Mettre un problème en équation
Pour chaque problème, choisir une inconnue, poser une équation, la résoudre, puis répondre par une phrase.
- Trois enfants se partagent une collection de $90$ billes. Léa en possède deux fois plus que Pierre, et Tom en a $6$ de plus que Pierre. Combien de billes possède chacun ?
- Un rectangle a un périmètre de $58$ cm. Sa longueur dépasse sa largeur de $7$ cm. Déterminer la longueur et la largeur de ce rectangle.
- Pour aller au cinéma, on a le choix entre deux tarifs. Avec une carte d'abonnement coûtant $16$ € à l'année, chaque séance revient ensuite à $5$ €. Sans carte, chaque séance coûte $9$ €. À partir de combien de séances la carte d'abonnement devient-elle plus avantageuse ?
- Une mère a $32$ ans de plus que sa fille. Dans $8$ ans, la mère aura le triple de l'âge de sa fille. Quel est l'âge actuel de chacune ?
On note $x$ le nombre de billes de Pierre.
Léa en a deux fois plus, soit $2x$, et Tom en a $6$ de plus, soit $x+6$.
Le total vaut $90$ billes, ce qui se traduit par l'équation :
$x + 2x + (x+6) = 90$
On résout :
$4x + 6 = 90$
$4x = 84$
$x = 21$
Pierre possède donc $21$ billes, Léa en a $2 \times 21 = 42$ et Tom en a $21 + 6 = 27$.
Vérification : $21 + 42 + 27 = 90$, ce qui est bien le cas.
Pierre a 21 billes, Léa 42 billes et Tom 27 billes.
On note $x$ la largeur du rectangle, en centimètres.
La longueur dépasse la largeur de $7$ cm, elle vaut donc $x + 7$.
Le périmètre d'un rectangle est $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$, et il vaut $58$ cm :
$2 \times \big((x+7) + x\big) = 58$
On résout :
$2 \times (2x + 7) = 58$
$4x + 14 = 58$
$4x = 44$
$x = 11$
La largeur vaut $11$ cm et la longueur vaut $11 + 7 = 18$ cm.
Vérification : $2 \times (18 + 11) = 2 \times 29 = 58$, ce qui est bien le cas.
La largeur mesure 11 cm et la longueur mesure 18 cm.
On note $x$ le nombre de séances de cinéma dans l'année.
Avec la carte, le coût total est $16 + 5x$ ; sans la carte, il est $9x$.
La carte devient plus avantageuse lorsque son coût est inférieur à celui du tarif sans carte. On cherche d'abord le nombre de séances pour lequel les deux tarifs sont égaux :
$16 + 5x = 9x$
On résout :
$16 = 9x - 5x$
$16 = 4x$
$x = 4$
Pour $4$ séances, les deux tarifs coûtent la même chose : $16 + 5 \times 4 = 36$ € et $9 \times 4 = 36$ €.
Au-delà, le tarif sans carte augmente de $9$ € par séance contre $5$ € avec la carte : la carte est donc plus avantageuse à partir de 5 séances.
On note $x$ l'âge actuel de la fille, en années.
La mère a $32$ ans de plus, son âge actuel est donc $x + 32$.
Dans $8$ ans, la fille aura $x + 8$ ans et la mère aura $x + 32 + 8 = x + 40$ ans.
La mère aura alors le triple de l'âge de sa fille, ce qui se traduit par :
$x + 40 = 3 \times (x + 8)$
On résout :
$x + 40 = 3x + 24$
$40 - 24 = 3x - x$
$16 = 2x$
$x = 8$
La fille a donc $8$ ans aujourd'hui et la mère a $8 + 32 = 40$ ans.
Vérification : dans $8$ ans, la fille aura $16$ ans et la mère $48$ ans, or $48 = 3 \times 16$, ce qui est bien le cas.
La fille a 8 ans et la mère a 40 ans.
