Simplifier une fraction à étages

[enonce]
On souhaite calculer l'expression suivante :

$ B = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}} $

Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
[/enonce]

[etape]
Commençons par calculer le numérateur de $B$.

$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = $ [[num]]
[math id="num" attendu="\frac{11}{12}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le plus petit dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$.
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{7}"]Non.
On n'additionne pas les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Il faut d'abord mettre les fractions au plus petit dénominateur commun.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{12}"]Non.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ (pas $\dfrac{2}{12}$) car on multiplie numérateur et dénominateur par $4$.
Recalculer $\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour additionner ces fractions, chercher le plus petit dénominateur commun de $3$ et $4$, puis convertir chaque fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]Le plus petit dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{?}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{?}{12}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$.
Additionner les numérateurs.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculons maintenant le dénominateur de $B$. Donner le résultat sous forme irréductible.

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = $ [[den]]
[math id="den" attendu="\frac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le plus petit dénominateur commun est $6$ : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier.[/reponse]
[reponse motif="\frac{3}{6}"]Presque !
$\dfrac{3}{6}$ est correct, mais pas irréductible.
Diviser numérateur et dénominateur par leur facteur commun.[/reponse]
[reponse motif="\frac{4}{3}"]Non.
On n'effectue pas $5-1$ au numérateur et $6-3$ au dénominateur.
Il faut d'abord mettre les fractions au plus petit dénominateur commun.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quel est le plus petit dénominateur commun de $6$ et $3$ ?
Convertir $\dfrac{1}{3}$ à ce dénominateur, puis soustraire.[/reponse]
[aide essai="2"]$6$ est déjà un multiple de $3$, donc le plus petit dénominateur commun est $6$.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Calculer $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}$, puis simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a maintenant $B = \dfrac{\dfrac{11}{12}}{\dfrac{1}{2}}$.

Par quelle opération peut-on remplacer cette fraction à étages ?
[qcm]
[option]$\dfrac{11}{12} - \dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{11}{12} \times \dfrac{2}{1}$[/option]
[option]$\dfrac{11}{12} \times \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{11} \times \dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Diviser par $\dfrac{1}{2}$, c'est multiplier par l'inverse de $\dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $\dfrac{2}{1}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12} - \dfrac{1}{2}$"]Non.
Une fraction à étages est une division, pas une soustraction.
$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}$ signifie $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12} \times \dfrac{1}{2}$"]Non.
Diviser par une fraction, ce n'est pas multiplier par cette même fraction.
On multiplie par son inverse : on échange numérateur et dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{11} \times \dfrac{1}{2}$"]Non.
C'est la première fraction $\dfrac{11}{12}$ qui reste inchangée.
C'est la seconde dont on prend l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $B = \dfrac{11}{12} \times 2$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

$B = $ [[res]]
[math id="res" attendu="\frac{11}{6}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$B = \dfrac{11 \times 2}{12} = \dfrac{22}{12} = \dfrac{11}{6}$.
$11$ est premier et ne divise pas $6$, donc la fraction est bien irréductible.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas irréductible. La simplifier.[/reponse]
[reponse motif="\frac{22}{12}"]Presque !
$\dfrac{22}{12}$ est correct mais pas simplifié.
$22$ et $12$ sont tous les deux pairs : diviser par $2$.[/reponse]
[reponse motif="\frac{11}{24}"]Non.
On multiplie le numérateur par $2$, pas le dénominateur.
$\dfrac{11}{12} \times 2 = \dfrac{11 \times 2}{12}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier le numérateur par $2$, garder le dénominateur, puis simplifier la fraction obtenue.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{22}{12}$. Le numérateur et le dénominateur sont pairs, les diviser par $2$.[/aide]
[/math]
[solution]$B = \dfrac{11}{12} \times 2 = \dfrac{22}{12} = \dfrac{11}{6}$.[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Fractions et puissances

