1. Simplifier les expressions suivantes :

   a) $ A = \sqrt{5}\times \sqrt{20} $

   b) $ B = \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} $

2. Développer et simplifier les expressions suivantes :

   a) $ C = \left(3+\sqrt{2}\right)^{2} $

   b) $ D = \left(5 - \sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right) $

3. En déduire que $ \dfrac{1}{5 - \sqrt{7}} = \dfrac{5+\sqrt{7}}{18} $.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les racines carrées, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.
$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, et non $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$, mais cette règle n'existe pas.
On calcule d'abord la somme sous la racine : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général.
Ici $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{4} = \pm 2$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La racine carrée d'un nombre positif est toujours positive.
$\sqrt{4} = 2$ (et non $\pm 2$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre « racine carrée de $4$ » avec « les solutions de $x^2 = 4$ ».
$\sqrt{4}$ désigne le nombre positif dont le carré vaut $4$, donc $\sqrt{4} = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Par définition, $\sqrt{4}$ est le nombre positif dont le carré vaut $4$, donc $\sqrt{4} = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = 6$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier la propriété $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On utilise $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ : $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par définition, $\sqrt{7}$ est le nombre positif dont le carré vaut $7$, donc $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de douter du résultat parce que $\sqrt{7}$ n'est pas un nombre entier.
Mais la définition s'applique : $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7$, quel que soit le nombre positif sous la racine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition même de la racine carrée : $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ pour tout nombre positif $a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître le carré parfait $25$ comme facteur de $50$.
$50 = 25 \times 2$, donc $\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On décompose : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{(-3)^2} = -3$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(-3)^2 = 9$, donc $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
La racine carrée donne toujours un résultat positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de « simplifier » la racine carrée et le carré sans calculer l'étape intermédiaire.
$(-3)^2 = 9$ et $\sqrt{9} = 3$, pas $-3$. La racine carrée est toujours positive.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(-3)^2 = 9$ et $\sqrt{9} = 3$. La racine carrée d'un nombre est toujours positive.
[/solution]
[/etape]

Pour chacune des expressions suivantes, indiquer s'il s'agit d'une somme algébrique ou d'un produit.

1. $ 7x+2 $
2. $ 3\left(5 - x\right) $
3. $ 4 - 2x $
4. $ \left(x+5\right)\left(x - 2\right) $
5. $ 4\left(x+2\right)+2\left(3x - 1\right) $
6. $ \left(3x - 2\right)^{2} $