Vrai/Faux : Équations
[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $2 + \sqrt{2}$ est une solution de l'équation $x^2 - 4x + 2 = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En substituant $x = 2 + \sqrt{2}$ : $(2+\sqrt{2})^2 - 4(2+\sqrt{2}) + 2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 8 - 4\sqrt{2} + 2 = 0$. C'est bien une solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas développer correctement $(2+\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2$ en oubliant le terme croisé $2 \times 2 \times \sqrt{2}$.
$(2+\sqrt{2})^2 - 4(2+\sqrt{2}) + 2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 8 - 4\sqrt{2} + 2 = 0$ : la valeur vérifie l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En substituant : $(2+\sqrt{2})^2 - 4(2+\sqrt{2}) + 2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 8 - 4\sqrt{2} + 2 = 0$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'équation $x^2 - x = 0$ est $S = \left\{ 0~;~1 \right\}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En factorisant : $x^2 - x = x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x = 1$. Donc $S = \left\{ 0~;~1 \right\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de diviser par $x$ (en oubliant le cas $x = 0$) et de ne trouver que la solution $x = 1$.
$x^2 - x = x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x-1 = 0$, soit $S = \left\{ 0~;~1 \right\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En factorisant : $x^2 - x = x(x-1) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 1$. Donc $S = \{0 ; 1\}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'équation $x^3 + x = 0$ possède trois solutions réelles.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En factorisant : $x^3 + x = x(x^2+1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x^2 = -1$. Or $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel, donc $x^2 = -1$ est impossible. L'unique solution est $x = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire qu'une équation du troisième degré possède toujours trois solutions réelles, sans vérifier si toutes les équations issues de la factorisation admettent des solutions.
$x(x^2+1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x^2 = -1$. Comme $x^2 \geqslant 0$, l'équation $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle. L'unique solution est $0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En factorisant : $x^3 + x = x(x^2+1) = 0$. Comme $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ pour tout réel, la seule solution est $x = 0$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'équation $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 13$ est $S = \left\{ 6 \right\}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En réduisant au même dénominateur : $\dfrac{6x + 4x + 3x}{12} = 13 \Leftrightarrow \dfrac{13x}{12} = 13 \Leftrightarrow x = 12$. La solution est $12$, et non $6$ : l'affirmation est fausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien réduire au même dénominateur avant de conclure : $\dfrac{x}{2} = \dfrac{6x}{12}$, $\dfrac{x}{3} = \dfrac{4x}{12}$, $\dfrac{x}{4} = \dfrac{3x}{12}$.
La somme vaut $\dfrac{13x}{12}$ et la résolution ne donne pas $6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En réduisant au même dénominateur $12$ : $\dfrac{13x}{12} = 13$, soit $x = 12$. L'ensemble des solutions est $S = \left\{ 12 \right\}$, et non $\left\{ 6 \right\}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 + 2x + 1 = 0$ possède une unique solution dans $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît l'identité remarquable : $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$. L'unique solution est $-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, et de croire que l'équation admet deux solutions ou aucune.
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ : une seule solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On reconnaît $(x+1)^2 = 0$, qui admet l'unique solution $x = -1$ (racine double).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'équation $x(x+2) + 1 = (x+1)^2$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant les deux membres : $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$. Cette égalité est vraie pour tout réel $x$, donc $S = \mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de ne développer qu'un seul membre et de conclure à l'absence de solution sans avoir simplifié les deux côtés.
En développant : $x(x+2)+1 = x^2+2x+1$ et $(x+1)^2 = x^2+2x+1$. Les deux membres sont identiques : l'équation est vraie pour tout réel, donc $S = \mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En développant les deux membres : $x^2+2x+1 = x^2+2x+1$. L'égalité est vraie pour tout réel $x$ : l'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]
Calcul littéral : Simplification de fractions
Pour chacune des expressions suivantes :
- préciser son ensemble de définition ;
- simplifier la fraction ;
- donner l'ensemble de définition de la fraction simplifiée.
- $ A=\dfrac{x^2 - 4}{(x - 1)(x+2)} $
- $ B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{x^2+2x+1} $
- $ C=\dfrac{x^4 - 1}{(x - 1)(2x+1)} $
Pour la question b. de ces exercices, la méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur et à simplifier par le(s) facteur(s) commun(s) au numérateur et au dénominateur.