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : priorités de calculs, fractions, puissances et écriture scientifique. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
L'expression $5 - 3 \times 2 + 4$ est :
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction.
$5 - 3 \times 2 + 4 = 5 - 6 + 4 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
L'erreur fréquente est d'effectuer les calculs de gauche à droite sans respecter les priorités : $(5-3) \times 2 + 4 = 8$.
La multiplication $3 \times 2 = 6$ est prioritaire : $5 - 6 + 4 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'erreur vient d'un calcul incorrect après la multiplication.
$5 - 3 \times 2 + 4 = 5 - 6 + 4 = -1 + 4 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
$5 - 3 \times 2 + 4 = 5 - 6 + 4 = 3$.
La multiplication $3 \times 2 = 6$ est prioritaire, puis on effectue de gauche à droite : $5 - 6 + 4 = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$5 - 3 \times 2 + 4 = 5 - 6 + 4 = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{18}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{11}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On simplifie avant de multiplier : $2$ et $4$ par $2$, $9$ et $3$ par $3$.
$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{18}{12}$"]Pas tout à fait.
$\dfrac{18}{12}$ est correct mais pas simplifié. En divisant par $6$ :
$\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
L'erreur vient d'une simplification excessive.
$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12}$"]Non.
$\dfrac{11}{12}$ correspond à une addition ($\dfrac{2}{3} + \dfrac{9}{4}$...) et non une multiplication.
$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel nombre est égal à $4^{2} \times 25^{2}$ ?
[qcm]
[option]$100^{4}$[/option]
[option correct="true"]$10\,000$[/option]
[option]$1\,000$[/option]
[option]$200$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les exposants sont identiques, on applique la règle $a^{n} \times b^{n} = (ab)^{n}$ :
$4^{2} \times 25^{2} = (4 \times 25)^{2} = 100^{2} = 10\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$100^{4}$"]Non.
L'erreur vient d'une addition des exposants : $100^{2+2} = 100^{4}$.
La règle dit $(ab)^{n}$ : l'exposant ne change pas.
$4^{2} \times 25^{2} = 100^{2} = 10\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000$"]Non.
$100^{2} = 10\,000$, pas $1\,000$. Attention : $100^{2} = 100 \times 100$, pas $100 \times 10$.
$4^{2} \times 25^{2} = (4 \times 25)^{2} = 100^{2} = 10\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$200$"]Non.
L'erreur vient d'une multiplication au lieu d'une mise en puissance : $4 \times 25 \times 2 = 200$.
$4^{2} \times 25^{2} = (4 \times 25)^{2} = 100^{2} = 10\,000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$4^{2} \times 25^{2} = (4 \times 25)^{2} = 100^{2} = 10\,000$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-1}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La multiplication est prioritaire : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
Puis : $\dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{10}{15} = \dfrac{-1}{15}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{15}$"]Non.
L'erreur vient probablement d'un oubli de simplification de $\dfrac{4}{6}$.
$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{10}{15} = \dfrac{-1}{15}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{15}$"]Non.
L'erreur fréquente est de soustraire d'abord, puis de multiplier : $\left(\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{4}{3}$.
La multiplication est prioritaire sur la soustraction. Le résultat est $\dfrac{-1}{15}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{15}$"]Non.
Le signe est incorrect. $\dfrac{9}{15} - \dfrac{10}{15} = \dfrac{-1}{15}$, pas $\dfrac{1}{15}$.
Le numérateur $9 - 10 = -1$ est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{10}{15} = \dfrac{-1}{15}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat en écriture scientifique de $\dfrac{4{,}2 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-7}}{1{,}4 \times 10^{-2}}$ ?
[qcm]
[option]$6 \times 10^{-8}$[/option]
[option]$6 \times 10^{2}$[/option]
[option correct="true"]$6 \times 10^{-2}$[/option]
[option]$6 \times 10^{-6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On sépare coefficients et puissances de 10.
Coefficients : $\dfrac{4{,}2 \times 2}{1{,}4} = \dfrac{8{,}4}{1{,}4} = 6$.
Puissances : $\dfrac{10^{3} \times 10^{-7}}{10^{-2}} = \dfrac{10^{-4}}{10^{-2}} = 10^{-4-(-2)} = 10^{-2}$.
Résultat : $6 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10^{-8}$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier les exposants au lieu de les additionner/soustraire.
$10^{3} \times 10^{-7} = 10^{-4}$ puis $\dfrac{10^{-4}}{10^{-2}} = 10^{-4-(-2)} = 10^{-2}$.
Le résultat est $6 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10^{2}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect. $-4 - (-2) = -4 + 2 = -2$, pas $+2$.
Le résultat est $6 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10^{-6}$"]Non.
L'erreur vient du calcul des exposants. Au numérateur : $3 + (-7) = -4$.
Puis $\dfrac{10^{-4}}{10^{-2}} = 10^{-4-(-2)} = 10^{-2}$, pas $10^{-6}$.
Le résultat est $6 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{4{,}2 \times 2}{1{,}4} = 6$ et $\dfrac{10^{3} \times 10^{-7}}{10^{-2}} = 10^{-2}$.
Le résultat est $6 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{6}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{8}{27}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{27}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{2^{3}}{3^{3}} = \dfrac{8}{27}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{9}$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier le numérateur et le dénominateur par l'exposant ($2 \times 3$ et $3 \times 3$) au lieu d'élever à la puissance.
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{2^{3}}{3^{3}} = \dfrac{8}{27}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{9}$"]Non.
L'erreur vient du numérateur : $2^{3} = 8$, pas $2$.
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{2^{3}}{3^{3}} = \dfrac{8}{27}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{27}$"]Non.
L'erreur vient du numérateur : $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$, pas $2 \times 3 = 6$.
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{8}{27}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{2^{3}}{3^{3}} = \dfrac{8}{27}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Multiplications et divisions de fractions

