Vrai/Faux : Définition et propriétés de l’exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la fonction exponentielle, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\text{e}^{0} = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est l'une des deux conditions qui caractérisent la fonction exponentielle : $\text{exp}(0) = 1$.
Cette valeur est indispensable pour les calculs : elle permet notamment d'écrire $\text{e}^{x - x} = \text{e}^{0} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas confondre avec la puissance $0^x$.
Par définition, la fonction exponentielle $\text{exp}$ vérifie $\text{exp}(0) = 1$, autrement dit $\text{e}^{0} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, la fonction exponentielle vérifie $\text{exp}(0) = 1$, soit $\text{e}^{0} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $\text{e}$ vaut environ $3{,}14$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur $3{,}14$ est une approximation du nombre $\pi$, pas de $\text{e}$.
Le nombre $\text{e}$ vaut environ $2{,}718$ : $\text{e} \approx 2{,}718$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le nombre $\text{e}$ avec le nombre $\pi$, qui vaut environ $3{,}14$.
Le nombre $\text{e}$ est défini par $\text{e} = \text{exp}(1)$ et sa valeur approchée est $\text{e} \approx 2{,}718$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre $\text{e}$ vaut environ $2{,}718$. La valeur $3{,}14$ est une approximation de $\pi$, pas de $\text{e}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\text{e}^{-1} = -\text{e}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le signe $-$ de l'exposant n'est pas un signe « moins » devant l'exponentielle.
D'après la propriété $\text{e}^{-a} = \dfrac{1}{\text{e}^{a}}$, on a $\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0{,}368$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de traiter le signe $-$ de l'exposant comme un signe devant le résultat.
En réalité $\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0{,}368$, qui est un nombre strictement positif, tandis que $-\text{e} \approx -2{,}718$ est négatif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. D'après la propriété $\text{e}^{-a} = \dfrac{1}{\text{e}^{a}}$, on a $\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$, qui est strictement positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction exponentielle est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans changement de sens de variation.
Ses variations ne ressemblent donc pas à celles de la fonction carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre avec la fonction carré, qui change de sens de variation en $0$.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : ses variations sont les mêmes sur $]-\infty\,;\,0]$ et sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\text{e}^{x} > 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
Cette propriété est fondamentale : elle explique, par exemple, qu'une équation du type $\text{e}^{x} = -5$ n'a jamais de solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la courbe de l'exponentielle est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses.
Pour tout réel $x$, $\text{e}^{x} > 0$ : la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $x$, $\text{e}^{x} > 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le point de coordonnées $(1\,;\,\text{e})$ appartient à la courbe représentative de la fonction exponentielle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par définition, $\text{e} = \text{exp}(1) = \text{e}^{1}$.
Donc l'image de $1$ par la fonction exponentielle est $\text{e}$, ce qui signifie exactement que le point $(1\,;\,\text{e})$ appartient à la courbe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'oublier que $\text{e}$ est défini comme la valeur de l'exponentielle en $1$.
Par définition $\text{e} = \text{exp}(1)$, donc l'image de $1$ est $\text{e}$ : le point $(1\,;\,\text{e})$ est bien sur la courbe.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, $\text{e} = \text{exp}(1)$, donc l'image de $1$ est $\text{e}$ et le point $(1\,;\,\text{e})$ appartient à la courbe.
[/solution]
[/etape]

Exponentielle – Dérivée, variations et tangente

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{-2x+1} $.

Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $ pour tout réel $ x $.
Étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur $ \mathbb{R} $, puis dresser le tableau de variations de $ f $.
Déterminer une équation de la tangente $ \left(T\right) $ à la courbe $ \mathscr{C} $ représentative de $ f $ au point d'abscisse $ 0 $.

Corrigé

La fonction $ f $ est de la forme $ \text{e}^{ax+b} $ avec $ a=-2 $ et $ b=1 $. Sa dérivée est donc $ f^{\prime}\left(x\right)=a\,\text{e}^{ax+b} $, soit pour tout réel $ x $ : $\mathbf{f^{\prime}\left(x\right)=-2\,\text{e}^{-2x+1}}$.
Pour tout réel $ x $, $ \text{e}^{-2x+1}>0 $, et $ -2<0 $, donc $ f^{\prime}\left(x\right)<0 $ sur $ \mathbb{R} $. La fonction $ f $ est donc strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $.
On utilise l'équation de la tangente $ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) $. On calcule $ f\left(0\right)=\text{e}^{-2\times 0+1}=\text{e}^{1}=\text{e} $ et $ f^{\prime}\left(0\right)=-2\,\text{e}^{-2\times 0+1}=-2\text{e} $. Une équation de la tangente est donc $\mathbf{y=-2\text{e}\,x+\text{e}}$.