$ A=\dfrac{x^2 - 4}{(x - 1)(x+2)} $
- La fraction $ A $ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.
Or :
$ (x - 1)(x+2)=0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \text{ ou } x+2=0 $
$ \phantom{(x - 1)(x+2)=0} \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x= - 2. $
Donc l'ensemble de définition de $ A $ est $ \mathscr{D}_A=\mathbb{R} \backslash \{ - 2~;~1\}. $
- On factorise le numérateur à l'aide de l'identité remarquable $ a^2 - b^2=(a - b)(a+b) $ :
$ x^2 - 4=(x - 2)(x+2) $
Par conséquent pour tout réel $ x \in \mathscr{D}_A~: $
$ A=\dfrac{(x - 2)(x+2)}{(x - 1)(x+2)} = \dfrac{x - 2}{x - 1} $
- La fraction simplifiée est définie si et seulement si $ x \neq 1 $ donc sur $ \mathbb{R} \backslash \{~1\}. $
$ B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{x^2+2x+1} $
- Le dénominateur se factorise grâce à l'identité remarquable $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2~: $
$ x^2+2x+1=(x+1)^2 $
Le dénominateur est différent de zéro si et seulement si $ x \neq - 1 $ donc $ \mathscr{D}_B=\mathbb{R} \backslash \{ - 1\}. $
- On peut mettre $ (x+1) $ en facteur au numérateur :
$ (x+1)(x - 5)+(x+1)^2=(x+1)\left[(x - 5)+(x+1)\right] $
$ \phantom{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}=(x+1)(2x - 4). $
Par conséquent, pour tout réel $ x \in \mathscr{D}_B $ :
$ B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{(x+1)^2} $
$ \phantom{B}=\dfrac{(x+1)(2x - 4)}{(x+1)^2} $
$ \phantom{B}=\dfrac{2x - 4}{x+1}. $
- L'ensemble de définition de la fraction simplifiée est encore $ \mathbb{R} \backslash \{ - 1\}. $
$ C=\dfrac{x^4 - 1}{(x - 1)(2x+1)} $
- Le dénominateur est non nul si et seulement si $ x \neq 1 $ et $ x \neq - \dfrac{1}{2}. $. Donc $ \mathscr{D}_C=\mathbb{R} \backslash \left\{ - \dfrac{1}{2}~;~1\right\}. $
- $ x^4 - 1 $ se factorise de la manière suivante :
$ x^4 - 1=(x^2)^2 - 1^2=(x^2 - 1)(x^2+1) =(x - 1)(x+1)(x^2+1). $
Remarque : $ x^2+1 $ ne peut pas être factorisé dans $ \mathbb{R}. $
On en déduit que :
$ C=\dfrac{(x - 1)(x+1)(x^2+1)}{(x - 1)(2x+1)} = \dfrac{(x+1)(x^2+1)}{2x+1} $
- La fraction simplifiée est définie sur l'ensemble $ \mathbb{R} \backslash \left\{ - \dfrac{1}{2} \right\}. $
Calcul littéral : Somme de fractions
Écrire chacune des expressions suivantes sous forme d'une seule fraction :
- $ A=\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x} \quad $(pour $ x \neq - 1 $ et $ x \neq 0 $)
- $ B=\dfrac{1+x}{1 - x}+\dfrac{1 - x}{1+x} \quad $(pour $ x \neq - 1 $ et $ x \neq 1 $)
- $ C=\dfrac{1}{x(x+1)} - \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} \quad $ $ x \neq - 2 $ et $ x \neq - 1 $ et $ x \neq 0 $)
Pour chaque expression :
- on réduit les fractions au même dénominateur ;
- puis, on calcule la somme algébrique au numérateur.
Remarque : Il n'est pas nécessaire de développer les produits au dénominateur (mais ce n'est pas non plus une erreur de le faire...).
En effet, dans la plupart des cas, la forme factorisée est plus utile que la forme développée.
- $ A=\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x} $
L'expression est définie pour $ x \neq - 1 $ et $ x \neq 0 $.
