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QCM Bilan : Nombres et calculs

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : ensembles de nombres, intervalles et valeurs absolues. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le plus petit ensemble auquel appartient $\dfrac{\sqrt{49}}{2}$ ?
[qcm]
[option]$\mathbb{N}$[/option]
[option]$\mathbb{Z}$[/option]
[option correct="true"]$\mathbb{D}$[/option]
[option]$\mathbb{Q}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{49} = 7$, donc $\dfrac{\sqrt{49}}{2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$. Le dénominateur $2$ ne contient que le facteur $2$ : c'est un nombre décimal. Mais $3{,}5$ n'est pas entier.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{N}$"]Non.
Commencer par simplifier $\sqrt{49}$, puis effectuer la division. Le résultat est-il un nombre entier ?[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Z}$"]Non.
Simplifier $\sqrt{49}$ puis effectuer la division. Le résultat a-t-il une partie décimale ?[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Q}$"]Non.
Ce nombre est bien rationnel, mais il existe un ensemble plus petit. Vérifier si l'écriture décimale est finie en analysant le dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier d'abord $\sqrt{49}$, puis calculer le quotient et analyser l'écriture décimale du résultat.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\sqrt{49} = 7$, donc $\dfrac{\sqrt{49}}{2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$. L'écriture décimale est finie (dénominateur $2$). Le plus petit ensemble est $\mathbb{D}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des solutions de $|x - 3| = 5$ est :
[qcm]
[option]$\{-5 ; 5\}$[/option]
[option correct="true"]$\{-2 ; 8\}$[/option]
[option]$\{-2 ; 5\}$[/option]
[option]$\{2 ; 8\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|x - 3| = 5$ signifie que la distance entre $x$ et $3$ vaut $5$.
Cas 1 : $x - 3 = 5$, soit $x = 8$.
Cas 2 : $x - 3 = -5$, soit $x = -2$.
Donc $S = \{-2 ; 8\}$.[/reponse]
[reponse motif="$\{-5 ; 5\}$"]Non.
Le centre de l'équation n'est pas $0$ mais $3$. On cherche les nombres situés à distance $5$ de $3$, pas de $0$.[/reponse]
[reponse motif="$\{-2 ; 5\}$"]Non.
L'une des deux solutions est correcte, mais l'autre ne vérifie pas l'équation. Remplacer chaque valeur dans $|x - 3|$ pour vérifier.[/reponse]
[reponse motif="$\{2 ; 8\}$"]Non.
L'une des deux solutions est correcte, mais l'autre ne vérifie pas l'équation. Remplacer chaque valeur dans $|x - 3|$ pour vérifier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$|x - 3| = 5$ signifie que $x$ est à distance $5$ de $3$. Poser les deux cas : $x - 3 = 5$ et $x - 3 = -5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$|x - 3| = 5$ donne $x - 3 = 5$ soit $x = 8$, ou $x - 3 = -5$ soit $x = -2$. Donc $S = \{-2 ; 8\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$[-4 ; 2] \cap [0 ; 6]$ est égal à :
[qcm]
[option]$[-4 ; 6]$[/option]
[option]$[0 ; 6]$[/option]
[option correct="true"]$[0 ; 2]$[/option]
[option]$[-4 ; 2]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'intersection est la zone commune aux deux intervalles. $[-4 ; 2]$ et $[0 ; 6]$ se chevauchent entre $0$ et $2$, bornes incluses dans les deux.[/reponse]
[reponse motif="$[-4 ; 6]$"]Non.
Attention à ne pas confondre union ($\cup$) et intersection ($\cap$). L'intersection est la zone commune aux deux intervalles.[/reponse]
[reponse motif="$[0 ; 6]$"]Non.
$[0 ; 6]$ est l'un des deux intervalles. L'intersection ne garde que les nombres qui sont aussi dans l'autre intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$[-4 ; 2]$"]Non.
$[-4 ; 2]$ est l'un des deux intervalles. L'intersection ne garde que les nombres qui sont aussi dans l'autre intervalle. Dessiner les deux sur une droite graduée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'intersection ($\cap$) est la zone commune aux deux intervalles. Dessiner les deux sur une droite graduée pour trouver le chevauchement.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$[-4 ; 2]$ et $[0 ; 6]$ se chevauchent entre $0$ et $2$, bornes incluses dans les deux. Donc $[-4 ; 2] \cap [0 ; 6] = [0 ; 2]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Parmi ces nombres, lequel appartient à $\mathbb{Q}$ mais pas à $\mathbb{D}$ ?
[qcm]