Exponentielle – Tangente commune et position relative

Soient $ f $ et $ g $ les fonctions définies sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{x} $ et $ g\left(x\right)=2\text{e}^{x/2}-1 $. On note $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ les courbes représentatives des fonctions $ f $ et $ g $ dans un repère orthogonal.

Partie A — Tangente commune

Démontrer que les courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ ont un point commun d'abscisse $ 0 $.
Déterminer une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $, puis une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{g} $ au point d'abscisse $ 0 $.
En déduire qu'en ce point, les deux courbes ont la même tangente $ \Delta $.

Partie B — Position relative des courbes

Pour tout réel $ x $, développer l'expression $ \left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2} $.
En déduire la position relative des courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $.

Corrigé

Partie A

On calcule les images de $ 0 $ par $ f $ et par $ g $. On a $ f\left(0\right)=\text{e}^{0}=1 $ et $ g\left(0\right)=2\text{e}^{0}-1=2-1=1 $. Comme $ f\left(0\right)=g\left(0\right)=1 $, les deux courbes passent par le point de coordonnées $ \left(0 ; 1\right) $.
La fonction $ f $ vérifie $ f^{\prime}\left(x\right)=\text{e}^{x} $, donc $ f^{\prime}\left(0\right)=1 $. Une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{f} $ en $ 0 $ est $ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) $, soit $ y=x+1 $.

La fonction $ g $ est de la forme $ 2\,\text{e}^{ax+b} $ avec $ a=\dfrac{1}{2} $ et $ b=0 $, donc $ g^{\prime}\left(x\right)=2\times \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{x/2}=\text{e}^{x/2} $, d'où $ g^{\prime}\left(0\right)=\text{e}^{0}=1 $. Une équation de la tangente à $ \mathscr{C}_{g} $ en $ 0 $ est $ y=g^{\prime}\left(0\right)\left(x-0\right)+g\left(0\right) $, soit $ y=x+1 $.
Les deux tangentes ont la même équation $ y=x+1 $. Les courbes $ \mathscr{C}_{f} $ et $ \mathscr{C}_{g} $ ont donc la même tangente $ \Delta : y=x+1 $ au point $ \left(0 ; 1\right) $.

Partie B

En appliquant l'identité remarquable $ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $ avec $ a=\text{e}^{x/2} $ et $ b=1 $, et en utilisant $ \left(\text{e}^{x/2}\right)^{2}=\text{e}^{x} $, on obtient :

$ \left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2}=\text{e}^{x}-2\text{e}^{x/2}+1 $
On étudie le signe de la différence $ f\left(x\right)-g\left(x\right) $ :

$ f\left(x\right)-g\left(x\right)=\text{e}^{x}-\left(2\text{e}^{x/2}-1\right)=\text{e}^{x}-2\text{e}^{x/2}+1 $

D'après la question précédente, $ f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(\text{e}^{x/2}-1\right)^{2} $. Un carré est toujours positif ou nul, donc $ f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant 0 $ pour tout réel $ x $. La courbe $ \mathscr{C}_{f} $ est donc au-dessus de la courbe $ \mathscr{C}_{g} $ sur $ \mathbb{R} $, les deux courbes se touchant au point $ \left(0 ; 1\right) $ (où la différence s'annule, puisque $ \text{e}^{0}-1=0 $).

Fonction exponentielle – Contrôle continu 1ère – 2020 – Sujet zéro

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.

Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe $ \mathscr{C}_{ f } $ représentatif de la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [ - 1~;~2 ] $ par :

$ f( x )=( - x+2 )\text{e}^{ x }. $

Graphique de la fonction f(x)=(-x+2)e^x sur [-1;2] avec la plaque rectangulaire

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $ \mathscr{C}_{ f } $. On nomme $ L $ la longueur de la plaque rectangulaire et $ \ell $ sa largeur.

