au lieu de diviser. La distance cherchée est au dénominateur : $ \tan(30^{\circ}) = \dfrac{50}{d} $, donc $ d = \dfrac{50}{\tan(30^{\circ})} $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
La hauteur (50 m) est le côté opposé et la distance au bateau est le côté adjacent. $ \tan(30^{\circ}) = \dfrac{50}{d} $, donc $ d = \dfrac{50}{\tan(30^{\circ})} \approx 86{,}6 $ m.
[/reponse]

[solution]
$ d = \dfrac{50}{\tan(30^{\circ})} \approx 86{,}6 $ m.
[/solution]
[/etape]