[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Attention, certaines situations demandent un raisonnement attentif !
[/enonce]

[etape]
On considère une grandeur qui augmente chaque année de $20\%$. On note $u_n$ sa valeur au bout de $n$ années, avec $u_0$ la valeur initiale.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1{,}2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une augmentation de $20\%$ correspond à une multiplication par $1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2$ :

La suite est bien géométrique de raison $1{,}2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une augmentation de $t\%$ se traduit par une multiplication par $1 + \dfrac{t}{100}$. Ici, le coefficient multiplicateur est $1{,}2$, appliqué chaque année : c'est une suite géométrique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Augmenter de $20\%$ revient à multiplier par $1{,}2$ : $u_{n+1} = 1{,}2 \times u_n$ définit une suite géométrique de raison $1{,}2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un prix subit une augmentation de $10\%$, puis une diminution de $10\%$.

Affirmation : Après ces deux évolutions, le prix revient à sa valeur initiale.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Augmenter de $10\%$ revient à multiplier par $1{,}1$, diminuer de $10\%$ revient à multiplier par $0{,}9$. Le coefficient global est :

Le prix final vaut $99\%$ du prix initial : il y a une perte de $1\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique : les pourcentages ne s'additionnent pas. Augmenter puis diminuer du même pourcentage revient à multiplier par $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$, donc une diminution globale de $1\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient global est $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ : le prix final vaut $99\%$ du prix initial, pas $100\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On place $1\,000$ € sur un compte à intérêts composés au taux annuel de $3\%$. On note $C_n$ le capital au bout de $n$ années.

Affirmation : Pour tout entier naturel $n$, $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$ (ajout des intérêts de $3\%$ au capital existant) :

Avec $C_0 = 1\,000$, on a donc $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour des intérêts composés, le capital croît de façon géométrique (multiplication par $1{,}03$ chaque année), pas de façon arithmétique. Le terme général est $C_n = C_0 \times q^n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec un taux de $3\%$ appliqué chaque année, $C_{n+1} = 1{,}03 \times C_n$, d'où $C_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = -10$ et de raison $r = 3$.

Affirmation : Tous les termes de la suite sont strictement négatifs.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $u_n = -10 + 3n$. Cherchons quand $u_n \geqslant 0$ :

Dès $n = 4$, $u_4 = -10 + 12 = 2 > 0$. Les termes ne sont donc pas tous négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une suite arithmétique de raison positive augmente indéfiniment : même si le premier terme est négatif, elle finit par devenir positive.
$u_4 = -10 + 4 \times 3 = 2 > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La raison $r = 3$ fait croître la suite indéfiniment : dès $n = 4$, $u_4 = 2 > 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = 3 \times 2^n + 5$.

Affirmation : La suite $(v_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Calcul des premiers termes : $v_0 = 8$, $v_1 = 11$, $v_2 = 17$, $v_3 = 29$.
- Différences : $3$, $6$, $12$ — non constantes, donc pas arithmétique.
- Rapports : $\dfrac{11}{8}$, $\dfrac{17}{11}$ — non égaux, donc pas géométrique.

La suite n'est donc ni l'une, ni l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La présence de $2^n$ et d'une constante rend la suite « mixte » : ni la différence $v_{n+1} - v_n$, ni le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ ne sont constants.
$v_0 = 8$, $v_1 = 11$, $v_2 = 17$ : différences $3, 6$ ; rapports $\dfrac{11}{8}, \dfrac{17}{11}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Différences $(3; 6; 12; \dots)$ non constantes, rapports $\left(\dfrac{11}{8}; \dfrac{17}{11}; \dots\right)$ non constants : la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une population de poissons est modélisée par la relation suivante : chaque année, elle augmente de $5\%$ puis on relâche $5$ poissons supplémentaires. On note $P_n$ la population au bout de $n$ années.

Affirmation : La suite $(P_n)$ est une suite arithmétique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La relation de récurrence est :

La différence $P_{n+1} - P_n = 0{,}05 \times P_n + 5$ dépend de $P_n$ : elle n'est pas constante, donc la suite n'est pas arithmétique.
Par ailleurs, le rapport $\dfrac{P_{n+1}}{P_n} = 1{,}05 + \dfrac{5}{P_n}$ n'est pas non plus constant : la suite n'est pas géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : ce n'est pas parce que la population augmente chaque année que la suite est arithmétique. Une suite arithmétique exige une augmentation constante, pas une combinaison de multiplication et d'addition.
$P_{n+1} = 1{,}05 P_n + 5$ : ni arithmétique, ni géométrique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La relation $P_{n+1} = 1{,}05 P_n + 5$ combine multiplication et addition : la différence $P_{n+1} - P_n$ n'est pas constante, la suite n'est pas arithmétique.
[/solution]
[/etape]