[enonce]
Ce QCM porte sur la loi de probabilité et les calculs en situation d'équiprobabilité. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les tableaux suivants, lequel définit bien une loi de probabilité sur l'univers $\Omega = \{a\,;\,b\,;\,c\}$ ?
[qcm]
[option]$p(a)=0{,}2$ ; $p(b)=0{,}3$ ; $p(c)=0{,}4$[/option]
[option]$p(a)=0{,}5$ ; $p(b)=0{,}5$ ; $p(c)=0{,}2$[/option]
[option correct="true"]$p(a)=0{,}2$ ; $p(b)=0{,}3$ ; $p(c)=0{,}5$[/option]
[option]$p(a)=0{,}4$ ; $p(b)=-0{,}1$ ; $p(c)=0{,}7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une loi de probabilité doit vérifier deux conditions : chaque probabilité est comprise entre $0$ et $1$, et leur somme vaut $1$. Ici $0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5 = 1$ et toutes les valeurs sont positives.[/reponse]
[reponse motif="$p(a)=0{,}2$ ; $p(b)=0{,}3$ ; $p(c)=0{,}4$"]Non.
La somme des probabilités ne vaut pas $1$. Calculer $0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}4$ et comparer au résultat attendu.[/reponse]
[reponse motif="$p(a)=0{,}5$ ; $p(b)=0{,}5$ ; $p(c)=0{,}2$"]Non.
La somme dépasse $1$. Une loi de probabilité ne peut pas dépasser ce total : vérifier $0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}2$.[/reponse]
[reponse motif="$p(a)=0{,}4$ ; $p(b)=-0{,}1$ ; $p(c)=0{,}7$"]Non.
Une probabilité doit toujours être comprise entre $0$ et $1$. Une valeur négative est à proscrire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier les deux conditions : toutes les probabilités dans $[0\,;\,1]$ et somme égale à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé truqué à six faces. Les probabilités partielles sont : $p(1)=0{,}1$ ; $p(2)=0{,}2$ ; $p(3)=0{,}1$ ; $p(4)=0{,}1$ ; $p(5)=0{,}2$. Quelle est la valeur de $p(6)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}1$[/option]
[option correct="true"]$0{,}3$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$0{,}7$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La somme de toutes les probabilités vaut $1$. On calcule la somme des cinq valeurs connues : $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}7$, puis $p(6) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1$"]Non.
Il ne suffit pas de prendre une des probabilités déjà présentes. Utiliser la condition « la somme de toutes les probabilités vaut $1$ » pour en déduire $p(6)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Vérifier le calcul de la somme des cinq probabilités connues : l'écart à $1$ n'est pas $0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}7$"]Non.
Il s'agit précisément de la somme des cinq probabilités connues, pas de celle qui manque. Penser à soustraire cette somme à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$. En déduire $p(6)$ à partir des cinq autres valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ boules bleues et $2$ boules vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{7}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'univers compte $3 + 5 + 2 = 10$ boules équiprobables. Parmi elles, $3$ sont rouges, d'où $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{10}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
L'univers est constitué des boules, pas des couleurs. Compter le nombre total de boules dans l'urne.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{7}$"]Non.
Le dénominateur doit correspondre au nombre total de boules dans l'urne, et non au nombre de boules non rouges.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{10}$"]Non.
Le numérateur est le nombre de cas favorables (boules rouges), et non $1$. Recompter les boules rouges.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
En situation d'équiprobabilité, $p(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un as ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{32}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Un jeu de $32$ cartes contient $4$ as (un par couleur). D'où $p(\text{as}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{32}$"]Non.
Il n'y a pas un seul as mais plusieurs : un par couleur. Recompter le nombre d'as dans un jeu de $32$ cartes.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
Erreur de simplification : $\dfrac{4}{32}$ ne se simplifie pas en $\dfrac{1}{4}$. Pour diviser numérateur et dénominateur par $4$, on obtient $\dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{8}$"]Non.
