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Parallélogramme dans un repère

On se place dans un repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $ et on considère les points $ A\left(-1 ; 2\right) $, $ B\left(3 ; 4\right) $ et $ C\left(5 ; -1\right) $.

  1. Montrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.
  2. Déterminer les coordonnées du point $ D $ tel que $ ABCD $ soit un parallélogramme.
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $ \left(BD\right) $.
  4. Soit $ I $ le centre du parallélogramme $ ABCD $. Déterminer les coordonnées de $ I $ de deux façons différentes.

Corrigé

Parallélogramme ABCD avec ses diagonales et leur point d'intersection I
  1. Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ ont pour coordonnées :
    $ \overrightarrow{AB}\left(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A}\right) = \left(4 ; 2\right) $
    $ \overrightarrow{AC}\left(x_{C} - x_{A} ; y_{C} - y_{A}\right) = \left(6 ; -3\right) $
    On teste leur colinéarité :
    $ xy^{\prime} - x^{\prime}y = 4\times\left(-3\right) - 6\times 2 = -12 - 12 = -24\neq 0 $
    Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ ne sont pas colinéaires, donc les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.

  2. Le quadrilatère $ ABCD $ est un parallélogramme si et seulement si $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} $.
    En notant $ D\left(x_{D} ; y_{D}\right) $, on a :
    $ \overrightarrow{DC}\left(x_{C} - x_{D} ; y_{C} - y_{D}\right)=\left(5 - x_{D} ; -1 - y_{D}\right) $
    L'égalité $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} $ équivaut donc au système :
    $ \left\{ \begin{matrix} 5 - x_{D} = 4 \\ -1 - y_{D} = 2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D}=1 \\ y_{D}=-3 \end{matrix}\right. $
    On obtient donc :

    $\mathbf{D\left(1 ; -3\right)}$

  3. Le vecteur $ \overrightarrow{BD} $ est un vecteur directeur de la droite $ \left(BD\right) $. Ses coordonnées sont :
    $ \overrightarrow{BD}\left(x_{D} - x_{B} ; y_{D} - y_{B}\right)=\left(-2 ; -7\right) $
    Une équation cartésienne de $ \left(BD\right) $ est alors, avec $ B\left(3 ; 4\right) $ et $ \overrightarrow{BD}\left(-2 ; -7\right) $ :
    $ -7\times\left(x - 3\right) - \left(-2\right)\times\left(y - 4\right)=0 $
    $ -7x+21+2y - 8=0 $
    $ -7x+2y+13=0 $
    Soit, en multipliant par $ -1 $ :

    $\mathbf{7x - 2y - 13=0}$

  4. Méthode 1 : Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc $ I $ est le milieu de $ \left[AC\right] $.
    $ I\left(\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2} ; \dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)=\left(\dfrac{-1+5}{2} ; \dfrac{2+\left(-1\right)}{2}\right)=\left(2 ; \dfrac{1}{2}\right) $
    Méthode 2 : Le point $ I $ est le point d'intersection des diagonales $ \left(AC\right) $ et $ \left(BD\right) $.
    Déterminons d'abord une équation de $ \left(AC\right) $. Le vecteur $ \overrightarrow{AC}\left(6 ; -3\right) $ est un vecteur directeur :
    $ -3\times\left(x - \left(-1\right)\right) - 6\times\left(y - 2\right)=0 $
    $ -3x - 3 - 6y+12=0 $
    $ -3x - 6y+9=0 $
    En divisant par $ -3 $, on obtient l'équation $ x+2y - 3=0 $.
    Les coordonnées de $ I $ sont solutions du système :
    $ \left\{ \begin{matrix} x+2y - 3=0 \\ 7x - 2y - 13=0 \end{matrix}\right. $
    En additionnant les deux équations, on élimine $ y $ :
    $ 8x - 16=0 \Leftrightarrow x=2 $
    En reportant dans la première équation :
    $ 2+2y - 3=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2} $
    Les deux méthodes donnent le même résultat :

    $\mathbf{I\left(2 ; \dfrac{1}{2}\right)}$

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points

Vecteurs et alignement

Soient un triangle $ ABC $, $ I $ le symétrique de $ A $ par rapport à $ B $, $ J $ le milieu de $ \left[BC\right] $ et $ K $ le point tel que $ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AC} $

alignement

Montrer que les points $ I, J $ et $ K $ sont alignés. (On pourra se placer dans un repère judicieusement choisi)

Corrigé

On se place dans la base $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $ et on exprime $ \overrightarrow{KJ} $ et $ \overrightarrow{KI} $ dans cette base.

En utilisant la relation de Chasles et le fait que $ J $ est le milieu de $ \left[BC\right] $ :

$ \overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} $

Comme $ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $, on a $ \overrightarrow{KA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $. De plus, $ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} $.

$ \overrightarrow{KJ}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) $

$ \overrightarrow{KJ}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} $

En regroupant et en réduisant au même dénominateur :

$ \overrightarrow{KJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\left(-\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}\right)\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC} $

Comme $ B $ est le milieu de $ \left[AI\right] $, on a $ \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB} $, donc :

$ \overrightarrow{KI}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} $

On observe que $ 4\overrightarrow{KJ}=2\overrightarrow{AB} - \dfrac{4}{6}\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{KI} $.

Les vecteurs $ \overrightarrow{KI} $ et $ \overrightarrow{KJ} $ sont donc colinéaires : les points $ I $, $ J $ et $ K $ sont alignés.