[enonce]
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB = 6$ cm et $BC = 8$ cm.

On place un point $M$ sur le segment $[BC]$ tel que $BM = x$, avec $0 < x < 8$. On construit le rectangle $BMPN$ avec $N$ sur $[BA]$ et $P$ sur $[AC]$.
On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du rectangle $BMPN$ est maximale.
[/enonce]

[etape]
On admet que la droite $(AC)$ a pour équation $y = 6 - \dfrac{3}{4}x$ dans le repère $(B~;~\overrightarrow{BC},~\overrightarrow{BA})$.
Le point $P$ a pour abscisse $x$, donc la hauteur $NP$ du rectangle vaut [[h]].
[math id="h" attendu="6-\dfrac{3}{4}x"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le point $P$ est sur la droite $(AC)$, donc son ordonnée est $6 - \dfrac{3}{4}x$. Comme $N$ est sur $[BA]$ à la même hauteur, la hauteur du rectangle vaut bien $6 - \dfrac{3}{4}x$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{3}{4}x"]Il manque une partie de l'expression.
La hauteur du rectangle correspond à l'ordonnée du point $P$, qui est sur la droite $(AC)$.[/reponse]
[reponse motif="6+\dfrac{3}{4}x"]Attention au signe : quand $x$ augmente (on s'éloigne de $B$ vers $C$), la hauteur du rectangle diminue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplacer $x$ dans l'équation de la droite $(AC)$ pour obtenir l'ordonnée du point $P$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le point $P$ a pour abscisse $x$ et se situe sur la droite $(AC)$. Son ordonnée s'obtient en remplaçant $x$ dans l'équation $y = 6 - \dfrac{3}{4}x$.[/aide]
[aide essai="3"]La hauteur du rectangle est l'ordonnée de $P$ : $y_P = 6 - \dfrac{3}{4}x$.[/aide]
[/math]
[solution]Le point $P$ est sur $(AC)$ d'équation $y = 6 - \dfrac{3}{4}x$. En remplaçant, on obtient la hauteur du rectangle : $NP = 6 - \dfrac{3}{4}x$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire l'expression de l'aire $A(x)$ du rectangle $BMPN$ sous forme développée.
$A(x) =$ [[aire]]
[math id="aire" attendu="-\dfrac{3}{4}x^2+6x" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'aire du rectangle est largeur $\times$ hauteur : $A(x) = x \times \left(6 - \dfrac{3}{4}x\right) = 6x - \dfrac{3}{4}x^2$.[/reponse]
[reponse statut="format"]L'expression est correcte mais il faut la développer : distribuer $x$ dans le produit.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{3}{4}x^2+6x"]Attention au signe devant $\dfrac{3}{4}x^2$.
En développant $x \times \left(- \dfrac{3}{4}x\right)$, le signe est négatif.[/reponse]
[reponse motif="6x"]Il manque un terme. Ne pas oublier de distribuer $x$ sur les deux termes du produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'aire du rectangle est largeur $\times$ hauteur, soit $x \times \left(6 - \dfrac{3}{4}x\right)$. Développer ce produit.[/reponse]
[aide essai="2"]L'aire d'un rectangle est le produit de sa largeur par sa hauteur. Ici : $A(x) = x \times \left(6 - \dfrac{3}{4}x\right)$. Développer.[/aide]
[aide essai="3"]$A(x) = x \times 6 + x \times \left(-\dfrac{3}{4}x\right) = 6x - \dfrac{3}{4}x^2$.[/aide]
[/math]
[solution]$A(x) = x \times \left(6 - \dfrac{3}{4}x\right) = 6x - \dfrac{3}{4}x^2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Quelle est la nature de la fonction $A$ ?
[qcm]
[option]Fonction affine[/option]
[option correct="true"]Polynôme du second degré[/option]
[option]Polynôme du troisième degré[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$A(x) = -\dfrac{3}{4}x^2 + 6x$ est de la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a = -\dfrac{3}{4}$, $b = 6$ et $c = 0$. C'est un polynôme du second degré, dont la courbe est une parabole tournée vers le bas ($a < 0$).[/reponse]
[reponse motif="Fonction affine"]Une fonction affine est de la forme $ax + b$, sans terme en $x^2$.
Identifier le terme de plus haut degré dans l'expression de $A(x)$.[/reponse]
[reponse motif="Polynôme du troisième degré"]Il n'y a pas de terme en $x^3$ dans l'expression de $A(x)$.
Vérifier le degré le plus élevé de $x$ dans $-\dfrac{3}{4}x^2 + 6x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire $A(x)$ est maximale.
$x =$ [[xopt]]
[math id="xopt" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On factorise : $A(x) = -\dfrac{3}{4}x^2 + 6x = -\dfrac{3}{4}x(x - 8)$.
Les racines de $A$ sont $x = 0$ et $x = 8$. La parabole étant symétrique par rapport à son axe, le maximum est atteint au milieu des deux racines : $x = \dfrac{0 + 8}{2} = 4$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Le milieu des racines $0$ et $8$ vaut $\dfrac{0 + 8}{2} = 4$, pas $2$. Vérifier le calcul.[/reponse]
[reponse motif="8"]$8$ est la longueur de $[BC]$, pas la valeur optimale de $x$.