On note $ f^{\prime} $ la fonction dérivée de $ f $.
1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ [ - 1~;~2 ] $ , $ f^{\prime} ( x )=( - x+1 )\text{e}^{ x }. $
2. En déduire le tableau de variations de la fonction $ f $ sur $ [ - 1~;~2 ]. $
La longueur $ L $ de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur $ \ell $ exacte en centimètres.

Corrigé

1. Pour calculer la dérivée $ f^{\prime} $ de la fonction $ f $ on utilise la formule :
  
  $ ( uv )^{\prime} =u^{\prime} v+uv^{\prime} $
  
  où $ u $ et $ v $ sont les fonctions définies par :
  - $ u( x )= - x+2 $
  - $ v( x )=\text{e}^{ x } $
  On a alors :
  - $ u^{\prime} ( x )= - 1 $
  - $ v^{\prime} ( x )=\text{e}^{ x } $
  Par conséquent, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[ - 1~;~2\right] $ :
  
  $ f^{\prime} ( x )= - \text{e}^{ x }+( - x+2 )\text{e}^{ x } $
  $ \phantom{f^{\prime} ( x )}=\text{e}^{ x }\left( - 1 - x+2 \right) $
  $ \phantom{f^{\prime} ( x )}=\left( - x+1 \right)\text{e}^{ x }. $
2. Pour tout réel $ x $, $ \text{e}^{ x } $ est strictement positif ; donc $ f^{\prime} $ est du signe de $ - x+1 $ c'est-à-dire :
  - $ f^{\prime} $ s'annule pour $ x=1 $
  - $ f^{\prime} $ est strictement positive pour $ x < 1 $
  - $ f^{\prime} $ est strictement négative pour $ x > 1. $
  On a par ailleurs :
  - $ f( - 1 )=( 1+2 )\text{e}^{ - 1 }=3\text{e}^{ - 1 }=\dfrac{ 3 }{ \text{e} } $
  - $ f( 1 )=( - 1+2 )\text{e}^{ 1 }=\text{e} $
  - $ f( 2)=( - 2 +2)\text{e}^{ 2 }=0 $
  On obtient alors le tableau de variation ci-dessous :
Le maximum de la fonction $ f $ est $ f( 1 )=\text{e} $ ; son minimum est $ f( 2 )=0 $. La largeur de la plaque est donc $ \text{e} $ unités. L'unité mesurant 30 cm, la largeur de la plaque est donc $ \ell=30\text{e} $ centimètres (soit environ $81{,}5$ cm mais c'est la valeur exacte qui est demandée…).

[Bac] Lecture graphique – Dérivée – Exponentielle

Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013.

Le sujet complet (qui nécessite l'étude des chapitres Logarithme népérien et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :

$ h\left(t\right)= \dfrac{a}{1+be^{ - 0{,}04t}} $

où $ a $ et $ b $ sont des constantes réelles positives, $ t $ est la variable temps exprimée en jours et $ h\left(t\right) $ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.

On sait qu'initialement, pour $ t=0 $, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.

Déterminer les constantes $ a $ et $ b $ afin que la fonction $ h $ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $ f $ définie sur $ \left[0 ; 250\right] $ par

$ f\left(t\right)=\dfrac{2}{1+19e^{ - 0{,}04t}} $

Déterminer $ f^{\prime}\left(t\right) $ en fonction de $ t $ ($ f^{\prime} $ désignant la fonction dérivée de la fonction $ f $).

En déduire les variations de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 250\right] $.
On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $ f $.

La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $ t $.

En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Corrigé

Partie 1

D'après l'énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :

$ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2 $

Or $ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\dfrac{a}{1+be^{ - 0.04t}}=a $ (puisque $ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{ - 0.04t}=0 $)

Donc $ a=2 $.

