[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : nombre dérivé, dérivées usuelles, produit, quotient, tangente et variations. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x$. En passant à la limite sur le taux d'accroissement, que vaut $f'(1)$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $f(1+h) - f(1) = (1+h)^2 + 2(1+h) - 3 = 1 + 2h + h^2 + 2 + 2h - 3 = 4h + h^2$.
Le taux vaut donc $\dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h$, qui tend vers $4$ quand $h$ tend vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
C'est la valeur de $f(1) = 1 + 2 = 3$, pas le nombre dérivé. Il faut d'abord simplifier le taux puis passer à la limite.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
C'est l'abscisse $x_0 = 1$, pas la limite du taux d'accroissement. Simplifier $\dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}$ avant de faire tendre $h$ vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
On ne peut pas remplacer $h$ par $0$ directement dans le taux (forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$). Il faut simplifier par $h$ avant de passer à la limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer $f(1+h) - f(1)$, simplifier par $h$, puis faire tendre $h$ vers $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^4 - x^2$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$8x^3$[/option]
[option]$2x^3 - x$[/option]
[option correct="true"]$8x^3 - 2x$[/option]
[option]$8x^4 - 2x^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Terme à terme avec $(x^n)' = n x^{n-1}$ :
$(2x^4)' = 8x^3$ et $(-x^2)' = -2x$. Donc $f'(x) = 8x^3 - 2x$.[/reponse]
[reponse motif="$8x^3$"]Non.
La dérivée du terme $-x^2$ a été oubliée : $(-x^2)' = -2x$, à ajouter au premier terme.[/reponse]
[reponse motif="$2x^3 - x$"]Non.
Les exposants ont été décrémentés, mais les coefficients n'ont pas été multipliés par l'ancien exposant. Revoir $(x^n)' = n x^{n-1}$ : le coefficient est multiplié par $n$.[/reponse]
[reponse motif="$8x^4 - 2x^2$"]Non.
Les coefficients sont multipliés par les exposants, mais les exposants n'ont pas été diminués de $1$. La règle complète est $(x^n)' = n x^{n-1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dériver terme à terme avec la formule $(x^n)' = n x^{n-1}$ : multiplier par l'ancien exposant et décrémenter l'exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2(x - 1)$. Quelle est l'expression développée de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$2x$[/option]
[option]$2x(x-1)$[/option]
[option correct="true"]$3x^2 - 2x$[/option]
[option]$3x^2 - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On pose $u(x) = x^2$ et $v(x) = x-1$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$.
$f'(x) = u'v + uv' = 2x(x-1) + x^2 \times 1 = 2x^2 - 2x + x^2 = 3x^2 - 2x.$
(On peut aussi développer d'abord $f(x) = x^3 - x^2$, puis dériver directement.)[/reponse]
[reponse motif="$2x$"]Non.
La formule $(uv)' = u'v'$ est fausse. La dérivée d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$, pas le produit des dérivées.[/reponse]
[reponse motif="$2x(x-1)$"]Non.
Il manque le terme $uv' = x^2 \times 1 = x^2$ à ajouter. La formule complète est $(uv)' = u'v + uv'$, avec les deux termes.[/reponse]
[reponse motif="$3x^2 - 1$"]Non.
Erreur de développement. Après expansion, $f(x) = x^3 - x^2$, donc $f'(x) = 3x^2 - 2x$ (et non $3x^2 - 1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $(uv)' = u'v + uv'$ (ou d'abord développer $f$ puis dériver directement).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2x}$[/option]
[option]$\dfrac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On pose $u(x) = x$ et $v(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 2x$.
$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{1 \times (x^2+1) - x \times 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2x}$"]Non.
La formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$ est fausse. La dérivée d'un quotient est $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$"]Non.
Erreur de signe au numérateur. On a $x^2 + 1 - 2x^2 = 1 - x^2$ (et non $x^2 - 1$). Vérifier le signe en ordonnant bien les termes.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$"]Non.
Le terme $-uv' = -x \times 2x = -2x^2$ a été oublié au numérateur. Après simplification, $x^2 + 1 - 2x^2 = 1 - x^2$ (pas juste $1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser $u = x$ et $v = x^2+1$, calculer $u' = 1$ et $v' = 2x$, puis appliquer $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ en soignant le calcul du numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ ?
[qcm]
[option]$y = 1$[/option]
[option correct="true"]$y = -1$[/option]
[option]$y = -x + 1$[/option]
[option]$y = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $f'(x) = 4x - 4$, donc $f'(1) = 0$. Et $f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$.
L'équation est : $y = 0 \times (x - 1) + (-1) = -1.$
La tangente est horizontale.[/reponse]
[reponse motif="$y = 1$"]Non.
Erreur de signe sur $f(1)$ : $f(1) = 2 \times 1 - 4 \times 1 + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$ (et non $+1$). La tangente horizontale se situe à l'ordonnée $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x + 1$"]Non.
Le coefficient directeur de la tangente est $f'(1)$. Calcul : $f'(x) = 4x - 4$, donc $f'(1) = 0$. La tangente est donc horizontale, pas de pente $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 0$"]Non.
L'ordonnée du point de contact est $f(1) = -1$, pas $0$. La tangente horizontale a pour équation $y = f(1) = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x)$, puis $f'(1)$ et $f(1)$, et appliquer $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Ici $f'(1) = 0$, la tangente est horizontale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est donnée par $f'(x) = (x-1)(x-3)$. En quelle valeur $f$ admet-elle un maximum local ?
[qcm]
[option correct="true"]$x = 1$[/option]
[option]$x = 3$[/option]
[option]$x = 2$[/option]
[option]$x = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On étudie le signe de $f'(x) = (x-1)(x-3)$ :
pour $x < 1$, les deux facteurs sont négatifs, donc $f'(x) > 0$ ($f$ croît) ;
pour $1 < x < 3$, un facteur positif et un négatif, donc $f'(x) < 0$ ($f$ décroît) ;
pour $x > 3$, les deux facteurs positifs, donc $f'(x) > 0$ ($f$ croît).
$f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ en $x = 1$ : $f$ y admet un maximum local.[/reponse]
[reponse motif="$x = 3$"]Non.
En $x = 3$, $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$ : la fonction décroît puis croît, il s'agit donc d'un minimum local (et non d'un maximum).[/reponse]
[reponse motif="$x = 2$"]Non.
$f'(2) = (2-1)(2-3) = 1 \times (-1) = -1 \neq 0$. Un extremum local d'une fonction dérivable correspond à un point où la dérivée s'annule.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$"]Non.
$f'(0) = (0-1)(0-3) = -1 \times -3 = 3 \neq 0$. La dérivée ne s'annule pas en $0$, il n'y a donc pas d'extremum local en ce point.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier les zéros de $f'(x) = (x-1)(x-3)$, étudier son signe, puis repérer les changements de signe : un extremum maximum correspond au passage du signe $+$ au signe $-$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ de courbe représentative $\mathscr{C}_f$, et $a \in \mathbb{R}$.