Factoriser $A(x)$ et trouver ses racines, puis chercher leur milieu.[/reponse]
[reponse motif="3"]Le milieu de $0$ et $8$ vaut $\dfrac{0 + 8}{2} = 4$, pas $3$. Vérifier le calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Factoriser $A(x) = -\dfrac{3}{4}x^2 + 6x$ en mettant $x$ en facteur commun, puis utiliser la symétrie de la parabole : le maximum est atteint au milieu des deux racines.[/reponse]
[aide essai="2"]Factoriser $A(x) = -\dfrac{3}{4}x^2 + 6x$ en mettant $x$ en facteur : $A(x) = -\dfrac{3}{4}x(x - 8)$. Les racines sont $x = 0$ et $x = 8$.[/aide]
[aide essai="3"]La parabole est symétrique par rapport à son axe. Le maximum est atteint au milieu des racines $0$ et $8$ : $x = \dfrac{0 + 8}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]On factorise $A(x) = -\dfrac{3}{4}x^2 + 6x = -\dfrac{3}{4}x(x - 8)$ : ses racines sont $x = 0$ et $x = 8$. La parabole est symétrique par rapport à son axe, donc le maximum est atteint au milieu des racines : $x = \dfrac{0 + 8}{2} = 4$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'aire maximale du rectangle.
$A(4) =$ [[amax]]
[math id="amax" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$A(4) = 6 \times 4 - \dfrac{3}{4} \times 16 = 24 - 12 = 12$ cm$^2$.
L'aire maximale du rectangle inscrit dans le triangle est donc $12$ cm$^2$, obtenue pour $BM = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="24"]Ce n'est que le premier terme du calcul. Ne pas oublier de soustraire $\dfrac{3}{4} \times 4^2$.[/reponse]
[reponse motif="48"]Vérifier le calcul : $A(4) = 6 \times 4 - \dfrac{3}{4} \times 4^2$, pas $6 \times 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplacer $x$ par $4$ dans $A(x) = 6x - \dfrac{3}{4}x^2$ et simplifier.[/reponse]
[aide essai="2"]$A(4) = 6 \times 4 - \dfrac{3}{4} \times 4^2$. Calculer chaque terme séparément.[/aide]
[aide essai="3"]$6 \times 4 = 24$ et $\dfrac{3}{4} \times 16 = 12$. En déduire $A(4)$.[/aide]
[/math]
[solution]$A(4) = 6 \times 4 - \dfrac{3}{4} \times 4^2 = 24 - 12 = 12$ cm$^2$.
L'aire maximale du rectangle inscrit dans le triangle est $\mathbf{12}$ cm$^2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour quelles valeurs de $x$ l'aire du rectangle est-elle supérieure ou égale à $9$ cm$^2$ ?
[select id="interv"]
[option correct="true"]$x \in [2~;~6]$[/option]
[option]$x \in [1~;~7]$[/option]
[option]$x \in [3~;~5]$[/option]
[option]$x \in [0~;~4]$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On résout $A(x) \geqslant 9$ :
$-\dfrac{3}{4}x^2 + 6x \geqslant 9$
$-\dfrac{3}{4}x^2 + 6x - 9 \geqslant 0$
En multipliant par $-\dfrac{4}{3}$ (et en inversant le signe) : $x^2 - 8x + 12 \leqslant 0$, soit $(x - 2)(x - 6) \leqslant 0$.
La solution est $x \in [2~;~6]$.[/reponse]
[reponse motif="$x \in [1~;~7]$"]Les bornes ne sont pas correctes. Résoudre $A(x) = 9$ pour trouver les valeurs exactes.[/reponse]
[reponse motif="$x \in [3~;~5]$"]Cet intervalle est trop restreint. Vérifier : $A(2) = 12 - 3 = 9$ et $A(6) = 36 - 27 = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre l'inéquation $-\dfrac{3}{4}x^2 + 6x \geqslant 9$ en commençant par résoudre l'équation $A(x) = 9$.[/reponse]
[/select]
[aide essai="2"]Résoudre d'abord $A(x) = 9$, c'est-à-dire $-\dfrac{3}{4}x^2 + 6x - 9 = 0$. Multiplier par $-\dfrac{4}{3}$ pour simplifier.[/aide]
[aide essai="3"]Après simplification, $x^2 - 8x + 12 = 0$. Chercher deux nombres dont le produit est $12$ et la somme est $-8$ : ce sont $-2$ et $-6$, donc $(x - 2)(x - 6) = 0$, d'où $x = 2$ ou $x = 6$.[/aide]
[/etape]

[enonce]
Soit $g$ une fonction définie sur $[-3~;~5]$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous.

On cherche à exploiter ce tableau pour déterminer des extremums, comparer des images et dénombrer des solutions d'équations.
[/enonce]

[etape]
Quel est le maximum de $g$ sur $[-3~;~5]$ ?