Par ailleurs, pour $ t=0 $, le plant mesure 0,1 m donc $ h\left(0\right)=0{,}1 $, c'est à dire :

$ \dfrac{a}{1+b}=0{,}1 $

$ 0{,}1b=a - 0{,}1 $

$ 0{,}1b=1{,}9 $

$ b=19 $

On a donc :

$ f\left(t\right)=\dfrac{2}{1+19e^{ - 0{,}04t}} $

Partie 2

La dérivée de $ \dfrac{1}{u} $ est $ - \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}} $ donc :

$ f^{\prime}\left(t\right)= - \dfrac{2\times 19\times \left( - 0{,}04e^{ - 0{,}04t}\right)}{\left(1+19e^{ - 0{,}04t}\right)^{2}}=\dfrac{1{,}52e^{ - 0{,}04t}}{\left(1+19e^{ - 0{,}04t}\right)^{2}} $

Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur $ \left[0 ; 250\right] $ donc $ f $ est strictement croissante sur $ \left[0 ; 250\right] $
La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour $ t $ proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d'environ 1m.

[ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Théorème

Pré-requis

La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $) est l'unique fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ et $ \text{exp}\left(0\right)=1 $. Elle est strictement croissante et strictement positive sur $ \mathbb{R} $.
On utilisera également le résultat suivant : si $ f $ est une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $, alors la fonction $ x\mapsto f\left(ax+b\right) $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et sa dérivée est la fonction $ x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right) $.

Soit $ a $ un réel quelconque et $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\dfrac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)} $.

Montrer que pour tout $ x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right) $.
Calculer $ f\left(0\right) $. Que peut-on en conclure pour la fonction $ f $ ?

En déduire que pour tous réels $ a $ et $ b $ : $ \text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right) $.
Montrer que pour tout réel $ a $ : $ \text{exp}\left( - a\right)=\dfrac{1}{\text{exp}\left(a\right)} $

En déduire que pour tous réels $ a $ et $ b $ : $ \text{exp}\left(a - b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)} $.
Démontrer par récurrence que pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $
A l'aide des questions précédentes, montrer que pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
$ \text{exp}\left( - na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n} $

En déduire que l'égalité $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ est vraie pour tout $ n \in \mathbb{Z} $

Corrigé

D'après les prérequis, la dérivée de la fonction $ x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) $ est la fonction $ x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) $ (c'est à dire elle-même).

Par conséquent :

$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=f\left(x\right) $

(Remarque : pas besoin d'utiliser la formule $ \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}} $ car le dénominateur est une constante)
$ f\left(0\right)=\dfrac{\text{exp}\left(0+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=1 $

La fonction $ f $ est égale à sa dérivée et vérifie $ f\left(0\right)=1 $. Or, d'après le prérequis a., la fonction exponentielle est la seule à vérifier ces deux conditions. Donc pour tout $ x \in \mathbb{R} $ :

$ f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $

En posant $ x=b $ on obtient :

$ f\left(b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(b+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left(b\right) $

Par conséquent : $ \text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right) $

Remarque

La formule précédente est vraie pour tous réels $ a $ et $ b $. Cela signifie qu'on va pouvoir remplacer $ a $ et$ b $ par n'importe quel nombre réel (opération que l'on fera souvent dans les questions qui suivent...)
En faisant $ b= - a $ dans l'égalité précédente on obtient :

$ \text{exp}\left(a - a\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $

$ \text{exp}\left(0\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $

$ 1=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right) $

$ \dfrac{1}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left( - a\right) $

En remplaçant cette fois $ b $ par $ - b $ dans le résultat de la question 2. on obtient :

$ \text{exp}\left(a - b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - b\right) $

et d'après le résultat précédent : $ \text{exp}\left( - b\right)=\dfrac{1}{\text{exp}\left(b\right)} $

par conséquent :

$ \text{exp}\left(a - b\right)=\dfrac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)} $
Initialisation : La propriété que l'on souhaite démontrer est vraie pour $ n=0 $ car :

$ \text{exp}\left(0a\right) = \text{exp}\left(0\right) = 1 $

$ \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} = 1 $ (n'importe quel réel non nul à la puissance zéro donne $ 1 $)

donc : $ \text{exp}\left(0a\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} $

Hérédité Supposons que pour un certain entier $ n $, $ \text{exp}\left(na\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ («hypothèse de récurrence »)

Alors :

$ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\text{exp}\left(na+a\right)=\text{exp}\left(na\right)\times \text{exp}\left(a\right) $ d'après 2. $ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}\times \text{exp}\left(a\right) $ (d'après l'hypothèse de récurrence)

$ \text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n+1} $ (propriété des puissances)

Ceci montre par récurrence que pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :

$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $
$ \text{exp}\left( - na\right) = \dfrac{1}{\text{exp}\left(na\right)} $ (d'après 3.)