[option]$1{,}25$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\sqrt{2}$[/option]
[option]$-7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\dfrac{1}{3}$ est une fraction d'entiers (donc $\in \mathbb{Q}$), mais son dénominateur $3$ n'est ni $2$ ni $5$ : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333...$ a un développement décimal infini. Donc $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}25$"]Non.
$1{,}25$ a un nombre fini de décimales : c'est un décimal ($\in \mathbb{D}$). On cherche un nombre rationnel qui n'est pas décimal.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}$"]Non.
$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel : il n'appartient pas à $\mathbb{Q}$. On cherche un nombre qui est dans $\mathbb{Q}$ sans être dans $\mathbb{D}$.[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
$-7$ est un entier relatif ($\in \mathbb{Z}$). Comme $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$, il est aussi décimal. Chercher un nombre rationnel non décimal.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher une fraction d'entiers dont le dénominateur (irréductible) contient un facteur premier autre que $2$ ou $5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\dfrac{1}{3} = 0{,}333...$ est rationnel (fraction d'entiers) mais pas décimal (dénominateur $3$, développement infini). Les autres sont soit décimaux ($1{,}25$, $-7$), soit irrationnels ($\sqrt{2}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'inéquation $|x + 1| \leqslant 3$ a pour ensemble de solutions :
[qcm]
[option]$[-1 ; 3]$[/option]
[option correct="true"]$[-4 ; 2]$[/option]
[option]$[-3 ; 1]$[/option]
[option]$[-2 ; 4]$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$|x + 1| = |x - (-1)| \leqslant 3$ signifie que la distance entre $x$ et $-1$ est inférieure ou égale à $3$.
$-3 \leqslant x + 1 \leqslant 3$, soit $-4 \leqslant x \leqslant 2$. Donc $S = [-4 ; 2]$.[/reponse]
[reponse motif="$[-1 ; 3]$"]Non.
Attention : le centre n'est pas $0$ mais $-1$ (car $|x + 1| = |x - (-1)|$). Réécrire la double inégalité $-3 \leqslant x + 1 \leqslant 3$ et soustraire $1$ à chaque membre.[/reponse]
[reponse motif="$[-3 ; 1]$"]Non.
Attention au signe : $|x + 1| = |x - (-1)|$, le centre est $-1$, pas $+1$. Réécrire la double inégalité et la résoudre.[/reponse]
[reponse motif="$[-2 ; 4]$"]Non.
Vérifier la résolution de la double inégalité. $-3 \leqslant x + 1 \leqslant 3$ : pour isoler $x$, il faut soustraire (pas ajouter) $1$ à chaque membre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réécrire $|x + 1| \leqslant 3$ sous forme de double inégalité : $-3 \leqslant x + 1 \leqslant 3$, puis isoler $x$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$|x + 1| \leqslant 3$ donne $-3 \leqslant x + 1 \leqslant 3$, soit $-4 \leqslant x \leqslant 2$. Donc $S = [-4 ; 2]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$]-3 ; 1] \cup [1 ; 5[$ est égal à :
[qcm]
[option correct="true"]$]-3 ; 5[$[/option]
[option]$]-3 ; 5]$[/option]
[option]$[-3 ; 5[$[/option]
[option]$]-3 ; 1[ \;\cup\; ]1 ; 5[$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le point $1$ est inclus dans les deux intervalles ($1 \in {]-3 ; 1]}$ et $1 \in [1 ; 5[$), donc les deux morceaux se « recollent » en un seul intervalle : $]-3 ; 5[$.[/reponse]
[reponse motif="$]-3 ; 5]$"]Non.
Vérifier le crochet en $5$ : dans $[1 ; 5[$, la borne $5$ est-elle incluse ou exclue ? Pour l'union, le crochet est fermé uniquement si la borne est incluse dans au moins un des deux intervalles.[/reponse]
[reponse motif="$[-3 ; 5[$"]Non.
Vérifier le crochet en $-3$ : dans $]-3 ; 1]$, la borne $-3$ est-elle incluse ou exclue ? Pour l'union, le crochet est fermé uniquement si la borne est incluse dans au moins un des deux intervalles.[/reponse]
[reponse motif="$]-3 ; 1[ \;\cup\; ]1 ; 5[$"]Non.
Le point $1$ est-il inclus dans $]-3 ; 1]$ ? Et dans $[1 ; 5[$ ? Si $1$ appartient à au moins un des deux intervalles, les deux morceaux se recollent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier si le point $1$ appartient à l'un ou l'autre des intervalles. Puis vérifier les crochets aux bornes extrêmes ($-3$ et $5$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Le point $1$ est inclus dans $]-3 ; 1]$ (crochet fermé) et dans $[1 ; 5[$ (crochet fermé). Les deux intervalles se recollent en $]-3 ; 5[$.
[/solution]
[/etape]