[qcm]
[option]$3$, atteint en $x = 5$[/option]
[option]$0$, atteint en $x = -3$[/option]
[option correct="true"]$4$, atteint en $x = -1$[/option]
[option]$g$ n'admet pas de maximum[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le maximum est la plus grande valeur atteinte par $g$. D'après le tableau, les valeurs aux bornes et aux extremums locaux sont $0$, $4$, $-2$ et $3$. La plus grande est $4$, atteinte en $x = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$3$, atteint en $x = 5$"]$3$ est la valeur de $g$ en $5$, mais ce n'est pas la plus grande valeur du tableau.
Comparer toutes les valeurs qui apparaissent dans le tableau : $0$, $4$, $-2$ et $3$.[/reponse]
[reponse motif="$0$, atteint en $x = -3$"]$0$ est la valeur de $g$ au début de l'intervalle. Il y a des valeurs plus grandes dans le tableau.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer toutes les valeurs présentes dans la dernière ligne du tableau pour trouver la plus grande.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $g(0)$ et $g(1)$ sans calcul.
On a : $g(0)$ [[comp]] $g(1)$.
[select id="comp"]
[option]$<$[/option]
[option correct="true"]$>$[/option]
[option]$=$[/option]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$0$ et $1$ appartiennent tous les deux à $[-1~;~2]$, intervalle sur lequel $g$ est décroissante. Comme $0 < 1$, on en déduit que $g(0) > g(1)$.[/reponse]
[reponse motif="$<$"]$g$ est décroissante sur $[-1~;~2]$, ce qui signifie que l'ordre est inversé : si $a < b$, alors $g(a) > g(b)$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure"]On peut conclure ici. Identifier l'intervalle de monotonie qui contient $0$ et $1$, puis utiliser le sens de variation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repérer l'intervalle de monotonie contenant $0$ et $1$, puis appliquer la définition de fonction croissante ou décroissante.[/reponse]
[/select]
[aide essai="2"]$0$ et $1$ sont tous les deux dans l'intervalle $[-1~;~2]$. Quel est le sens de variation de $g$ sur cet intervalle ?[/aide]
[aide essai="3"]$g$ est décroissante sur $[-1~;~2]$. Pour une fonction décroissante, quand $x$ augmente, $g(x)$ diminue.[/aide]
[/etape]

[etape]
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 3$ sur $[-3~;~5]$.
Nombre de solutions : [[nb]]
[math id="nb" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On analyse chaque intervalle de monotonie :
Sur $[-3~;~-1]$ : $g$ croît de $0$ à $4$ et $3 \in [0~;~4]$, donc une solution.
Sur $[-1~;~2]$ : $g$ décroît de $4$ à $-2$ et $3 \in [-2~;~4]$, donc une solution.
Sur $[2~;~5]$ : $g$ croît de $-2$ à $3$ et $3$ est atteint en $x = 5$, donc une solution.
Au total : $3$ solutions.[/reponse]
[reponse motif="2"]Il manque une solution. Vérifier chaque intervalle de monotonie séparément, y compris les bornes.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention, $3$ peut être atteint sur plusieurs intervalles de monotonie.
Tracer mentalement la droite horizontale $y = 3$ et compter les intersections avec chaque portion monotone.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Analyser chaque intervalle de monotonie séparément : si $3$ est compris entre les valeurs extrêmes d'un intervalle, l'équation y admet une solution.[/reponse]
[aide essai="2"]Analyser séparément les trois intervalles de monotonie : $[-3~;~-1]$, $[-1~;~2]$ et $[2~;~5]$. Sur chacun, vérifier si $3$ appartient à l'intervalle des valeurs prises par $g$.[/aide]
[aide essai="3"]Sur $[-3~;~-1]$ : $g$ va de $0$ à $4$, et $0 \leqslant 3 \leqslant 4$. Sur $[-1~;~2]$ : $g$ va de $4$ à $-2$, et $-2 \leqslant 3 \leqslant 4$. Sur $[2~;~5]$ : $g$ va de $-2$ à $3$, et $3$ est bien atteint.[/aide]
[/math]
[solution]On analyse chaque intervalle de monotonie :
Sur $[-3~;~-1]$ : $g$ croît de $0$ à $4$, et $3 \in [0~;~4]$, donc une solution.
Sur $[-1~;~2]$ : $g$ décroît de $4$ à $-2$, et $3 \in [-2~;~4]$, donc une solution.
Sur $[2~;~5]$ : $g$ croît de $-2$ à $3$, et $3$ est atteint (en $x = 5$), donc une solution.
L'équation $g(x) = 3$ admet $3$ solutions sur $[-3~;~5]$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Peut-on comparer $g(-2)$ et $g(4)$ à l'aide du tableau ?
[qcm]
[option]$g(-2) < g(4)$[/option]
[option]$g(-2) > g(4)$[/option]
[option]$g(-2) = g(4)$[/option]
[option correct="true"]On ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$g(-2)$ est dans $[-3~;~-1]$ où $g$ croît de $0$ à $4$, donc $0 < g(-2) < 4$.
$g(4)$ est dans $[2~;~5]$ où $g$ croît de $-2$ à $3$, donc $-2 < g(4) < 3$.