Attention au dénominateur : l'univers contient $32$ cartes (cas possibles), pas $8$. Repartir de la formule $\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter d'abord le nombre d'as dans le jeu, puis appliquer la formule de l'équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie bien équilibrée comporte $12$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $12$. Quelle est la probabilité que la flèche s'arrête sur un multiple de $3$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{12}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de $3$ entre $1$ et $12$ sont $3$, $6$, $9$ et $12$ : il y en a $4$. Donc $p = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{12}$"]Non.
Plusieurs secteurs portent un multiple de $3$, pas un seul. Lister les multiples de $3$ compris entre $1$ et $12$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
Il manque un multiple de $3$ dans le décompte. Ne pas oublier que $12$ lui-même est un multiple de $3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Trop de multiples comptés. Un nombre sur deux n'est pas multiple de $3$ : les multiples sont plus rares.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter les multiples de $3$ entre $1$ et $12$, puis appliquer la formule de l'équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de $30$ élèves, $18$ sont des filles. On choisit un élève au hasard pour être délégué. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
[qcm]
[option]$\dfrac{18}{30}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{30}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{18}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le nombre de garçons vaut $30 - 18 = 12$. Donc $p(\text{garçon}) = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ après simplification par $6$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{18}{30}$"]Non.
Cette valeur correspond à la probabilité d'être une fille, pas un garçon. Calculer d'abord le nombre de garçons.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{30}$"]Non.
Plusieurs élèves sont des garçons. Le numérateur doit être le nombre total de garçons, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{18}$"]Non.
Erreur de dénominateur : l'univers compte les $30$ élèves de la classe, pas seulement les filles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord le nombre de garçons ($30 - 18$), puis appliquer la formule de l'équiprobabilité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le vocabulaire des probabilités : univers, événements, union, intersection, contraire et incompatibilité. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces. Quel est l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire ?
[qcm]
[option]$\Omega = \{2\,;\,4\,;\,6\}$[/option]
[option correct="true"]$\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$[/option]
[option]$\Omega = 6$[/option]
[option]$\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience. Pour un dé à six faces, $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$.[/reponse]
[reponse motif="$\Omega = \{2\,;\,4\,;\,6\}$"]Non.
Cet ensemble ne contient que les faces paires : c'est un événement, pas l'univers. L'univers rassemble toutes les issues possibles.[/reponse]
[reponse motif="$\Omega = 6$"]Non.
L'univers est un ensemble d'issues, pas un nombre. Le chiffre $6$ désigne ici le nombre de faces, pas l'univers lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$"]Non.
Une issue est manquante. Un dé standard possède bien six faces à énumérer, du plus petit au plus grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'univers d'une expérience aléatoire est l'ensemble de toutes ses issues possibles. Les énumérer pour un dé à six faces.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé à six faces et on considère l'événement $A$ : « obtenir un nombre pair ». Quel est l'événement contraire $\overline{A}$ ?
[qcm]
[option]« obtenir un nombre pair au prochain lancer »[/option]
[option]« obtenir un nombre supérieur à $3$ »[/option]
[option correct="true"]« obtenir un nombre impair »[/option]
[option]« obtenir $2$, $4$ ou $6$ »[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'événement contraire $\overline{A}$ est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas $A$. Comme $A = \{2\,;\,4\,;\,6\}$, on a $\overline{A} = \{1\,;\,3\,;\,5\}$, c'est-à-dire « obtenir un nombre impair ».[/reponse]
[reponse motif="« obtenir un nombre pair au prochain lancer »"]Non.
Le contraire d'un événement ne concerne pas une autre expérience. Il s'agit des issues de la même expérience qui ne réalisent pas $A$.[/reponse]
[reponse motif="« obtenir un nombre supérieur à $3$ »"]Non.