Encadrements et mesures

  1. Un menuisier doit découper un panneau carré dont la surface doit être exactement de $ 5 $ m².

    1. Exprimer la longueur exacte du côté de ce carré.
    2. Cette longueur est-elle un nombre décimal ? Justifier.
    3. Donner un encadrement de cette longueur à $ 10^{-2} $ près.
    4. Le menuisier utilise un mètre ruban gradué au millimètre. Quelle longueur va-t-il mesurer ?

  2. La circonférence d'un cercle de rayon $ r $ est $ \mathcal{C} = 2\pi r $. On considère un cercle de rayon $ r = 3 $ cm.

    1. Donner la valeur exacte de la circonférence.
    2. Donner un encadrement de $ \mathcal{C} $ d'amplitude $ 10^{-1} $.
    3. Donner l'arrondi de $ \mathcal{C} $ au dixième.

  3. On mesure la diagonale d'un écran de télévision. Le résultat est $ 140{,}1 $ cm.
    Le constructeur annonce une diagonale de $ 55 $ pouces, sachant que $ 1 $ pouce $ = 2{,}54 $ cm.

    1. Convertir $ 55 $ pouces en centimètres. Donner le résultat exact.
    2. Calculer l'écart entre la mesure et la valeur annoncée. Cet écart est-il inférieur à $ 0{,}5 $ cm ? Écrire cette condition à l'aide d'une valeur absolue.

Corrigé

    1. L'aire d'un carré de côté $ c $ est $ c^2 $. On cherche $ c $ tel que $ c^2 = 5 $, donc :
      $ c = \sqrt{5} $ m
      (On prend la valeur positive car il s'agit d'une longueur.)
    2. Le nombre $ 5 $ n'est pas un carré parfait, donc $ \sqrt{5} $ est irrationnel. Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous forme de fraction, encore moins sous forme décimale finie. Donc $ \sqrt{5} $ n'est pas un nombre décimal.
    3. On cherche deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule encadrant $ \sqrt{5} $.
      On a $ 2{,}23^2 = 4{,}9729 $ et $ 2{,}24^2 = 5{,}0176 $.
      Comme $ 4{,}9729 < 5 < 5{,}0176 $ :
      $\mathbf{2{,}23 < \sqrt{5} < 2{,}24}$
      L'amplitude est $ 2{,}24 - 2{,}23 = 0{,}01 = 10^{-2} $.
    4. Le menuisier arrondit au millimètre ($ 10^{-3} $ m).
      On a $ \sqrt{5} \approx 2{,}2360\ldots $
      L'arrondi au millimètre est $ 2{,}236 $ m, soit $ 2 $ m $ 236 $ mm.
    1. On remplace $ r = 3 $ dans la formule :
      $ \mathcal{C} = 2\pi \times 3 $ = $ 6\pi $ cm
    2. On utilise $ \pi \approx 3{,}1415\ldots $, donc $ 6\pi \approx 18{,}849\ldots $
      On cherche un encadrement d'amplitude $ 10^{-1} = 0{,}1 $ :
      $\mathbf{18{,}8 < 6\pi < 18{,}9}$
      Vérification : $ 6 \times 3{,}13 = 18{,}78 < 6\pi $ et $ 6 \times 3{,}15 = 18{,}9 > 6\pi $ (car $ \pi < 3{,}15 $).
      L'amplitude est $ 18{,}9 - 18{,}8 = 0{,}1 = 10^{-1} $.
    3. On a $ 6\pi \approx 18{,}849\ldots $
      Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : c'est $ 4 $. Comme $ 4 < 5 $, on arrondit en dessous.
      L'arrondi au dixième est $ 18{,}8 $ cm.
      On peut vérifier : la distance à $ 18{,}8 $ est $ 0{,}049\ldots $ et la distance à $ 18{,}9 $ est $ 0{,}050\ldots $, donc $ 6\pi $ est bien plus proche de $ 18{,}8 $.
    1. $ 55 \times 2{,}54 = $ $ 139{,}7 $ cm
    2. On note $ m = 140{,}1 $ la mesure et $ v = 139{,}7 $ la valeur annoncée convertie.
      L'écart est :
      $ |m - v| = |140{,}1 - 139{,}7| = |0{,}4| = 0{,}4 $
      On a $ 0{,}4 < 0{,}5 $, donc l'écart est bien inférieur à $ 0{,}5 $ cm.
      La condition s'écrit : $ |140{,}1 - 139{,}7| < 0{,}5 $, c'est-à-dire $\mathbf{|m - v| < 0{,}5}$.