Les encadrements se chevauchent ($g(-2)$ peut valoir $2$ et $g(4)$ aussi) : on ne peut pas conclure.[/reponse]
[reponse motif="$g(-2) > g(4)$"]On ne peut pas affirmer cela. Avec le seul tableau, on sait que $g(-2) \in {]0~;~4[}$ et $g(4) \in {]-2~;~3[}$ : les plages se chevauchent.[/reponse]
[reponse motif="$g(-2) < g(4)$"]On ne peut pas affirmer cela. On sait que $g(-2)$ est compris entre $0$ et $4$, et $g(4)$ entre $-2$ et $3$ : les plages se chevauchent.[/reponse]
[reponse motif="$g(-2) = g(4)$"]On ne peut pas affirmer l'égalité non plus. Le tableau ne donne pas les valeurs exactes de $g(-2)$ et $g(4)$, seulement des encadrements.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Encadrer chaque valeur à l'aide du tableau, puis vérifier si les encadrements permettent une conclusion.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $g(x) = -3$ admet-elle des solutions sur $[-3~;~5]$ ?
Nombre de solutions : [[nb2]]
[math id="nb2" attendu="0"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le minimum de $g$ sur $[-3~;~5]$ est $-2$ (atteint en $x = 2$). Comme $-3 < -2$, la valeur $-3$ n'est jamais atteinte par $g$ : l'équation n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse motif="1"]$-3$ est inférieur au minimum de $g$.
Quelle est la plus petite valeur prise par $g$ d'après le tableau ?[/reponse]
[reponse motif="2"]$-3$ n'est atteint sur aucun intervalle de monotonie.
Comparer $-3$ au minimum de $g$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $-3$ au minimum de $g$ sur $[-3~;~5]$ (la plus petite valeur du tableau).[/reponse]
[aide essai="2"]Le minimum de $g$ est la plus petite valeur atteinte. D'après le tableau, cette valeur est $-2$.[/aide]
[aide essai="3"]Comme le minimum de $g$ vaut $-2$, on a $g(x) \geqslant -2$ pour tout $x \in [-3~;~5]$. Comparer $-3$ et $-2$.[/aide]
[/math]
[solution]Le minimum de $g$ sur $[-3~;~5]$ est $-2$. Comme $-3 < -2$, la valeur $-3$ n'est jamais atteinte par $g$ : l'équation $g(x) = -3$ admet $0$ solution.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les variations et les extremums d'une fonction. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
$f$ est strictement croissante sur $[-2 ; 5]$. On sait que $f(-2) = -3$ et $f(5) = 4$. Que peut-on dire de $f(1)$ et $f(3)$ ?
[qcm]
[option]$f(1) > f(3)$[/option]
[option correct="true"]$f(1) < f(3)$[/option]
[option]$f(1) = f(3)$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Comme $1 < 3$ et $f$ est strictement croissante sur $[-2 ; 5]$, on a $f(1) < f(3)$.
Quand une fonction est croissante, l'ordre des images est le même que l'ordre des nombres de départ.[/reponse]
[reponse motif="$f(1) > f(3)$"]Non.
Attention, $f$ est croissante (pas décroissante). Quand une fonction est croissante, elle conserve l'ordre : si $a < b$ alors $f(a) < f(b)$.[/reponse]
[reponse motif="$f(1) = f(3)$"]Non.
$f$ est strictement croissante, donc deux nombres distincts ont des images distinctes. Revoir la définition de la croissance stricte.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
La croissance de $f$ sur $[-2 ; 5]$ permet de comparer les images de deux nombres quelconques de cet intervalle. Revoir la définition de fonction croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition : $f$ croissante signifie que si $a < b$ alors $f(a) < f(b)$. Comparer $1$ et $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est définie sur $[-3 ; 4]$, croissante sur $[-3 ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; 4]$ avec $f(1) = 5$. Quel est le maximum de $f$ sur $[-3 ; 4]$ ?
[qcm]
[option]$f(-3)$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$f(4)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f$ est croissante puis décroissante, donc $f$ atteint son maximum au point de changement de variation, c'est-à-dire en $x = 1$.
Le maximum vaut $f(1) = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$f(-3)$"]Non.
$f(-3)$ est la valeur en début d'intervalle. Comme $f$ est croissante sur $[-3 ; 1]$, la plus grande valeur sur cette partie est atteinte en $x = 1$, pas en $x = -3$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Ne pas confondre le maximum de $f$ (une valeur de $f(x)$) avec la valeur de $x$ en laquelle il est atteint. Le maximum est atteint en $x = 1$, il vaut $f(1) = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$f(4)$"]Non.
$f$ est décroissante sur $[1 ; 4]$, donc $f(4) < f(1)$. La plus grande valeur n'est pas en bout d'intervalle ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $f$ est croissante puis décroissante, le maximum est atteint au sommet, c'est-à-dire au point de changement de sens de variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est strictement décroissante sur $[0 ; 6]$. On sait que $f(2) = 5$ et $f(4) = 1$. Laquelle de ces inégalités est nécessairement vraie ?
[qcm]
[option]$f(3) > 5$[/option]
[option]$f(3) = 3$[/option]
[option]$f(5) > f(4)$[/option]
[option correct="true"]$f(3) > 1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $3 < 4$ et $f$ est strictement décroissante, $f(3) > f(4) = 1$.