Cet événement contient $4$, $5$ et $6$. Il partage des issues avec $A$ (par exemple $4$ et $6$). Un événement contraire ne doit partager aucune issue avec $A$.[/reponse]
[reponse motif="« obtenir $2$, $4$ ou $6$ »"]Non.
Il s'agit exactement de la définition de $A$ lui-même, pas de son contraire. Chercher les issues qui ne sont pas paires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'événement contraire $\overline{A}$ regroupe toutes les issues de l'univers qui n'appartiennent pas à $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que signifie que deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles ?
[qcm]
[option correct="true"]$A \cap B = \varnothing$[/option]
[option]$A \cup B = \Omega$[/option]
[option]$B = \overline{A}$[/option]
[option]$p(A) + p(B) = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune issue en commun : leur intersection est vide, c'est-à-dire $A \cap B = \varnothing$.[/reponse]
[reponse motif="$A \cup B = \Omega$"]Non.
Cette égalité signifie que $A$ et $B$ recouvrent l'univers : c'est une autre propriété. Deux événements peuvent être incompatibles sans remplir tout l'univers à eux deux.[/reponse]
[reponse motif="$B = \overline{A}$"]Non.
Deux événements contraires sont toujours incompatibles, mais l'inverse est faux. Par exemple, « obtenir $1$ » et « obtenir $2$ » sont incompatibles sans être contraires.[/reponse]
[reponse motif="$p(A) + p(B) = 1$"]Non.
Cette égalité caractérise un couple très particulier (des événements contraires sur l'univers), pas l'incompatibilité en général.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Deux événements sont incompatibles lorsqu'aucune issue ne les réalise simultanément : leur intersection est vide.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements. L'événement « $A$ et $B$ » correspond à :
[qcm]
[option]$A \cup B$[/option]
[option correct="true"]$A \cap B$[/option]
[option]$\overline{A} \cap \overline{B}$[/option]
[option]$A \cup \overline{B}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'événement « $A$ et $B$ » est réalisé lorsque les deux événements sont réalisés simultanément : c'est l'intersection $A \cap B$.[/reponse]
[reponse motif="$A \cup B$"]Non.
Il ne faut pas confondre les deux connecteurs : l'union $A \cup B$ correspond à « $A$ ou $B$ », pas à « $A$ et $B$ ».[/reponse]
[reponse motif="$\overline{A} \cap \overline{B}$"]Non.
Cet événement signifie « ni $A$ ni $B$ », c'est-à-dire qu'aucun des deux n'est réalisé. C'est l'inverse de ce qu'on cherche.[/reponse]
[reponse motif="$A \cup \overline{B}$"]Non.
Cet événement mélange union et contraire de $B$, ce qui ne correspond pas à « $A$ et $B$ ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir : le « et » correspond à l'intersection, le « ou » à l'union.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Lors d'un lancer de dé à six faces, on pose $A = \{1\,;\,3\,;\,5\}$ et $B = \{2\,;\,3\,;\,4\}$. Que vaut $A \cap B$ ?
[qcm]
[option]$\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$[/option]
[option correct="true"]$\{3\}$[/option]
[option]$\{1\,;\,5\}$[/option]
[option]$\varnothing$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'intersection $A \cap B$ est l'ensemble des issues présentes dans $A$ et dans $B$. Seul $3$ appartient aux deux ensembles, donc $A \cap B = \{3\}$.[/reponse]
[reponse motif="$\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$"]Non.
Cet ensemble rassemble toutes les issues qui sont dans $A$ ou dans $B$ : c'est l'union $A \cup B$, pas l'intersection.[/reponse]
[reponse motif="$\{1\,;\,5\}$"]Non.
Ce sont les éléments de $A$ qui n'appartiennent pas à $B$. L'intersection, elle, contient les éléments communs.[/reponse]
[reponse motif="$\varnothing$"]Non.
$A$ et $B$ ne sont pas disjoints : une même issue apparaît dans les deux ensembles. Repérer laquelle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'intersection $A \cap B$ regroupe les éléments présents à la fois dans $A$ et dans $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance une roue de loterie bien équilibrée. Que signifie exactement qu'il y a équiprobabilité ?