$ \text{exp}\left( - na\right) = \dfrac{1}{\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}} $ (d'après 4.)

$ \text{exp}\left( - na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n} $ (propriété des puissances)

Soit $ n \in \mathbb{Z} $.

Si $ n\geqslant 0 $, $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ d'après 4. Si $ n < 0 $, on pose $ n= - n^{\prime} $ :

$ \text{exp}\left(na\right) = \text{exp}\left( - n^{\prime}a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n^{\prime}} $ (d'après le calcul ci-dessus)

$ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $

Par conséquent, l'égalité $ \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} $ est vraie pour tout $ n \in \mathbb{Z} $

[ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Prérequis :

La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $) vérifie $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ et $ \text{exp}\left(0\right)=1 $.
On admettra également la propriété suivante (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires) : si $ f $ est une fonction dérivable sur un intervalle $ \left[a ; b\right] $ et si $ f\left(a\right) $ et $ f\left(b\right) $ sont de signes contraires, alors il existe $ \alpha \in \left[a ; b\right] $ tel que $ f\left(\alpha \right)=0 $.
On rappelle enfin le résultat suivant : si $ f $ est une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $, alors la fonction $ x\mapsto f\left(ax+b\right) $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et sa dérivée est la fonction $ x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right) $.

Partie A

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\times \text{exp}\left( - x\right) $.

Montrer que pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : $ f^{\prime}\left(x\right)=0 $.
En déduire que pour tout réel $ x $, $ f\left(x\right)=1 $.
Montrer que pour tout réel $ x $, $ \text{exp}\left(x\right)\neq 0 $.

Partie B

Soit $ g $ une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $ g^{\prime}=g $ et $ g\left(0\right)=1 $.

On pose $ h\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)} $.

Calculer $ h^{\prime}\left(x\right) $.
En déduire que pour tout réel $ x $, $ h\left(x\right)=1 $.
Que peut-on en déduire pour la fonction $ g $ ?

Partie C

Montrer que, pour tout réel $ x $, $ \text{exp}\left(x\right) > 0 $ (on raisonnera par l'absurde et on utilisera le prérequis b.).
En déduire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.

Corrigé

Partie A

On pose $ u\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $ et $ v\left(x\right)=\text{exp}\left( - x\right) $. On a alors $ u^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $ et $ v^{\prime}\left(x\right)= - \text{exp}\left( - x\right) $ (d'après les prérequis a. et c.). Par conséquent :

$ f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\text{exp}\left( - x\right)+\text{exp}\left(x\right)\times \left( - \text{exp}\left( - x\right)\right)=0 $
On en déduit que $ f $ est constante sur $ \mathbb{R} $. Comme $ f\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)\times \text{exp}\left( - 0\right)=1 $ (d'après le prérequis a.), on a $\mathbf{f\left(x\right)=1}$ pour tout réel $ x $.
On raisonne par l'absurde. S'il existait un réel $ x_{0} $ pour lequel $ \text{exp}\left(x_{0}\right)=0 $, on aurait $ f\left(x_{0}\right)=\text{exp}\left(x_{0}\right)\text{exp}\left( - x_{0}\right)=0\times \text{exp}\left( - x_{0}\right)=0 $, ce qui contredit le résultat précédent. Donc, pour tout réel $ x $, $\mathbf{\text{exp}\left(x\right)\neq 0}$.

Partie B

La fonction $ h $ est un quotient. On a :

$ h^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{g^{\prime}\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=\dfrac{g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=0 $
Donc $ h $ est constante sur $ \mathbb{R} $ et comme $ h\left(0\right)=\dfrac{g\left(0\right)}{\text{exp}\left(0\right)}=\dfrac{1}{1}=1 $, on a $\mathbf{h\left(x\right)=1}$ pour tout réel $ x $.
On en déduit que, pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ \dfrac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)}=1 $, c'est-à-dire $ g\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $. La fonction $ g $ est donc la fonction exponentielle. La fonction exponentielle est ainsi la seule fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ vérifiant $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ et $ \text{exp}\left(0\right)=1 $.