On a donc bien $f(3) > 1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(3) > 5$"]Non.
Comme $3 > 2$ et $f$ est décroissante, on a $f(3) < f(2) = 5$. Donc $f(3) > 5$ est faux.[/reponse]
[reponse motif="$f(3) = 3$"]Non.
On ne peut pas affirmer que $f(3) = 3$ : la décroissance permet de comparer des images, pas de les calculer. Chercher une inégalité qu'on peut déduire de la décroissance.[/reponse]
[reponse motif="$f(5) > f(4)$"]Non.
$f$ est décroissante, donc si $5 > 4$, alors $f(5) < f(4)$. La décroissance inverse l'ordre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la décroissance : si $a < b$ et $f$ décroissante, alors $f(a) > f(b)$. Comparer $3$ avec $2$ et $4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est définie sur $[-1 ; 6]$, croissante sur $[-1 ; 2]$ puis décroissante sur $[2 ; 6]$, avec $f(-1) = -5$, $f(2) = 3$ et $f(6) = -1$. Quel est le minimum de $f$ sur $[-1 ; 6]$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$-5$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les valeurs aux extrémités sont $f(-1) = -5$ et $f(6) = -1$. Le minimum global est la plus petite de ces valeurs : $-5$, atteint en $x = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
$f(6) = -1$ et $f(-1) = -5$. Comparer ces deux valeurs : $-5 < -1$, donc $-5$ est la plus petite.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la valeur de $x$ en laquelle $f$ atteint son maximum, pas son minimum. Ne pas confondre la variable $x$ et la valeur $f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3 = f(2)$ est le maximum de $f$. La question demande le minimum, c'est-à-dire la plus petite valeur prise par $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer les valeurs aux extrémités de l'intervalle et au sommet, puis identifier la plus petite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est définie sur $[-5 ; 4]$, décroissante sur $[-5 ; -1]$ puis croissante sur $[-1 ; 4]$. Que peut-on dire ?
[qcm]
[option]$f$ admet un maximum en $x = -1$[/option]
[option correct="true"]$f$ admet un minimum en $x = -1$[/option]
[option]$f$ admet un minimum en $x = -5$[/option]
[option]$f$ n'admet pas d'extremum[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$f$ est décroissante puis croissante : elle descend jusqu'à $x = -1$ puis remonte. La fonction atteint donc un minimum en $x = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ admet un maximum en $x = -1$"]Non.
Quand $f$ est décroissante puis croissante, elle forme un « creux », pas un « sommet ». C'est un minimum, pas un maximum.[/reponse]
[reponse motif="$f$ admet un minimum en $x = -5$"]Non.
$x = -5$ est le début de l'intervalle, pas le point de changement de variation. Le minimum est au point où $f$ passe de décroissante à croissante.[/reponse]
[reponse motif="$f$ n'admet pas d'extremum"]Non.
Le changement de sens de variation (décroissante puis croissante) indique la présence d'un extremum. Identifier s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand une fonction passe de décroissante à croissante, elle atteint un extremum au point de changement. Déterminer lequel.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est croissante sur $[0 ; 10]$ et on sait que $f(3) = 2$. Laquelle de ces affirmations est correcte ?
[qcm]
[option]$f(1) \geqslant 2$[/option]
[option]$f(5) \leqslant 2$[/option]
[option]$f(5) = 2$[/option]
[option correct="true"]$f(5) \geqslant 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme $5 \geqslant 3$ et $f$ est croissante, on a $f(5) \geqslant f(3) = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(1) \geqslant 2$"]Non.
Comme $1 < 3$ et $f$ est croissante, on a $f(1) \leqslant f(3) = 2$, pas l'inverse. La croissance conserve l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$f(5) \leqslant 2$"]Non.
Attention au sens de l'inégalité. Comme $5 > 3$ et $f$ est croissante, on a $f(5) \geqslant f(3) = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(5) = 2$"]Non.
On ne peut pas conclure que $f(5) = 2$ : la croissance permet de dire que $f(5)$ est supérieure ou égale à $f(3)$, mais pas d'en calculer la valeur exacte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la croissance : si $a \leqslant b$, alors $f(a) \leqslant f(b)$. Comparer $5$ avec $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la parité des fonctions et la résolution graphique d'équations et d'inéquations. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f(x) = x^2 + 1$. Cette fonction est :
[qcm]
[option]Impaire[/option]
[option correct="true"]Paire[/option]
[option]Ni paire ni impaire[/option]
[option]Paire et impaire[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)$.
Comme $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$, la fonction est paire.[/reponse]
[reponse motif="Impaire"]Non.
Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ et $-f(x)$. Pour être impaire, il faudrait $f(-x) = -f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="Ni paire ni impaire"]Non.
Calculer $f(-x) = (-x)^2 + 1$. Le carré d'un nombre négatif est positif, donc $(-x)^2 = x^2$. Comparer le résultat avec $f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="Paire et impaire"]Non.