[enonce]
Ce QCM porte sur les multiplications et divisions de fractions. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{21}{10}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{6}{35}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{12}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'additionner au lieu de multiplier.
Pour multiplier des fractions : $\dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{21}{10}$"]Non.
$\dfrac{21}{10}$ correspond à $\dfrac{7 \times 3}{5 \times 2}$, c'est-à-dire une inversion des numérateurs et dénominateurs.
$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{12}$"]Non.
Le dénominateur n'est pas $5 + 7 = 12$, mais $5 \times 7 = 35$.
$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{35}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{8}{15} \times \dfrac{5}{6}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{40}{90}$[/option]
[option]$\dfrac{8}{18}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4}{9}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On simplifie avant de multiplier : $5$ et $15$ sont divisibles par $5$, puis $8$ et $6$ sont divisibles par $2$.
$\dfrac{8}{15} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{3} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{40}{90}$"]Non.
$\dfrac{40}{90}$ est le produit brut sans simplification : $\dfrac{8 \times 5}{15 \times 6}$. Il faut simplifier.
$\dfrac{40}{90} = \dfrac{4}{9}$ (on divise numérateur et dénominateur par $10$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{18}$"]Non.
L'erreur vient d'une simplification incomplète. $\dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9}$, mais il fallait aussi simplifier le $5$ avec le $15$.
Le résultat final simplifié est $\dfrac{4}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{9}$"]Non.
L'erreur vient d'une simplification excessive. La simplification croisée donne $\dfrac{4}{9}$, pas $\dfrac{2}{9}$.
Vérification : $\dfrac{4}{9} = \dfrac{40}{90}$ et $8 \times 5 = 40$, $15 \times 6 = 90$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{8}{15} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{40}{90} = \dfrac{4}{9}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{2}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{27}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{6}{36}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{18}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Diviser par $\dfrac{9}{2}$, c'est multiplier par l'inverse $\dfrac{2}{9}$.
$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ (en simplifiant par $6$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{27}{8}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'oublier d'inverser la deuxième fraction : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{27}{8}$.
Pour diviser, on multiplie par l'inverse : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{6}{36}$"]Pas tout à fait.
Le calcul $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{36}$ est correct, mais il faut simplifier : $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{18}$"]Pas tout à fait.
$\dfrac{3}{18} = \dfrac{1}{6}$, c'est la bonne valeur mais pas sous forme irréductible.
Le résultat simplifié est $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{-3}{5} \times \dfrac{10}{9}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{-30}{45}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{-10}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif.
On simplifie : $3$ et $9$ par $3$, $10$ et $5$ par $5$.
$\dfrac{-3}{5} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{-1}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
Le résultat doit être négatif : le produit d'une fraction négative par une fraction positive est négatif.
$\dfrac{-3}{5} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-30}{45}$"]Pas tout à fait.
$\dfrac{-30}{45}$ est le produit brut sans simplification. En simplifiant par $15$ :
$\dfrac{-30}{45} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-10}{15}$"]Pas tout à fait.
$\dfrac{-10}{15}$ n'est pas irréductible. En simplifiant par $5$ :
$\dfrac{-10}{15} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{-3}{5} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{-30}{45} = \dfrac{-2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'inverse de $\dfrac{-4}{7}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{4}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-7}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{-4}{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$.
L'inverse de $\dfrac{-4}{7}$ est $\dfrac{7}{-4} = \dfrac{-7}{4}$.
Vérification : $\dfrac{-4}{7} \times \dfrac{-7}{4} = \dfrac{28}{28} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{7}$"]Non.
$\dfrac{4}{7}$ est l'opposé de $\dfrac{-4}{7}$, pas son inverse.
L'inverse s'obtient en retournant la fraction : $\dfrac{7}{-4} = \dfrac{-7}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{4}$"]Non.
L'inverse conserve le signe de la fraction d'origine.
$\dfrac{-4}{7} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{-28}{28} = -1 \neq 1$.
Le bon inverse est $\dfrac{-7}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-4}{7}$"]Non.
Un nombre n'est pas son propre inverse (sauf $1$ et $-1$).
L'inverse de $\dfrac{-4}{7}$ est $\dfrac{-7}{4}$, car $\dfrac{-4}{7} \times \dfrac{-7}{4} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$, donc l'inverse de $\dfrac{-4}{7}$ est $\dfrac{-7}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le résultat simplifié de $\dfrac{5}{6} \div \dfrac{-10}{3}$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{-50}{18}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{-15}{60}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On multiplie par l'inverse : $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{-10} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times (-10)} = \dfrac{15}{-60}$.
En simplifiant par $15$ : $\dfrac{-1}{4}$.
Le résultat est négatif car on divise un nombre positif par un nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-50}{18}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'oublier d'inverser la deuxième fraction.
$\dfrac{5}{6} \div \dfrac{-10}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{-10} = \dfrac{15}{-60} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
Le signe est incorrect. Le quotient d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif.
$\dfrac{5}{6} \div \dfrac{-10}{3} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-15}{60}$"]Pas tout à fait.
$\dfrac{-15}{60}$ est correct mais pas simplifié. En divisant par $15$ :
$\dfrac{-15}{60} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{5}{6} \div \dfrac{-10}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{-10} = \dfrac{15}{-60} = \dfrac{-1}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Calculs type brevet (fractions, puissances, racines)