Démonstrations sur les nombres réels

  1. Dans cette question, on cherche à démontrer que $ \dfrac{1}{3} $ n'est pas un nombre décimal.

    1. On suppose que $ \dfrac{1}{3} $ est un nombre décimal. Que signifie cette hypothèse ?
    2. En déduire qu'il existe un entier naturel $ n $ tel que $ 10^n $ soit un multiple de 3.
    3. Rappeler la règle de divisibilité par 3. La somme des chiffres de $ 10^n $ est-elle divisible par 3 ? Conclure.

  2. Dans cette question, on cherche à démontrer que $ \sqrt{2} $ est un nombre irrationnel.

    1. On suppose que $ \sqrt{2} $ est rationnel. Cela signifie qu'il existe deux entiers naturels non nuls $ p $ et $ q $ tels que $ \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} $, avec la fraction $ \dfrac{p}{q} $ irréductible. Montrer que $ p^2 = 2q^2 $.
    2. En déduire que $ p^2 $ est pair, puis que $ p $ est pair.
    3. Puisque $ p $ est pair, on peut écrire $ p = 2k $ où $ k $ est un entier. En remplaçant dans l'égalité $ p^2 = 2q^2 $, montrer que $ q $ est pair.
    4. En déduire que la fraction $ \dfrac{p}{q} $ n'est pas irréductible. Conclure.

  3. En utilisant les résultats précédents, déterminer la nature de chacun des nombres suivants :

    1. $ \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} $
    2. $ 3\sqrt{2} $