Une fonction ne peut être à la fois paire et impaire que si elle est identiquement nulle. Vérifier si $f(-x) = f(x)$ ou $f(-x) = -f(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(-x)$, puis vérifier si $f(-x) = f(x)$ (paire) ou $f(-x) = -f(x)$ (impaire).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $g(x) = x^3 + x$. Cette fonction est :
[qcm]
[option]Paire[/option]
[option]Ni paire ni impaire[/option]
[option correct="true"]Impaire[/option]
[option]On ne peut pas savoir[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$g(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -g(x)$.
Comme $g(-x) = -g(x)$ pour tout $x$, la fonction est impaire.[/reponse]
[reponse motif="Paire"]Non.
Calculer $g(-x)$ : attention, $(-x)^3 = -x^3$ (la puissance impaire conserve le signe négatif). Comparer avec $g(x)$ et $-g(x)$.[/reponse]
[reponse motif="Ni paire ni impaire"]Non.
Calculer $g(-x) = (-x)^3 + (-x)$ en développant chaque terme. Factoriser ensuite par $-1$ et comparer avec $-g(x)$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir"]Non.
On peut le déterminer par le calcul. Calculer $g(-x)$ et comparer avec $g(x)$ et $-g(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $g(-x)$, puis vérifier si $g(-x) = g(x)$ (paire) ou $g(-x) = -g(x)$ (impaire).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $h(x) = x^2 + x$. Cette fonction est :
[qcm]
[option]Paire[/option]
[option]Impaire[/option]
[option]Paire et impaire[/option]
[option correct="true"]Ni paire ni impaire[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
On a $h(-x) = x^2 - x \neq x^2 + x = h(x)$, donc $h$ n'est pas paire.
Et $-h(x) = -x^2 - x \neq x^2 - x = h(-x)$, donc $h$ n'est pas impaire.[/reponse]
[reponse motif="Paire"]Non.
Calculer $h(-x) = x^2 - x$. Comparer avec $h(x) = x^2 + x$ : les deux expressions diffèrent par le signe du terme en $x$.[/reponse]
[reponse motif="Impaire"]Non.
Calculer $-h(x) = -x^2 - x$ et comparer avec $h(-x) = x^2 - x$. Les deux expressions sont différentes.[/reponse]
[reponse motif="Paire et impaire"]Non.
Seule la fonction nulle est à la fois paire et impaire. Calculer $h(-x)$ et comparer soigneusement avec $h(x)$ et $-h(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $h(-x)$ et comparer avec $h(x)$ et $-h(x)$ pour déterminer si $h$ est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport :
[qcm]
[option]à l'axe des ordonnées[/option]
[option]à l'axe des abscisses[/option]
[option correct="true"]à l'origine du repère[/option]
[option]à la droite $y = x$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par définition, $f(-x) = -f(x)$ signifie que si le point $(a ; b)$ est sur la courbe, alors le point $(-a ; -b)$ y est aussi. Ces deux points sont symétriques par rapport à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des ordonnées"]Non.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées caractérise les fonctions paires ($f(-x) = f(x)$), pas les fonctions impaires.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des abscisses"]Non.
Une courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses ne peut pas être la courbe d'une fonction (sauf la fonction nulle). Revoir la propriété géométrique de la parité.[/reponse]
[reponse motif="à la droite $y = x$"]Non.
La symétrie par rapport à $y = x$ est liée à la notion de fonction réciproque, pas à la parité. Revoir les symétries associées aux fonctions paires et impaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir les traductions géométriques : paire = symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, impaire = symétrie par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour résoudre graphiquement $f(x) \geqslant 3$, on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles :
[qcm]
[option]la courbe de $f$ est en dessous de la droite $y = 3$[/option]
[option]la courbe de $f$ coupe la droite $y = 3$[/option]
[option]la courbe de $f$ est à droite de la droite $x = 3$[/option]
[option correct="true"]la courbe de $f$ est au-dessus ou sur la droite $y = 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$f(x) \geqslant 3$ signifie que l'ordonnée du point de la courbe est supérieure ou égale à $3$. On cherche donc les portions de courbe situées au-dessus ou sur la droite horizontale $y = 3$.[/reponse]
[reponse motif="la courbe de $f$ est en dessous de la droite $y = 3$"]Non.
Attention au sens de l'inégalité. « En dessous » correspond à $f(x) \leqslant 3$, pas à $f(x) \geqslant 3$.[/reponse]
[reponse motif="la courbe de $f$ coupe la droite $y = 3$"]Non.
Les points d'intersection correspondent à $f(x) = 3$ (l'égalité seule). L'inéquation $f(x) \geqslant 3$ demande aussi les zones où la courbe est au-dessus.[/reponse]
[reponse motif="la courbe de $f$ est à droite de la droite $x = 3$"]Non.
Ne pas confondre la droite horizontale $y = 3$ avec la droite verticale $x = 3$. Pour résoudre $f(x) \geqslant 3$, on utilise la droite horizontale $y = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour résoudre $f(x) \geqslant k$, on cherche les $x$ pour lesquels l'ordonnée de la courbe est supérieure ou égale à $k$, soit au-dessus de la droite $y = k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ revient à chercher :
[qcm]
[option correct="true"]les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$[/option]
[option]les ordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$[/option]
[option]les points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des abscisses[/option]
[option]les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des ordonnées[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un point d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ a la même ordonnée sur les deux courbes : $f(x) = g(x)$. Les solutions sont les abscisses de ces points.[/reponse]
[reponse motif="les ordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$"]Non.