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si le résultat proposé est Vrai ou Faux.

Ces calculs mélangent fractions, puissances et racines carrées, comme au brevet.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5}$.
Le résultat est $A = \dfrac{7}{20}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On commence par la multiplication (priorité). On simplifie avant de multiplier : $6$ et $3$ sont divisibles par $3$.
$\dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5}$.
Puis $\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20} = \dfrac{7}{20}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer de gauche à droite sans respecter la priorité de la multiplication.
On calcule d'abord la multiplication en simplifiant avant : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{2}{5}$ (on simplifie $6$ et $3$ par $3$).
Puis $\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{20} - \dfrac{8}{20} = \dfrac{7}{20}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La multiplication est prioritaire : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{2}{5}$, puis $\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{20}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $B = \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right) \times 4$.
Le résultat est $B = \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{8}{3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il faut d'abord calculer la parenthèse en entier, puis multiplier le résultat par $4$.
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{6}$, puis $\dfrac{7}{6} \times 4 = \dfrac{28}{6} = \dfrac{14}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de ne multiplier que le deuxième terme de la parenthèse par $4$.
On calcule d'abord toute la parenthèse : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6}$.
Puis $\dfrac{7}{6} \times 4 = \dfrac{28}{6} = \dfrac{14}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On calcule d'abord la parenthèse complète : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{6}$, puis $\dfrac{7}{6} \times 4 = \dfrac{14}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $C = \sqrt{3^2 + 4^2}$.
Le résultat est $C = 3 + 4 = 7$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On ne peut pas séparer la racine carrée d'une somme.
$C = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$.
On calcule d'abord sous la racine : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, puis $\sqrt{25} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ en général. Ici $C = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $D = \dfrac{2^3 \times 3}{6^2}$.
Le résultat est $D = \dfrac{2}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$2^3 = 8$ et $6^2 = 36$. On simplifie avant de multiplier : $\dfrac{8 \times 3}{36} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ (on simplifie $3$ et $36$ par $3$, puis $8$ et $12$ par $4$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas calculer correctement $2^3 = 8$ ou $6^2 = 36$.
On simplifie avant : $\dfrac{8 \times 3}{36}$. On simplifie $3$ et $36$ par $3$ : $\dfrac{8}{12}$, puis par $4$ : $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $D = \dfrac{8 \times 3}{36}$. En simplifiant : $D = \dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $E = \dfrac{5}{3} \div \dfrac{10}{9} - 1$.
Le résultat est $E = \dfrac{1}{2}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La division est prioritaire sur la soustraction.
$\dfrac{5}{3} \div \dfrac{10}{9} = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{9}{10}$. On simplifie avant : $5$ et $10$ par $5$, $9$ et $3$ par $3$.
$= \dfrac{1}{1} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$.
Puis $\dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de soustraire $1$ avant d'effectuer la division.
On calcule d'abord la division : $\dfrac{5}{3} \times \dfrac{9}{10}$. On simplifie avant : $5$ et $10$ par $5$, $9$ et $3$ par $3$, ce qui donne $\dfrac{3}{2}$.