Corrigé

    1. Si $ \dfrac{1}{3} $ est un nombre décimal, alors il existe un entier $ a \in \mathbb{Z} $ et un entier $ n \in \mathbb{N} $ tels que :
      $ \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n} $
    2. L'égalité $ \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n} $ donne $ 10^n = 3a $.
      Cela signifie que $ 10^n $ est un multiple de 3.
    3. Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
      Or $ 10^n $ s'écrit 1 suivi de $ n $ zéros. La somme de ses chiffres vaut donc $ 1 $, qui n'est pas divisible par 3.
      Donc $ 10^n $ n'est pas un multiple de 3, ce qui contredit le résultat de la question b.
      L'hypothèse de départ est donc fausse : $ \dfrac{1}{3} $ n'est pas un nombre décimal.
    1. On part de l'hypothèse $ \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} $ avec $ p, q \in \mathbb{N}^* $ et la fraction irréductible.
      En élevant au carré les deux membres :
      $ 2 = \dfrac{p^2}{q^2} $
      D'où $\mathbf{p^2 = 2q^2}$.
    2. L'égalité $ p^2 = 2q^2 $ montre que $ p^2 $ est un multiple de 2, donc $ p^2 $ est pair.
      Or le carré d'un nombre impair est impair (si $ p = 2k+1 $, alors $ p^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1 $, qui est impair).
      Par contraposée, puisque $ p^2 $ est pair, $ p $ est pair.
    3. Puisque $ p $ est pair, il existe $ k \in \mathbb{N} $ tel que $ p = 2k $.
      On remplace dans $ p^2 = 2q^2 $ :
      $ (2k)^2 = 2q^2 $
      $ 4k^2 = 2q^2 $
      $ q^2 = 2k^2 $
      Donc $ q^2 $ est pair, et par le même raisonnement qu'à la question b, $ q $ est pair.
    4. On a montré que $ p $ et $ q $ sont tous les deux pairs. Ils ont donc 2 comme diviseur commun, ce qui contredit l'hypothèse que la fraction $ \dfrac{p}{q} $ est irréductible.
      L'hypothèse de départ est donc fausse : $ \sqrt{2} $ est irrationnel.
    1. La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle. En effet, si $ \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} $ était rationnel, alors $ \sqrt{2} = \left(\dfrac{1}{3} + \sqrt{2}\right) - \dfrac{1}{3} $ serait la différence de deux rationnels, donc rationnel, ce qui est absurde.
      Donc $ \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} $ est irrationnel.
    2. Le produit d'un rationnel non nul par un irrationnel est irrationnel. En effet, si $ 3\sqrt{2} $ était rationnel, alors $ \sqrt{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{3} $ serait le quotient de deux rationnels, donc rationnel, ce qui est absurde.
      Donc $ 3\sqrt{2} $ est irrationnel.

Calculs avec racines carrées et valeur absolue

  1. Calculer les expressions suivantes :

    1. $ \sqrt{49} $
    2. $ \sqrt{(-5)^2} $
    3. $ \sqrt{0{,}25} $
    4. $ \sqrt{9 \times 16} $

  2. Compléter les égalités à l'aide de la relation $ \sqrt{a^2} = |a| $ :

    1. $ \sqrt{7^2} = \ldots $
    2. $ \sqrt{(-3)^2} = \ldots $
    3. $ \sqrt{x^2} = \ldots $ pour tout réel $ x $

  3. Calculer les valeurs absolues suivantes :

    1. $ |{-7}| $
    2. $ |3| $
    3. $ |0| $
    4. $ |2 - 5| $

  4. Sans calculatrice, déterminer si chaque nombre est rationnel ou irrationnel :

    1. $ \sqrt{36} $
    2. $ \sqrt{5} $
    3. $ \sqrt{0{,}49} $

Corrigé

    1. $ \sqrt{49} = $ $\mathbf{7}$ car $ 7^2 = 49 $.
    2. $ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = $ $\mathbf{5}$.
      On peut aussi utiliser la relation $ \sqrt{a^2} = |a| $ : $ \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 $.
    3. $ \sqrt{0{,}25} = $ $\mathbf{0{,}5}$ car $ 0{,}5^2 = 0{,}25 $.
    4. $ \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{9} \times \sqrt{16} = 3 \times 4 = $ $\mathbf{12}$.
    1. $ \sqrt{7^2} = |7| = $ $\mathbf{7}$.
    2. $ \sqrt{(-3)^2} = |-3| = $ $\mathbf{3}$.
    3. $ \sqrt{x^2} = $ $\mathbf{|x|}$ pour tout réel $ x $.
      En effet, si $ x \geqslant 0 $, alors $ |x| = x $ et si $ x < 0 $, alors $ |x| = -x > 0 $. Dans les deux cas, $ \sqrt{x^2} $ est bien un nombre positif ou nul.
    1. $ -7 $ est négatif, donc $ |{-7}| = -(-7) = $ $\mathbf{7}$.
    2. $ 3 $ est positif, donc $ |3| = $ $\mathbf{3}$.
    3. $ |0| = $ $\mathbf{0}$.
    4. $ 2 - 5 = -3 $ est négatif, donc $ |2 - 5| = |{-3}| = $ $\mathbf{3}$.
    1. $ \sqrt{36} = 6 $, qui est un entier naturel. C'est donc un nombre rationnel.
    2. Le nombre $ 5 $ n'est pas un carré parfait, donc $ \sqrt{5} $ ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. C'est un nombre irrationnel.
    3. $ \sqrt{0{,}49} = \sqrt{\dfrac{49}{100}} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 $. C'est un nombre rationnel (c'est même un décimal).