Le dénominateur commun est $ x(x+1) $.
$ A=\dfrac{ 1\times{x}}{{x}(x+1)} - \dfrac{1\times {(x+1)}}{x {(x+1)}} $
$ A=\dfrac{x}{x(x+1)} - \dfrac{x+1}{x(x+1)} $
$ A=\dfrac{x - (x+1)}{x(x+1)} $
Attention à la parenthèse : le signe « - » est situé devant la fraction ; il s'applique donc à l'ensemble du numérateur.
$ A=\dfrac{x - x - 1}{x(x+1)}=\dfrac{ - 1}{x(x+1)}. $
- $ B=\dfrac{1+x}{1 - x}+\dfrac{1 - x}{1+x} $
B est définie pour $ x \neq - 1 $ et $ x \neq 1 $.
Le dénominateur commun est $ (1 - x)(1+x) $.
$ B=\dfrac{(1+x) {(1+x)}}{(1 - x){(1+x)}} +\dfrac{(1 - x){(1 - x)}}{(1+x){(1 - x)}} $
$ B=\dfrac{(1+x)^2}{(1 - x)(1+x)} +\dfrac{(1 - x)^2}{(1 - x)(1+x)} $
$ B=\dfrac{1+2x+x^2}{(1 - x)(1+x)}+\dfrac{1 - 2x+x^2}{(1 - x)(1+x)} $
$ B=\dfrac{1+2x+x^2+1 - 2x+x^2}{(1 - x)(1+x)} $
$ B=\dfrac{2x^2+2}{(1 - x)(1+x)}. $
- $ C=\dfrac{1}{x(x+1)} - \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} $
La fraction est définie si et seulement si $ x \neq - 2 $ et $ x \neq - 1 $ et $ x \neq 0 $.
Un dénominateur commun est $ x(x+1)(x+2) $.
Remarque : Prendre $ x(x+1)(x+1)(x+2) $ (c'est à dire $ x(x+1)^2(x+2) $) comme dénominateur commun ne serait pas une faute mais mènerait à des calculs inutilement compliqués avec une fraction à simplifier à la fin.
Essayez toujours de trouver un dénominateur commun aussi simple que possible !
$ C=\dfrac{1\times {(x+2)}}{x(x+1){(x+2)}} - \dfrac{{x}\times 1}{{x}(x+1)(x+2)} $
$ C=\dfrac{x+2}{x(x+1)(x+2)} - \dfrac{x}{x(x+1)(x+2)} $
$ C=\dfrac{x+2 - x}{x(x+1)(x+2)} $
$ C=\dfrac{2}{x(x+1)(x+2)} $
Résolution graphique d’inéquations
La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ \left[ - 3 ; 4\right] $.
(On supposera que cette courbe passe par les points $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ de coordonnées entières)
Résoudre graphiquement les inéquations :
- $ f\left(x\right) \leqslant 3 $
- $ f\left(x\right) \leqslant - 3 $
- $ f\left(x\right) > 1 $
- $ f\left(x\right) < 1 $
Cet exercice se base sur cette partie du cours : Résolution graphique d'inéquations
$ S=\left[ - 3 ; 4\right] $
L'intégralité de la courbe est située sous la droite d'équation $ y=3 $
$ S=\left[ - 3 ; - 2\right] $
Le crochet est fermé en $ - 2 $ car l'inégalité est large ($ \leqslant $)
$ S=\left] 3 ; 4\right] $
Le crochet est ouvert en $ 3 $ car l'inégalité est stricte ($ > $). Pour cette même raison, on ne retient pas le point $ B $ (qui n'est pas strictement au-dessus de la droite d'équation $ y=1 $) et $ 0 $ (l'abscisse de $ B $) n'est donc pas solution
$ S=\left[ - 3 ; 0\right[ \cup \left]0 ; 3\right[ $
Attention à bien exclure $ 0 $ ! En effet, l'ordonnée de $ B $ n'est pas strictement inférieure à $ 1 $ (puisqu'elle est égale à $ 1 $)