Puis $\dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La division est prioritaire : $\dfrac{5}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{2}$ (après simplification croisée), puis $\dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $F = 3 \times 10^{-2} + 5 \times 10^{-3}$.
Le résultat est $F = 8 \times 10^{-5}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On ne peut pas additionner directement des puissances de $10$ différentes.
$F = 0{,}03 + 0{,}005 = 0{,}035 = 3{,}5 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'additionner les coefficients ($3 + 5 = 8$) et les exposants ($-2 + (-3) = -5$) séparément.
On convertit d'abord en nombres décimaux : $0{,}03 + 0{,}005 = 0{,}035 = 3{,}5 \times 10^{-2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On ne peut pas additionner les puissances de $10$ comme on les multiplie.
$F = 0{,}03 + 0{,}005 = 0{,}035 = 3{,}5 \times 10^{-2}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Multiplications et divisions de fractions

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les multiplications et divisions de fractions, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre avec la règle de l'addition (mettre au même dénominateur).
Pour multiplier, on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux : $\dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux : $\dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On multiplie les numérateurs : $3 \times 2 = 6$ (et non $3 + 2 = 5$).
On peut simplifier avant de multiplier : $2$ et $4$ sont divisibles par $2$, donc $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'additionner les numérateurs au lieu de les multiplier.
On simplifie avant de multiplier : $2$ et $4$ sont divisibles par $2$, donc $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On multiplie les numérateurs : $3 \times 2 = 6$, pas $3 + 2 = 5$.
En simplifiant avant : $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{35}{6}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : $\dfrac{7}{3} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{35}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier d'inverser la deuxième fraction lors d'une division.
$\dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{35}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Diviser par $\dfrac{2}{5}$ revient à multiplier par $\dfrac{5}{2}$ : $\dfrac{7}{3} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{35}{6}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $5 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On multiplie uniquement le numérateur par l'entier : $5 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{5 \times 3}{4} = \dfrac{15}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de multiplier aussi le dénominateur par $5$.
On écrit $5 = \dfrac{5}{1}$, donc $\dfrac{5}{1} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{4}$, et non $\dfrac{15}{20}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $5 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{5 \times 3}{4} = \dfrac{15}{4}$, le dénominateur ne change pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
On simplifie avant de multiplier : $3$ (numérateur) et $3$ (dénominateur) se simplifient, ainsi que $2$ et $4$ par $2$.
$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que le résultat est négatif parce que les deux facteurs sont négatifs.
Moins par moins donne plus. On simplifie avant de multiplier : $3$ avec $3$, et $2$ avec $4$.
$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le produit de deux négatifs est positif. En simplifiant avant : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On simplifie avant de multiplier : $3$ et $9$ sont divisibles par $3$, et $4$ et $2$ sont divisibles par $2$.
$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de multiplier d'abord puis de simplifier à la fin, ce qui donne de grands nombres.
On simplifie avant : $3$ et $9$ par $3$, et $4$ et $2$ par $2$.
$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En simplifiant avant de multiplier : $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