[qcm]
[option]La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.[/option]
[option]Chaque issue a une probabilité différente.[/option]
[option correct="true"]Toutes les issues ont la même probabilité.[/option]
[option]Le nombre d'issues est fini.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'équiprobabilité, c'est quand tous les événements élémentaires de l'univers ont la même probabilité. Dans ce cas, si l'univers contient $n$ issues, chacune a pour probabilité $\dfrac{1}{n}$.[/reponse]
[reponse motif="La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$."]Pas tout à fait.
Cette propriété est vraie pour toute loi de probabilité, équiprobable ou non. Elle ne caractérise donc pas l'équiprobabilité.[/reponse]
[reponse motif="Chaque issue a une probabilité différente."]Non.
C'est exactement le contraire. Dans un cas d'équiprobabilité, les issues partagent toutes la même probabilité.[/reponse]
[reponse motif="Le nombre d'issues est fini."]Non.
Un univers peut être fini sans qu'il y ait équiprobabilité (pensez à un dé truqué). Le caractère fini ne suffit pas à définir l'équiprobabilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'équiprobabilité se reconnaît quand toutes les issues élémentaires ont la même probabilité, ni plus ni moins.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le vocabulaire des probabilités, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire est l'ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la définition même de l'univers : on y regroupe toutes les issues envisageables de l'expérience.
Par exemple, pour un lancer de dé à six faces, $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'univers, noté $\Omega$, contient exactement toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
Pour un lancer de dé à six faces, $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de l'univers d'une expérience aléatoire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est constitué des issues de $\Omega$ qui n'appartiennent pas à $A$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par définition, $\overline{A}$ regroupe exactement les issues de l'univers qui ne réalisent pas $A$.
On a toujours $A \cup \overline{A} = \Omega$ et $A \cap \overline{A} = \varnothing$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le contraire de $A$ est bien composé des issues qui ne sont pas dans $A$.
Par exemple, sur un dé, si $A$ = « obtenir un nombre pair » alors $\overline{A} = \{1;3;5\}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\overline{A}$ contient toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces.

Affirmation : Les événements $A$ = « obtenir un nombre pair » et $B$ = « obtenir un multiple de 3 » sont incompatibles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le nombre 6 est à la fois pair et multiple de 3 : il réalise simultanément $A$ et $B$.
Les deux événements ont donc une issue en commun, ils ne sont pas incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : deux événements sont incompatibles lorsque $A \cap B = \varnothing$, c'est-à-dire qu'aucune issue ne les réalise en même temps.
Or 6 est pair et multiple de 3, donc $A \cap B = \{6\} \neq \varnothing$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $A \cap B = \{6\}$, donc les deux événements ne sont pas incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux événements contraires sont toujours incompatibles, et deux événements incompatibles sont toujours contraires.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La première partie est exacte : $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles.
Mais la réciproque est fausse : sur un dé, $\{1\}$ et $\{2\}$ sont incompatibles sans être contraires (leur union n'est pas $\Omega$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux notions : contraires $\Rightarrow$ incompatibles, mais la réciproque est fausse.
Contre-exemple sur un dé : $\{1\}$ et $\{2\}$ sont incompatibles mais pas contraires.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires (leur union peut ne pas recouvrir $\Omega$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces.

Affirmation : L'événement « obtenir un nombre strictement supérieur à 10 » est l'événement impossible.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Aucune issue de $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$ n'est strictement supérieure à 10.
L'événement correspond donc à l'ensemble vide $\varnothing$, c'est bien l'événement impossible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un événement est impossible lorsqu'aucune issue de $\Omega$ ne le réalise.
Ici $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$ et aucun élément n'est $> 10$, donc cet événement vaut $\varnothing$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Aucune face du dé n'est supérieure à 10, donc l'événement est vide.
[/solution]
[/etape]