Affirmation : L'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule correcte est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Attention au signe : il s'agit de $(x - a)$, pas $(x + a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre le signe dans la formule de la tangente. La tangente passe par le point $(a, f(a))$, donc l'équation contient $(x - a)$ et non $(x + a)$ — le signe $-$ vient de la forme point-pente d'une droite.
La formule correcte est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Le signe moins est crucial : $(x - a)$, pas $(x + a)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule correcte de la tangente en $a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ avec un signe $-$ devant $a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable en $a$.

Affirmation : Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est :

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la définition du nombre dérivé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre cette limite avec le taux d'accroissement (qui ne prend pas de limite) ou de penser que la définition utilise $h \to \infty$ ou $h \to 1$.
C'est bien la définition du nombre dérivé : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est exactement la définition du nombre dérivé (ou dérivée) de $f$ en $a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$.

Affirmation : $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction « racine carrée » est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ mais n'est pas dérivable en $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de penser que $f$ est définie et continue en $0$, donc dérivable. Or la continuité n'implique pas la dérivabilité : en $0$, le taux d'accroissement $\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$ tend vers $+\infty$, donc la tangente serait verticale.
$\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ (la tangente en $0$ serait verticale). Elle est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, mais pas en $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{x}$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ mais pas en $0$, car son taux d'accroissement en $0$ tend vers $+\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $n$ un entier strictement positif et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^n$.

Affirmation : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = nx^{n-1}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est l'une des formules fondamentales de dérivation à connaître.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'écrire $f'(x) = nx^n$ (en oubliant de diminuer l'exposant de $1$) ou $f'(x) = x^{n-1}$ (en oubliant le facteur $n$).
Cette formule est bien vraie : si $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$), alors $f'(x) = nx^{n-1}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule fondamentale : la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
On suppose que $f'$ est strictement positive sur $I$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est l'une des principales utilisations de la dérivée : si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre avec le cas limite : si $f' \geq 0$ (avec annulation en des points isolés), $f$ est encore croissante, mais si $f' > 0$ strictement, la croissance est stricte. La réciproque (croissante implique $f' \geq 0$) est aussi vraie, mais moins forte.
C'est vrai : si $f'$ est strictement positive sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est un théorème fondamental : $f' > 0$ sur $I$ implique que $f$ est strictement croissante sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $a \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(a) = 0$.
On note $\mathscr{T}$ la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

Affirmation : La tangente $\mathscr{T}$ est parallèle à l'axe des abscisses.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $f'(a) = 0$, la tangente a un coefficient directeur nul, donc elle est bien parallèle à l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $f'(a) = 0$ signifie que $f$ s'annule en $a$ (confusion entre $f'(a) = 0$ et $f(a) = 0$). Ici c'est la pente de la tangente qui est nulle, pas la valeur de la fonction.
Si $f'(a) = 0$, le coefficient directeur de la tangente est $0$, donc $\mathscr{T}$ est bien parallèle à l'axe des abscisses.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f'(a) = 0$ signifie que la tangente en $a$ a une pente nulle, donc elle est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).
[/solution]
[/etape]