Simplifications (Brevet 2001)

(Brevet Paris 2001 - À faire sans calculatrice)

Soit :

$ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{14} $

$ B = \dfrac{5\times 10^{2000}}{20\times 10^{2001}} $

$ C = \dfrac{5{,}1 \times 10^{2} - 270 \times 10^{ - 1}}{4{,}83 \times 10^{2}} $.

Calculer $ A $ et mettre le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Calculer $ B $ et donner l'écriture scientifique du résultat.
Démontrer que $ C $ est un nombre entier.

Corrigé

On commence par effectuer le produit (qui est prioritaire) en simplifiant par $ 7 $ :

$ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{14} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{7\times 5}{3\times 14} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{7\times 5}{3\times 2\times 7} =\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6} $

Puis on réduit au même dénominateur :

$ A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6} - \dfrac{5}{6} $, soit $\mathbf{A = -\dfrac{1}{6}}$.
On sépare les coefficients et les puissances de 10 :

$ B = \dfrac{5\times 10^{2000}}{20\times 10^{2001}} = \dfrac{5}{20} \times \dfrac{10^{2000}}{10^{2001}} = \dfrac{5}{4\times 5}\times 10^{2000 - 2001}=\dfrac{1}{4}\times 10^{ - 1} $

Or :

$ \dfrac{1}{4}=0{,}25=2{,}5\times 10^{ - 1} $

Donc la forme scientifique de $ B $ est :

$ B=\dfrac{1}{4}\times 10^{ - 1} =2{,}5\times 10^{ - 1}\times 10^{ - 1} $, soit $\mathbf{B = 2{,}5\times 10^{ - 2}}$
On convertit chaque terme en écriture décimale :

Calculons chaque produit :

$ 5{,}1 \times 10^{2}=510 $

$ 270 \times 10^{ - 1}=27 $

$ 4{,}83 \times 10^{2}=483 $

Par conséquent :

$ C = \dfrac{510 - 27}{483}=\dfrac{483}{483} $, soit $\mathbf{C = 1}$

Fractions – Racines carrées (Brevet 2010)

(Brevet Asie 2010)

On donne les nombres suivants :

$ A =\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} $ $\div$ $ \dfrac{8}{15} $ ,
$ B =\dfrac{6\times 10^{ - 2} \times 5 \times 10^{2}}{1{,}5 \times 10^{ - 4}}\quad $
$ C =\sqrt{12} - 5\sqrt{3}+2\sqrt{48} $.

Pour les trois questions suivantes, on écrira au moins une étape de calcul.

Calculer $ A $ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Calculer $ B $ et donner le résultat sous forme scientifique.
Écrire $ C $ sous la forme $ a\sqrt{3} $ où $ a $ est un nombre entier.

Corrigé

Simplifions $A$:
$ A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}\times \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2\times 3\times 5}{3\times 2\times 4} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}= - \dfrac{2}{4} = - \dfrac{1}{2} $

Donc $\mathbf{A = -\dfrac{1}{2}}$.
Pour $B$:
$ B = \dfrac{6 \times 5 \times 10^{ - 2} \times 10^{2}}{1{,}5 \times 10^{ - 4}} = \dfrac{30}{1{,}5}\times 10^{ - 2+2 - \left( - 4\right)} = 20\times 10^{4} $

La forme scientifique de $ B $ est :
$\mathbf{B = 2\times 10^{5}}$
Et enfin :
$ \sqrt{12} = \sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3} $
$ \sqrt{48} = \sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3} $

Par conséquent :
$ C = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}+2\times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}+8\sqrt{3} =5\sqrt{3} $

Donc $\mathbf{C = 5\sqrt{3}}$.