Les solutions d'une équation $f(x) = g(x)$ sont des valeurs de $x$, donc des abscisses, pas des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="les points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des abscisses"]Non.
L'intersection avec l'axe des abscisses correspond à $f(x) = 0$, pas à $f(x) = g(x)$. Il faut regarder l'intersection des deux courbes entre elles.[/reponse]
[reponse motif="les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des ordonnées"]Non.
L'intersection avec l'axe des ordonnées donne la valeur $f(0)$, pas les solutions de $f(x) = g(x)$. Il faut croiser les deux courbes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour résoudre $f(x) = g(x)$, on cherche les $x$ pour lesquels les deux courbes ont la même ordonnée, c'est-à-dire les abscisses de leurs points d'intersection.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la parité des fonctions, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + x$.
Affirmation : La fonction $f$ est paire.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$. Or $f(x) = x^2 + x$, donc $f(-x) \neq f(x)$ en général (par exemple pour $x = 1$ : $f(1) = 2$ et $f(-1) = 0$). La fonction $f$ n'est pas paire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La présence du terme $x^2$ (qui est pair) peut induire en erreur, mais le terme $x$ (qui est impair) empêche $f$ d'être paire.
On vérifie : $f(-x) = x^2 - x \neq x^2 + x = f(x)$. La fonction n'est ni paire ni impaire.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(-x) = x^2 - x \neq x^2 + x = f(x)$. La somme d'un terme pair et d'un terme impair n'est ni paire ni impaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3$.
Affirmation : La fonction $g$ est impaire.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$. L'égalité $g(-x) = -g(x)$ est vérifiée pour tout $x$ : la fonction cube est bien impaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe : $(-x)^3 = (-1)^3 \times x^3 = -x^3$. On obtient bien $g(-x) = -g(x)$, ce qui est la définition d'une fonction impaire.
La courbe de $g(x) = x^3$ est d'ailleurs symétrique par rapport à l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$ pour tout $x$ : la fonction cube est impaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction paire définie sur $\mathbb{R}$.
Affirmation : On a $f(2) = -f(2)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La parité donne $f(-x) = f(x)$, donc $f(-2) = f(2)$. L'égalité $f(2) = -f(2)$ correspondrait à une fonction impaire (et impliquerait $f(2) = 0$, ce qui n'est pas garanti).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les deux définitions :
une fonction paire vérifie $f(-x) = f(x)$, ce qui donne $f(-2) = f(2)$ ;
une fonction impaire vérifie $f(-x) = -f(x)$, ce qui donnerait $f(-2) = -f(2)$.
L'affirmation mélange les deux notions.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour une fonction paire, $f(-2) = f(2)$ (et non $f(2) = -f(2)$). L'égalité proposée est celle d'une fonction impaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction impaire dont l'ensemble de définition contient $0$.
Affirmation : La courbe de $f$ passe par l'origine du repère.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si $f$ est impaire, $f(-0) = -f(0)$, soit $f(0) = -f(0)$. En ajoutant $f(0)$ des deux côtés : $2f(0) = 0$, donc $f(0) = 0$. Le point $(0~;~0)$ appartient bien à la courbe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $f$ est impaire, alors $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$. En prenant $x = 0$ : $f(0) = -f(0)$, ce qui impose $f(0) = 0$.
La courbe d'une fonction impaire (définie en $0$) passe toujours par l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'imparité donne $f(0) = -f(0)$, soit $2f(0) = 0$, donc $f(0) = 0$ : la courbe passe par l'origine.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x| + 1$.
Affirmation : La fonction $f$ est impaire.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(-x) = |-x| + 1 = |x| + 1 = f(x)$. On a $f(-x) = f(x)$ : la fonction est paire, pas impaire. D'ailleurs $f(0) = 1 \neq 0$, ce qui confirme qu'elle ne peut pas être impaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre paire et impaire. On calcule : $f(-x) = |-x| + 1 = |x| + 1 = f(x)$.
L'égalité $f(-x) = f(x)$ est la définition d'une fonction paire. De plus, $f(0) = 1 \neq 0$ : une fonction impaire vérifie toujours $f(0) = 0$ (quand elle est définie en $0$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(-x) = |x| + 1 = f(x)$ : la fonction est paire, pas impaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Affirmation : On a $f(-3) = f(3)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées signifie que $f$ est paire : $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$. En prenant $x = 3$ : $f(-3) = f(3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées est la traduction géométrique de la parité. Une fonction paire vérifie $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$.
En particulier, pour $x = 3$ : $f(-3) = f(3)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées signifie parité : $f(-x) = f(x)$, d'où $f(-3) = f(3)$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les variations de fonctions, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction croissante sur $[1~;~5]$ avec $f(1) = -3$ et $f(5) = 7$.