Partie C

On raisonne là encore par l'absurde. S'il existait un réel $ x_{0} $ pour lequel $ \text{exp}\left(x_{0}\right) < 0 $, comme $ \text{exp}\left(0\right)=1 > 0 $, d'après le prérequis b. (théorème des valeurs intermédiaires) il existerait un réel $ \alpha $ compris entre $ x_{0} $ et $ 0 $ tel que $ \text{exp}\left(\alpha \right)=0 $. Or ceci contredit le résultat de la question A. 3. Donc la fonction exponentielle n'est jamais strictement négative sur $ \mathbb{R} $. Comme elle ne s'annule jamais non plus, on a pour tout réel $ x $ : $\mathbf{\text{exp}\left(x\right) > 0}$.
Comme $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ est strictement positive sur $ \mathbb{R} $, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.

[Bac] Fonction exponentielle – Coût marginal

(D'après Bac ES Liban 2009 - Modifié pour correspondre au programme en vigueur actuellement)

Partie A

On considère la fonction définie sur $ \left[0 ; 4\right] $ par

$ f\left(x\right)= 10+\left(x - 3\right) e^{x} $

Démontrer que $ f^{\prime}\left(x\right)=\left(x - 2\right) e^{x} $ et étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.
Dresser le tableau de variations de $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.
En déduire le signe de $ f\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.

Partie B

Une entreprise fabrique $ x $ tonnes d'un certain produit, avec $ x \in \left[0 ; 4\right] $. Le coût marginal de fabrication pour une production de $ x $ tonnes est donné par $ f\left(x\right) $ exprimé en milliers d'euros, où $ f $ est la fonction définie dans la partie A,.

L'entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de 11 292 euros.

En utilisant la partie A démontrer qu'il est possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
Déterminer la production correspondante, à 10 kg près.

Corrigé

Partie A

La fonction $ f $ est de la forme $ 10 + u \times v $ avec :

$ u(x) = x - 3 $ et $ v(x) = e^x $

On a alors :

$ u'(x) = 1 $ et $ v'(x) = e^x $

La dérivée $ f' $ est donnée par :

$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \times e^x + (x - 3) \times e^x $

$ f'(x) = (1 + x - 3) e^x = (x - 2) e^x $

Pour tout réel $ x $, $ e^x > 0 $. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ x - 2 $ :
- $ f'(x) < 0 $ sur $ [0 ; 2[ $
- $ f'(x) = 0 $ pour $ x = 2 $
- $ f'(x) > 0 $ sur $ ]2 ; 4] $
On calcule les valeurs aux bornes et l'extremum :
$ f(0) = 10 + (0 - 3)e^0 = 10 - 3 = 7 $
$ f(2) = 10 + (2 - 3)e^2 = 10 - e^2 \approx 2{,}61 $
$ f(4) = 10 + (4 - 3)e^4 = 10 + e^4 \approx 64{,}60 $

Le tableau de variations de $ f $ est donc :
D'après le tableau de variations, le minimum de la fonction $ f $ sur $ [0 ; 4] $ est $ 10 - e^2 \approx 2{,}61 $.
Comme ce minimum est strictement positif, on en déduit que $ f(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 4] $.

Partie B

Le coût marginal est donné par $ f(x) $ en milliers d'euros. On cherche donc à résoudre l'équation $ f(x) = 11{,}292 $.
D'après la partie A, sur l'intervalle $ [0 ; 2] $, le maximum de $ f $ est $ 7 $, donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $ [2 ; 4] $ :
- $ f $ est continue (car dérivable).
- $ f $ est strictement croissante.
- $ f(2) \approx 2{,}61 < 11{,}292 $.
- $ f(4) \approx 64{,}60 > 11{,}292 $.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), l'équation $ f(x) = 11{,}292 $ possède une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $ [2 ; 4] $.
Il est donc possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
À l'aide d'une calculatrice, on affine la valeur de $ \alpha $ :
- $ f(3{,}06) \approx 11{,}280 $
- $ f(3{,}07) \approx 11{,}508 $
D'où $ 3{,}06 < \alpha < 3{,}07 $.

En poussant la précision :
- $ f(3{,}060) \approx 11{,}2796 $
- $ f(3{,}061) \approx 11{,}3020 $
La valeur 11,292 est comprise entre $ f(3{,}060) $ et $ f(3{,}061) $.

La production correspondante est donc d'environ 3,06 tonnes, soit 3 060 kg (à 10 kg près).