Nature de nombres et encadrements

  1. Déterminer le plus petit ensemble de nombres ($ \mathbb{N} $, $ \mathbb{Z} $, $ \mathbb{D} $, $ \mathbb{Q} $ ou $ \mathbb{R} $) auquel appartient chacun des nombres suivants. Justifier.

    1. $ \dfrac{45}{12} $
    2. $ \sqrt{0{,}01} $
    3. $ \dfrac{4}{\sqrt{16}} $
    4. $ \pi + 1 $
    5. $ \left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right) $

  2. On considère le nombre $ \dfrac{5}{7} $.

    1. Ce nombre est-il décimal ? Justifier.
    2. Donner un encadrement décimal de $ \dfrac{5}{7} $ d'amplitude $ 10^{-2} $.
    3. Donner l'arrondi de $ \dfrac{5}{7} $ au centième.
  3. Donner un encadrement décimal de $ \sqrt{13} $ d'amplitude $ 10^{-1} $.
  4. Trouver deux nombres irrationnels dont la somme est un nombre rationnel. Justifier.
  5. Le produit de deux nombres irrationnels est-il toujours irrationnel ? Justifier.

Corrigé

    1. On simplifie la fraction en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD.
      $ \text{PGCD}(45, 12) = 3 $, donc $ \dfrac{45}{12} = \dfrac{15}{4} = 3{,}75 $.
      Ce nombre a une écriture décimale finie : il appartient à $\mathbf{\mathbb{D}}$.
    2. $ \sqrt{0{,}01} = \sqrt{\dfrac{1}{100}} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 $.
      Ce nombre est un nombre décimal positif : il appartient à $\mathbf{\mathbb{D}}$.
    3. $ \dfrac{4}{\sqrt{16}} = \dfrac{4}{4} = 1 $.
      Ce nombre est un entier naturel : il appartient à $\mathbf{\mathbb{N}}$.
    4. Le nombre $ \pi $ est irrationnel. La somme d'un nombre irrationnel et d'un entier reste irrationnelle : $ \pi + 1 $ est un nombre irrationnel (il appartient à $ \mathbb{R} $ sans appartenir à $ \mathbb{Q} $).
    5. On reconnaît l'identité remarquable $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ avec $ a = \sqrt{5} $ et $ b = 1 $ :
      $ \left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right) = \sqrt{5}^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 $
      Ce nombre est un entier naturel : il appartient à $\mathbf{\mathbb{N}}$.
    1. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $ \dfrac{a}{2^m \times 5^p} $ avec $ a \in \mathbb{Z} $, $ m \in \mathbb{N} $, $ p \in \mathbb{N} $.
      La fraction $ \dfrac{5}{7} $ est irréductible car $ \text{PGCD}(5, 7) = 1 $. Or $ 7 $ ne peut pas s'écrire sous la forme $ 2^m \times 5^p $. Donc $ \dfrac{5}{7} $ n'est pas un nombre décimal.
      On peut aussi constater que $ \dfrac{5}{7} = 0{,}714285714285\ldots $ est un développement décimal périodique illimité.

    2. On effectue la division : $ \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7142\ldots $
      On cherche deux décimaux consécutifs au centième encadrant ce nombre :
      $\mathbf{0{,}71 < \dfrac{5}{7} < 0{,}72}$

      Vérification : $ 0{,}72 - 0{,}71 = 0{,}01 = 10^{-2} $, l'amplitude est correcte.

    3. On compare $ \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7142\ldots $ aux deux bornes de l'encadrement.
      La distance à $ 0{,}71 $ est $ 0{,}7142\ldots - 0{,}71 = 0{,}0042\ldots $
      La distance à $ 0{,}72 $ est $ 0{,}72 - 0{,}7142\ldots = 0{,}0057\ldots $
      Le nombre $ \dfrac{5}{7} $ est plus proche de $ 0{,}71 $, donc l'arrondi au centième est $\mathbf{0{,}71}$.