Affirmation : Pour tout réel $x$ de $[1~;~5]$, on a $-3 \leqslant f(x) \leqslant 7$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction $f$ est croissante sur $[1~;~5]$. Pour tout $x$ de cet intervalle, $1 \leqslant x \leqslant 5$ donne donc $f(1) \leqslant f(x) \leqslant f(5)$, soit $-3 \leqslant f(x) \leqslant 7$. Les images sont bien encadrées par les valeurs aux bornes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Sur un intervalle où $f$ est croissante, la plus petite image est atteinte à la borne gauche et la plus grande à la borne droite.
Ici $1 \leqslant x \leqslant 5$ entraîne $f(1) \leqslant f(x) \leqslant f(5)$, c'est-à-dire $-3 \leqslant f(x) \leqslant 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $f$ étant croissante sur $[1~;~5]$, l'inégalité $1 \leqslant x \leqslant 5$ donne $f(1) \leqslant f(x) \leqslant f(5)$, soit $-3 \leqslant f(x) \leqslant 7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction croissante sur $[-2~;~4]$ avec $f(0) = 3$ et $f(2) = 5$.
Affirmation : $f(-1) > f(3)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $f$ est croissante et $-1 < 0$, on a $f(-1) \leqslant f(0) = 3$. De même, $2 < 3$ donne $f(2) \leqslant f(3)$, soit $f(3) \geqslant 5$. On obtient $f(-1) \leqslant 3 < 5 \leqslant f(3)$, donc $f(-1) < f(3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « on ne connaît pas les valeurs exactes » avec « on ne peut rien dire ». La croissance de $f$ permet d'encadrer :
$-1 < 0$ donne $f(-1) \leqslant 3$ et $2 < 3$ donne $f(3) \geqslant 5$. Donc $f(-1) < f(3)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La croissance de $f$ donne $f(-1) \leqslant f(0) = 3$ et $f(3) \geqslant f(2) = 5$, d'où $f(-1) < f(3)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction décroissante sur $[0~;~3]$ avec $f(0) = 4$ et $f(3) = -2$.
Affirmation : L'équation $f(x) = 5$ admet une solution sur $[0~;~3]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sur $[0~;~3]$, $f$ décroît de $f(0) = 4$ à $f(3) = -2$. Le maximum de $f$ sur cet intervalle est donc $4$. Comme $5 > 4$, la valeur $5$ n'est jamais atteinte : l'équation n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : avant de chercher si une valeur est atteinte, il faut vérifier qu'elle appartient à la plage de $f$.
Le maximum de $f$ sur $[0~;~3]$ est $f(0) = 4$. Comme $5 > 4$, la valeur $5$ dépasse le maximum de $f$ : elle n'est jamais atteinte.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le maximum de $f$ sur $[0~;~3]$ est $f(0) = 4$. Comme $5 > 4$, la valeur $5$ n'est jamais atteinte.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ une fonction définie sur $[-3~;~2]$, croissante sur $[-3~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~2]$, avec $g(0) = 5$.
Affirmation : Le maximum de $g$ sur $[-3~;~2]$ est $5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$g$ croît jusqu'à $x = 0$ puis décroît après : la valeur $g(0) = 5$ est donc la plus grande valeur atteinte par $g$ sur $[-3~;~2]$. C'est bien le maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de croire qu'il faut connaître les valeurs aux bornes $-3$ et $2$ pour conclure. Mais la monotonie suffit :
$g$ monte jusqu'à $x = 0$ et redescend après, donc $g(0)$ est la plus grande valeur atteinte. Le maximum est bien $5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $g$ croît puis décroît avec un changement de sens en $x = 0$ : le maximum est $g(0) = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction croissante sur $[0~;~4]$ avec $f(1) = 2$ et $f(3) = 6$.
Affirmation : $f(2) = 4$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La croissance de $f$ garantit seulement que $f(1) \leqslant f(2) \leqslant f(3)$, soit $2 \leqslant f(2) \leqslant 6$. On sait que $f(2)$ est entre $2$ et $6$, mais on ne peut pas affirmer que $f(2) = 4$ exactement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « croissante » et « proportionnelle ». Une fonction croissante n'est pas forcément une droite. On sait uniquement que $2 \leqslant f(2) \leqslant 6$, pas que $f(2)$ vaut exactement $4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La croissance donne $2 \leqslant f(2) \leqslant 6$, mais on ne peut pas conclure que $f(2) = 4$ : une fonction croissante n'est pas forcément linéaire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $h$ une fonction décroissante sur $[-1~;~5]$ avec $h(-1) = 10$.
Affirmation : Pour tout $x \in [-1~;~5]$, on a $h(x) \leqslant 10$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$h$ est décroissante sur $[-1~;~5]$ : pour tout $x \geqslant -1$, on a $h(x) \leqslant h(-1) = 10$. Le maximum d'une fonction décroissante sur un intervalle est atteint à la borne gauche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si une fonction est décroissante, quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue. Le maximum est donc atteint au plus petit $x$, ici $x = -1$.
Pour tout $x \in [-1~;~5]$, $x \geqslant -1$ donc $h(x) \leqslant h(-1) = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $h$ décroissante sur $[-1~;~5]$ implique que $h(-1) = 10$ est le maximum : $h(x) \leqslant 10$ pour tout $x$ de l'intervalle.
[/solution]
[/etape]