  3. On cherche deux entiers consécutifs dont les carrés encadrent 13.
    On a $ 3^2 = 9 $ et $ 4^2 = 16 $, donc $ 9 < 13 < 16 $, d'où $ 3 < \sqrt{13} < 4 $.
    On affine : $ 3{,}6^2 = 12{,}96 $ et $ 3{,}7^2 = 13{,}69 $.
    Comme $ 12{,}96 < 13 < 13{,}69 $, on obtient :
    $\mathbf{3{,}6 < \sqrt{13} < 3{,}7}$

    L'amplitude est $ 3{,}7 - 3{,}6 = 0{,}1 = 10^{-1} $.

  4. On peut choisir $ a = \sqrt{2} $ et $ b = -\sqrt{2} $.
    Le nombre $ \sqrt{2} $ est irrationnel et $ -\sqrt{2} $ est également irrationnel (l'opposé d'un irrationnel est irrationnel).
    Or $ a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \in \mathbb{Q} $.
    Donc $ \sqrt{2} $ et $ -\sqrt{2} $ sont deux nombres irrationnels dont la somme est rationnelle.
  5. Non, le produit de deux nombres irrationnels n'est pas toujours irrationnel.
    Contre-exemple : $ \sqrt{2} $ est irrationnel, or $ \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \in \mathbb{Q} $.
    Donc le produit de deux nombres irrationnels peut être rationnel.

Simplification de racines carrées

  1. Simplifier les expressions suivantes :

    1. $ \sqrt{75} $
    2. $ \sqrt{98} $
    3. $ \sqrt{108} $
    4. $ \sqrt{180} $

  2. Écrire chaque expression sous la forme $ a\sqrt{b} $ où $ a $ et $ b $ sont des entiers, $ b $ étant le plus petit possible :

    1. $ \sqrt{45} + \sqrt{20} $
    2. $ 3\sqrt{12} - \sqrt{48} $
    3. $ \sqrt{50} + \sqrt{32} - \sqrt{8} $

  3. Calculer et simplifier :

    1. $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} $
    2. $ \dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} $

  4. Déterminer la nature de chacun des nombres suivants (entier naturel, entier relatif, décimal, rationnel ou irrationnel) :

    1. $ \sqrt{75} - \sqrt{27} $
    2. $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} $

Corrigé

    1. On cherche le plus grand carré parfait divisant 75. On a $ 75 = 25 \times 3 $, donc :
      $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} $ = $\mathbf{5\sqrt{3}}$
    2. On a $ 98 = 49 \times 2 $, donc :
      $ \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} $ = $\mathbf{7\sqrt{2}}$
    3. On a $ 108 = 36 \times 3 $, donc :
      $ \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} $ = $\mathbf{6\sqrt{3}}$
    4. On a $ 180 = 36 \times 5 $, donc :
      $ \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} $ = $\mathbf{6\sqrt{5}}$
    1. On simplifie chaque racine : $ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} $ et $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} $.
      Donc $ \sqrt{45} + \sqrt{20} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} $ = $\mathbf{5\sqrt{5}}$
    2. On a $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $ et $ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} $.
      Donc $ 3\sqrt{12} - \sqrt{48} = 3 \times 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} $ = $\mathbf{2\sqrt{3}}$
    3. On a $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} $, $ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} $ et $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} $.
      Donc $ \sqrt{50} + \sqrt{32} - \sqrt{8} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} $ = $\mathbf{7\sqrt{2}}$
    1. On utilise la propriété $ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} $ :
      $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} = \sqrt{7 \times 28} = \sqrt{196} $ = $\mathbf{14}$
    2. On utilise la propriété $ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} $ :
      $ \dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{54}{6}} = \sqrt{9} $ = $\mathbf{3}$
    1. On simplifie : $ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $ et $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} $.
      Donc $ \sqrt{75} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $.
      Or $ \sqrt{3} $ est un nombre irrationnel, donc $ 2\sqrt{3} $ est irrationnel.
    2. D'après la question 3.a., $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} = 14 $.
      Le nombre $ 14 $ est un entier naturel.